赵勇胜,侯 强,张 磊

(中北大学 理学院, 太原 030051)

0 引言

近年来,随着互联网和社交媒体的发展,谣言的传播变得更加迅速和广泛[1]。谣言常常伴随着一些重要的事件出现,广泛的传播会给人们的生活带来负面影响,如果不及时加以控制,可能会危害公共财产安全,引起社会动荡,影响社会发展。例如,随着新冠肺炎的爆发,诸如飞絮能加速新冠病毒的传播、益生菌能防治新冠病毒、接种新冠疫苗导致妇女患上不孕症等谣言被广泛传播,引起人们恐慌,影响社会稳定。因此研究谣言的传播机制,减少谣言传播带来的负面影响是十分有必要的。

对于谣言传播的研究,最早可以追溯到20世纪60年代,Daley等[2]提出了经典的DK谣言传播模型,将人群分为3类:没听过谣言的人、积极传播谣言的人和不再传播谣言的人。后来,Maki等[3]进一步将DK模型改进为MK模型,他们假设传播者与传播者接触后,会停止传播谣言。在此基础上,许多学者对谣言传播模型进行了更深入的研究,得到了一些有价值的结论[4-8]。Dong等[9]研究了在社交网络上具有不同总人口规模的SEIR谣言传播模型,基于现实世界中的Facebook社交媒体软件,对在线用户进行仿真实验,结果表明,随着用户总数的变化,SEIR谣言传播模型可以准确反映谣言在Facebook软件中的传播特征。Wang等[10]研究了在多语言环境下具有交叉传播机制的谣言传播模型,在多语言环境下提出了一种新的SIR谣言传播模型并研究了模型的全局动力学特征。Xia等[11]在文献[10]的基础上,建立了在多语言环境下具有一般非线性传播率的谣言传播模型,并研究了非线性传播率对模型全局动力学的影响。Yao等[12]研究了复发机制对谣言传播的影响,复发是指传播谣言的人发现谣言是捏造的时,他们会暂时停止传播成为潜伏者,在遇到一些事件后可能会再次传播谣言。但Yao等没有考虑谣言传播者对暂时潜伏者的影响,在他们研究的基础上,考虑潜伏者被传播者影响而再次传播谣言这一因素,进一步研究复发机制对谣言传播动力学的影响。

1 模型的建立

这里将参与谣言传播的全体分为5个仓室:易感者S(t)表示从未听说过谣言,但易受谣言影响的人;犹豫者E(t)表示知道谣言后犹豫是否传播的人;传播者I(t)表示积极传播谣言的人;潜伏者L(t)表示由于某些因素目前停止传播谣言但可能再次传播谣言的人;恢复者R(t)表示知道谣言但不感兴趣的人。在媒介因素导致谣言复发的基础上,考虑暂时潜伏者与传播者的接触再传播,建立如下模型:

(1)

其中:A表示易感者的输入率;β表示易感者与传播者接触后转化为犹豫者的接触传播率;μ表示自然衰减率;σ表示犹豫者到传播者的转移率;φ1表示犹豫者到恢复者的转移率;δ表示传播者到潜伏者的转移率;θ表示潜伏者和传播者接触后转化为传播者的接触传播率;γ表示潜伏者到传播者的转移率;φ2表示潜伏者到恢复者的转移率。模型中所有的变量是非负的,参数是正的。

由于模型(1)的前4个方程与R不直接相关,因此只需考虑模型的前4个方程,即模型(1)可化简为:

(2)

2 基本再生数和无谣言平衡点的稳定性

定理1若R0<1,则模型(2)的无谣言平衡点E0局部渐近稳定;若R0>1,则E0不稳定。

定理1的证明可参考文献[12],在此省略此定理的证明。

证明这里容易验证R1>R0。

构造一个Lyapunov函数:

计算V(t)沿着模型(2)解的全导数,得到

3 正平衡点的存在性和后向分支

设正(谣言盛行)平衡点E*=(S*,E*,I*,L*),则E*满足

(3)

通过计算得

且I*满足

f(I*) =B0I*2+B1I*+B2=0

(4)

