于彬 岳绍杰 赵华 高振卿

【摘 要】 以“加权平均数”为例，从“创设情境，疑点反思；尝试解疑，问题反思；变式训练，方法反思；课堂总结，提升反思；布置作业，梳理反思”五个环节给出其教学设计，引导学生经历“孕育‘权、感知‘权、明晰‘权、畅谈‘权、寄语‘权和内化‘权”的发生发展过程，同时结合教学设计给出两点思考：素养指向，一脉相承；育人旨归，一以贯之.

【关键词】 加权平均数；核心素养；立德树人；教学设计

统计过程一般包括数据的收集、整理、分析、判断和选择等几个步骤，其中数据的分析处于关键环节.数据的分析主要从数据的集中趋势和数据的波动程度来度量，而反映数据集中趋势的统计量主要有平均数、中位数和众数，三者各有特点，从不同的角度反映了数据的集中趋势.

平均数分为算术平均数和加权平均数，算术平均数学生在小学已有接触，进入初中将在小学学习的基础上，在教师的引导下通过具体情景，感受引入加权平均数的合理性和必要性，经历知识发生和发展的整个过程.

1 内容及其解析

1.1 内容

“平均数”是鲁教版教材八年级上册第三章的教学内容，是章起始课，有两个课时，在教材的47—54页.第1课时引导学生在小学算术平均数的基础上初步感受加权平均数的存在，第2课时则通过更多的情景，引导学生感受不同的“权”，以及由此对“判断和选择”带来的影响，进一步感受引入和学习加权平均数的合理性和必要性.

本节课的教学内容，为体现知识的前后一致和逻辑连贯[1]，将其整合为1个课时，使学生经历知识的发生和发展的整个过程，培育数据观念等核心素养.

1.2 内容解析

“平均数”是反映数据集中趋势的重要统计量，学生在小学已经学习过算术平均数，本节课将在算术平均数的基础上学习加权平均数，在具体的情景中感受两种平均数的区别与联系；本节课的学习为后续学习反映数据集中趋势的另外两个统计量（中位数和众数）提供了知识基础和思维基础，也为进一步学习反映数据波动程度的统计量提供了研究方法和学习思路，在教材中起着承前启后的重要作用.

教材首先通过具体问题的解决，回顾算术平均数的概念，其后通过算术平均数计算方法的变式和例题，引入加权平均数的概念；然后，进一步通过具体的探究活动感受“权”对平均数的影响，感受生活中加权平均数的应用，深化学生对加权平均数的理解，并思考算术平均数与加权平均数之间的内在联系.

通过上述分析，本节课的教学重点为感受算术平均数与加权平均数的联系和区别，并利用它们解决实际问题.

2 教学目标及其解析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称“《课标2022》”）对本节课的要求：理解平均数、中位数、众数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，知道它们是对数据集中趋势的描述[2].

2.1 教学目标

通过上述分析，本节课的教学目标：

（1）在具体情境中，通过自主探究和小组合作，体会算术平均数和加权平均数的联系与区别，感受引入加权平均数的合理性和必要性，并能解决实际问题.

（2）在问题解决中，培养互帮互助和自强爱国的民族情怀，培育数据观念等核心素养.

2.2 目标解析

目标（1）达成的标志：学生借助教师提供的具体情境，以自主探究和小组合作的形式对数据进行分析，会计算一组数据的算术平均数和加权平均数；并能用自己的语言描述“权”对一组数据平均数的影响，体会二者之间的内在联系.

目标（2）达成的标志：本目标属于情感、态度与价值观的目标，需要在长期过程中慢慢形成.学生感受到生活在纷繁芜杂的数据中，体会到对数据进行处理和分析的必要性；在具体情景和问题解决中为学生种下“互帮互助”的团队精神和“自强爱国”的民族情怀的种子，培育《课标2022》提出的“有理想、有本领、有担当”的“三有”时代新人.

3 教学问题诊断分析

3.1 學生已有基础分析

在信息技术不断发展的社会里，特别是大数据时代的来临，时刻要求我们可以在纷繁芜杂的数据中获取有用的信息，进而作出合理的判断与选择.在学生的生活和整个学习过程中，数据的分析贯穿始终，高中阶段更是将数据分析作为六大核心素养之一，可见数据的分析对学生生活和学习来说是非常重要的.

学生在小学阶段已经学会了简单平均数（即算术平均数）的计算，进入初中后以全新的眼光重新认识算术平均数，并在此基础上引入加权平均数，同时体会“权”对一组数据平均数的影响，这超出了学生的认知负荷，对学生的理解产生了一定的困难，教学中应引起重视.

同时，在小学和六年级的学习过程中，教师忽略了引导学生经历数据的收集和整理的过程，造成学生动手实践能力较差，对本节课的数据分析产生了一定的影响，因此教学中教师应该为学生提供具体的、多样的情景，引导学生感受数据分析的必要性，进而为后续判断和选择提供依据.

3.2 学生基础与目标的差距

学生虽然在小学阶段掌握了算术平均数的计算方法，进入初中则对相关内容提出了更高的要求，学生在学习过程中实际情况可能与预期目标存在差距，需要“具体问题具体分析”，具体分析见表1.

3.3 教学难点

通过上述分析，确定本章的教学难点：

在具体情景中，理解“权”对一组数据平均数的影响.

4 教学支持条件分析

由于学生处在大数据时代，每天都面临着对纷繁芜杂的数据做出判断和选择，只是身在其中，没有察觉.为此，教学中应该为学生呈现多样的情境，让学生在真实、具体的情境中，经历数据分析的完整过程.提倡布置前置作业，引导学生在课前以小组或个人的形式对数据进行收集和整理，课堂中再进行数据分析，随后根据分析结果做出判断和选择.基于此，还应该为学生提供长作业，引导他们结合现实生活中的真实情景和实际需要开展项目式学习和综合实践活动.

