【摘要】DOK理论指导下的复习课教学通过教学活动和任务的设计，推动学生深度学习和积极参与，培养学生高阶思维和综合能力.本文以余弦定理、正弦定理复习课为例，依据DOK的4个层级水平制定学习目标，设计教学活动，让学生深入了解数学知识学习所需的数学方法、思维与思想，挖掘数学知识所蕴含的数学精神与文化价值，提升数学素养.

【关键词】DOK理论；正弦定理；余弦定理；复习课

1基于DOK理论的复习课教学分析

1997年，美国学者诺曼·韦伯博士提出DOK（Depth of Knowledge）理论.在美国课堂聚焦学生思维和能力的改革推进中，DOK逐渐从评价领域中延伸和拓展到课堂教学领域，成为美国课堂教学设计的重要理论和方法[1].DOK理论和方法主要指向教学任务、活动和任务的设计，是推动学生深度学习和积极参与的学习工具，成为培养学生高阶思维的教学设计工具[2].

DOK通过不同的活动、任务和问题检测学生的认知水平，强调的不是内容的难度，而是学习的复杂度 [2].DOK将学生的认识水平分成：回忆与重现、技能与概念、策略性思维和拓展性思维四个等级，具体每个等级的认知水平如表1[1].

从DOK理论和活动看，教学活动的最终目标是培养学生的高阶思维和综合能力.实现这一目标需要教师从教学内容和学生特点出发，结合学科内容本身梯度设计具有不同认知水平要求的活动，促进学生深度学习，进而培养学生用知识解决问题的能力[3].用全面的、联系的、整体的眼光处理数学知识，学生在充分参与学习过程中经历运用数学的过程和数学再创造过程.积极建构与迁移运用，深入了解数学知识学习所需的数学方法、思维与思想，体会数学知识所蕴含的数学精神与文化价值，从而提升数学素养，这体现出DOK理论指导复习课教学是可行的，也是具有重要意义的.

2教学内容、目标与核心素养分析

余弦定理、正弦定理是2019版人教A版教材必修第二册第六章第6.4.3节的内容，是平面向量应用的呈现和示范.学生通过余弦定理、正弦定理的学习进一步领悟向量法所蕴含的数学思想（教材中余弦定理、正弦定理的证明都运用了向量方法），掌握用向量运算解决几何问题的基本要领和方法的同时，完善三角形的认知结构.余弦定理和正弦定理是刻畫三角形边角关系最为重要的两个定理，本节复习课旨在学生初步掌握余弦定理和正弦定理的基础上完善认知结构，形成整体性知识体系，提升分析问题和解决问题的能力，获得思维发展.

本节课旨在通过4个教学环节（如表2）实现如下目标：（1）掌握余弦定理、正弦定理；（2）从余弦定理、正弦定理互相推导的过程中建立学生研究几何问题的认知系统，使学生逐步形成解决问题的基本方向和视角；（3）回归数学的内涵和本质，把握知识本质，构建知识体系，思考深层结构，发展学生思维能力，提升数学核心素养，着眼于学生的长期发展.

学生通过理解和掌握余弦、正弦定理，获得“四基”，增强“四能”，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养.

3教学过程设计

3.1DOK1（回忆与再现）

情境1在三角形中，给出哪几个条件（边、角），可以唯一确定三角形的形状？如何确定？

任务1叙述余弦定理、正弦定理.余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

a2=b2+c2－2bccosA，

b2=c2+a2－2accosB，

c2=a2+b2－2abcosC.

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

asinA=bsinB=csinC=2R（R为△ABC外接圆半径）.

任务2结合已知条件如何选择定理？

学生讨论得出结论.

任务3短平快练习.

例1△ABC的三边分别为a，b，c，试解决下面的问题：

（1）cosC=15，a=1，b=5，求c；

（2）a=7，b=2，A=60°，求sinB和c；

（3）a=4，b=5，c=6，求cosA.

设计意图本环节对应的是 DOK1 层级水平.通过情境一“在三角形中，给出哪几个条件 （边、角），可以唯一确定三角形的形状？如何确定？”和任务1“叙述余弦定理、正弦定理”，教师带领学生回顾余弦定理和正弦定理定义，从数学语言到符号语言，梳理总结方法，帮助学生重塑知识框架，实现知识回忆与重现．教师提出任务2“结合已知条件如何选择定理？”，引发学生进行深入思考，进入本节课的学习.进一步使用任务3例1的短平快练习，有助于学生对定理进行简单直接的应用，形成掌握基础知识和方法的普通思维．

3.2DOK2（技能与概念）

情境2回顾用向量法证明余弦定理、正弦定理.

设计意图教师在学生回顾用向量法证明后，总结在1981年全国卷和2011年陕西卷都考查了余弦定理的证明，余弦定理、正弦定理的证明可谓是“历史名题”，历史上，各个年代、各个国家的数学家对正余弦定理的证明展开了不懈地研究，证法多达几十种.余弦定理、正弦定理的历史（包括不同的证明方法、科学家的创新精神和思维方法）为教学提供了丰富的教学素材和思想养料.

任务4用正弦定理能证明余弦定理吗？

解析以证明a2=b2+c2－2bccosA为例，即证sin2A=sin2B+sin2C－2sinBsinCcosA，而sin2B+sin2C－2sinBsinCcosA=sin2B+sin2C+2sinBsinCcos（B+C）=sin2B+sin2C+2sinBsinC（cosBcosC－sinBsinC）=sin2B+sin2C+2sinBsinCcosBcosC－2sin2Bsin2C=sin2B（1－sin2C）+sin2C（1－sin2B）+2sinBsinCcosBcosC=（sinBcosC+cosBsinC）2=sin2A，得证.