其中

B0=-βμθ(μ+φ1+σ)<0

B1=Aβσθ+(μ+φ1+σ)(θδμ-γδβ)-

(δ+μ)(μ+φ1+σ)(μθ+βγ+βμ+βφ2)

B2=(R0-1)μ(μ+φ1+σ)·

(δφ2+δμ+μγ+μφ2+μ2)

通过分析,有下面定理:

定理31) 当R0>1时,模型(2)有一个正平衡点;

2) 当R0=1时:(i)当B1≤0时,模型(2)没有正平衡点;(ii)当B1>0时,模型(2)有一个正平衡点;

由定理3可知,当R0<1时,模型(2)可能存在正平衡点。这意味着,模型可能发生后向分支。下面应用文献[15]中的方法,分析后向分支的存在性。

证明选择β=β*作为分支参数,当R0=1时,有

定义S=x1,E=x2,I=x3,L=x4。模型(2)变为:

模型在无谣言平衡点的雅可比矩阵为:

J(E0,β*)=

特征方程为:

λ(λ+μ)(λ2+b1λ+b2)=0

(5)

其中

b1=σ+φ1+μ+δ+μ+γ+φ2+μ>0

b2=(σ+φ1+μ)(γ+φ2+μ)+

(δφ2+δμ+μγ+μφ2+μ2)>0

式(5)中λ1=-μ,λ2=0。λ3和λ4满足λ3λ4>0,λ3+λ4<0,即λ3、λ4均小于0。

零特征根对应的右特征向量为w=(w1,w2,w3,w4)Τ,其中

零特征根对应的左特征向量v=(v1,v2,v3,v4),其中

计算f2、f3、f4在(E0,β*)处的各项偏导数,结果为:

其余偏导数都为零,由此可得

2(v2w1w3β*+v3w3w4θ+v4w3w4(-θ))=

4 退化模型正平衡点的全局渐近稳定性

当θ=0时,根据文献[12]可知,当R0>1时,模型存在唯一的正平衡点,且是局部渐近稳定的,但文献[12]没有给出全局渐近稳定性的证明。在此,给出正平衡点全局渐近稳定性的证明。

定理5当R0>1且θ=0时,模型(2)的正平衡点是全局渐近稳定的。

计算J1(t)、J2(t)、J3(t)沿着模型(2)解的全导数,得到

构造Lyapunov函数V1(t)=J1(t)+J2(t)+J3(t),计算V1(t)沿着模型(2)解的全导数,得到

5 数值模拟

本节通过数值模拟观察随着基本再生数R0的变化,模型动力学性态的变化情况。取参数值为A=0.6,μ=0.032,σ=0.5,δ=2.2,θ=0.4,φ1=0.02,φ2=0.05,γ=0.1。此时R*=1.131,由图1可以看出,模型发生后向分支,当R0<1时,模型可能存在2个正平衡点,并且出现一个Hopf分支点。当R0≥1时,模型存在唯一的正平衡点。取参数A=0.52,此时R*=0.98,由图2可以看出,模型发生前向分支。

图1 当R*>1时,变量I随R0变化的分支图

图2 当R*<1时,变量I随R0变化的分支图

下面分析Hopf分支和极限环的存在性,由图3可以看出,模型会出现退化的Hopf分支GH点和B-T分支点,其中GH点的第二Lyapunov系数为6.733 590 1×106,因此正平衡点附近会出现2个极限环,其中大极限环不稳定,小极限环稳定。

图3 余维2分支图

6 结论

基于谣言传播的特点,考虑人际因素导致谣言复发这一因素,建立SEILR谣言传播模型来研究人际因素对谣言传播的影响。首先,通过下一代生成矩阵的方法,计算了基本再生数R0,得到了无谣言平衡点的局部渐近稳定性。其次,讨论了正平衡点的存在情况,给出了后向分支存在的参数条件。然后,证明了当θ=0时,模型正平衡点的全局渐近稳定性,对文献[12]中正平衡点的全局渐近稳定性证明给予补充。最后,通过数值模拟发现模型会发生退化的Hopf分支,在正平衡点附近存在2个极限环,其中,大极限环不稳定,小极限环稳定。研究结果表明人际因素导致谣言复发这一因素会改变谣言传播的动力学性态。