任务5用余弦定理能证明正弦定理吗？

解析以证明asinA=bsinB为例，即证a2sin2A=b2sin2B，即证a21－cos2A=b21－cos2B，即证a21－b2+c2－a22bc2=b21－a2+c2－b22ac2，即证4b2c2－（b2+c2－a2）2=4a2c2－（a2+c2－b2）2，即证4b2c2－4a2c2=（b2+c2－a2）2－（a2+c2－b2）2，成立，此式显然成立，原命题得证.

任务6两个定理可以有哪些变形？

学生讨论得出结论如下.

任务7可以有哪些化简方法？

学生总结有三角恒等变换、平方、降次、因式分解等方法.

设计意图本环节对应是DOK2层级，学生能通过任务4“用正弦定理能证明余弦定理吗？”和任务5“用余弦定理能证明正弦定理吗？”这个余弦定理和正弦定理的互推过程中，深入理解正弦定理和余弦定理的结构与特点，更好地实现三角形边角互化．用不同的思路和方法证明正弦定理与余弦定理，能更好地体会联想、转化、分类讨论等数学思想方法，能激发研究与探索的乐趣.正弦定理和余弦定理不仅可以相互导出，并且各自的三个关系式中的任何两个都可以推出第三个[4].从这两个定理与相关知识的联系来看，可以解释有些题目可以用两个定理分别求解，不仅解决了学生的疑惑，也能促使学生更深入地思考.通过任务6“两个定理可以有哪些变形？”和任务7“可以有哪些化简方法？”，超越知识回忆和重现的思考、观察深度，升华了对知识和方法的认识，提升了技能.

3.3DOK3（策略性思维）

例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（1）求C；（2）若a+b=5，△ABC的面积为332，求c.

解析（1）视角1：正弦定理；由2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=2cosCsin（A+B）=2cosCsinC=sinC，得cosC=12.视角2：余弦定理；由2cosC·aa2+c2－b22ac+bb2+c2－a22bc=2cosC·2c22c=2c·cosC=c，得cosC=12.

视角3：射影定理，可得cosC=12；

由acosB+bcosA=c，得cosC=12.

（2）由余弦定理和正弦定理，得c2=a2+b2－2abcosC=a2+b2－ab，c=3.S=12absinπ3=3ab4=332，c2=（a+b）2－3ab，ab=6.

设计意图例2一题多解，从不同的角度入手，有不同的研究方法和证明方法.

探究1△ABC中，若（1）C=π3；（2）a+b=5；（3）ab=6，三角形确定了吗？

若分别减少（1），（2），（3），△ABC还能确定吗？减少（1），即知a+b=5，ab=6，可求吗？

减少（2），即知C=π3，ab=6，可求吗？

减少（3），即知C=π3，a+b=5，可求吗？

本探究以学生为主体，让学生发现问题，让基本数学活动经验在学习过程中得到有效运用；以问题为主线，提出问题展开研究，让基本知识和技能在学习过程中自然凸显；以讨论为引导，给学生思考的空间，让基本数学思想在学习过程中融会贯通.

设计意图本环节对应的是 DOK3 层级，学生从例2到探究1，开启学生对题目的加工和改编，学生提出问题、分析问题、解决问题，学生在问题的分析与解决过程中进一步完善认知结构，触碰问题本质，发展科学思维[5].这一环节中学生运用策略性思考和推理，包括复杂和抽象、逻辑推理，激发了连续多步的思维过程.引导学生深化数学思想方法，形成知识网络体系，达到深度学习的目标.

3.4DOK4（拓展性思维）

探究2△ABC中，若已知C=π3，c=7，求a+2b的取值范围.

设计意图 本环节对应的是 DOK4 层级，探究2中非对称结构的研究性任务，需要学生分析、综合、反思，对学生应用所学知识解决问题的能力提出更高要求．学生在抽象概括所求结构特点和寻找解决方案的过程中能够提高分析综合能力，有效训练学生抽象概括及科学推理能力，激发学生探究热情并引起学生思维活动，开展拓展性思考，逐步升华到高阶的认知行为.

4教學反思

本节复习课依据 DOK理论将学生的认识水平分成四个等级，根据其不同等级的思维要求设计和开发相应的活动、任务和问题.在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的7个任务和2个探究，积极参与、体验探究、获得发展，实现了深度学习.教师通过4个层级的活动设计将学生的思维一步步引向纵深，助推学生从普通思维→技能性思维→策略性思维→拓展性思维，促进学生高阶思维和综合能力的提升，助力教师改进教学，引领学生发现数学之美，领略方法之妙，拓展数学思维，感受数学文化，落实立德树人，培育学生核心素养.

参考文献

［1］王雪.基于DOK理论的高中化学隐性分层教学实践研究［D］．延吉：延边大学，2020：7．

［2］安续续.基于互动理论的小学生深度学习评价指标体系研究[D] .武汉：华中科技大学，2019：4-5.

［3］李桂旺.基于DOK理论的单元目标水平分级的尝试 ——以人教版“牛顿运动定律”单元为例[J].物理教学探讨，2018（10）：14-16.

［4］李昌官.“正弦定理和余弦定理”单元教学[J].中国数学教育（高中版），2018（09）：11-15.

［5］汪生，余建国.正余弦定理复习课教学新视角[J].中学教研（数学），2020（05）：4-6.

作者简介

庞海燕（1981—），女，四川广元人，中学高级教师；市教坛新秀，区骨干教师，获省教学论坛一等奖、省优质课二等奖；研究方向为高中数学教育教学.