由于数据纷繁芜杂，教学中在计算方面为学生提供支持，比如提供计算器，引导学生采用计算器的统计功能方便求出一组数据的平均数（算术平均数和加权平均数）；在教学中还可以尝试用计算机等现代化手段进行数据的处理和分析，实际教学中可以对EXCEL表格的计算功能进行简单介绍，引导学生感受相关软件为数据处理带来的方便，提高学习兴趣.

5 教学过程设计

5.1 创设情境，疑点反思——孕育“权”

播放“强国有我 请党放心”的视频，同时给出校园宣传栏的“新时代好少年”评选海报.

问题1：你能根据打分表（表2），分别求出两位候选人在“德、智、体、美、劳”五个方面的平均分吗？

预设：以候选人甲“德”的平均分计算为例，回顾算术平均数的计算方法.

追问1：你还知道哪些生活中计算算术平均数的例子？

预设：班级同学的平均身高、这个月的平均气温、东营市去年人均收入等.

追问2：对于计算甲同学“德”这一列的平均分，你还有其它计算方法吗？

预设：方法1，相同的数据统一计算（频数），这是加权平均数的“雏形”；方法2，采用“中间值”计算方法，中间值可取一组数据的算术平均数或其他合理数据.

师生活动：通过评选“新时代好少年”这一具体情景，引导学生对各位评委从“德、智、体、美、劳”等五个方面给出的打分进行分析和整理.通过问题1，指导学生用小学学习的“算术平均数”的计算方法得到两位候选人在五个方面的平均分；通过追问1引导学生发现生活中应用算术平均数的实际例子，增加其熟悉感；通过追问2，引导学生发现几个相同数据的和可以写成个数乘以因数这种乘积的形式，这里的个数也叫作数据的“频数”，即为本节课要讲的“权”，让学生对“权”有初步的感知，进而引入新课，引导学生以全新的眼光看待这一简单计算.

设计题图 通过“强国有我 请党放心”的视频引入新课，意在调动学生学习的积极性和主动性，同时培育学生的爱国情怀，自豪感油然而生；接着，“新时代好少年”评选这一情景与视频互相照应，引导学生从“德、智、体、美、劳”五个方面严格要求自己，争做“强国有我 请党放心”的“新时代好少年”.将问题1、追问1和追问2，以问题串的形式设计，让学生在理性计算中孕育“权”，通过追问2让学生初步感受“权”的重要性，此环节教师虽没有给出“权”的概念，但为后续“加权平均数”学习埋下伏笔.

5.2 尝试解疑，问题反思——感知“权”

问题2：根据上面打分表（表3），谁是“新时代好少年”的推荐人选呢？（要求：先独立思考、尝试解决，再小组讨论完成）.

追问3：只考虑他们的算数平均分，是否能突显“新时代好少年”的本色？在五个方面的得分中，我们更应该侧重于哪个方面的得分？

追问4：为了更好地体现学生德育重要性，我们让“德”占 3 份，“智”占 2 份，“体”占 2 份，“美”占 2 份，“劳”占 1 份，此时两位同学的得分是多少呢？

给出“加权平均数”的概念，回顾追问2，结合追问4，再介绍我国古代的“权”.

预设：在独立思考和小组讨论的基础上，学生给出不同的看法，即突出“德”的重要性（追问4中采用学生提出的份数）.

师生活动：教师给出问题后，引导学生首先独立思考，然后小组合作，请代表上台表述自己小组的意见，教师对学生的回答给予肯定，并进行适当的追问（追问3和追问4），引导学生初步感受“权”的重要性.在此基础上，给出加权平均数的概念，同时回顾追问2（结合追问4），引导学生从“权”的角度认识“频数”，从而将上述简单计算纳入本节课的知识体系.

设计意图 问题2是本节课的核心问題，通过该问题引导学生初步感受以往的“总分”或“算术平均数”已经不能解决一些实际问题的需求，建立新的标准也就呼之欲出，从而引发学生对“权”的思考，自然的产生对加权平均数的需要，为“权”的诞生提供了合理性.追问4的出现，即为赋“权”，根据实际需要，给一些成绩赋予权重，更好的体现选拔要求.让学生体会到数学新知的诞生就是为了解决实际问题，体现了数学价值.整个环节形成闭环设计，第一教学环节的问题串为“权”的诞生埋下伏笔，孕育“权”，让学生感知“权”的存在性.本环节的问题串感知“权”，让学生明白研究“权”的合理性和必要性；接着，介绍我国古代的“权”，给出“权，然后知轻重（《孟子·梁惠王上》）”，在增强学生的民族自豪感的同时，加深学生对“权”的认识.

5.3 变式训练，方法反思——明晰“权”

变式1：如果让“德”占30%，“智”占20%，“体”占20%，“美”占20%，“劳”占10%，此时两位同学的平均得分又是多少呢？

变式2：如果两位同学的德∶智∶体∶美∶劳＝3∶2∶2∶2∶1，此时两位同学的平均得分又是多少呢？

追问5：“权”有哪几种表现形式？

问题4：为了更好地体现学生 育重要性，你能根据打分表（表3），选出一位“新时代好少年”吗？你该如何赋予“权”呢？（请在表4中完成）

要求：独立完成后，小组内交流展示.

追问6：请用自己的语言总结算术平均数和加权平均数之间的区别和联系？

预设：变式1，2需要适时点拨，学生对“权”的表现形式的认识可能感到困难；问题4充分放手给学生，结合前面新知，学生会给出精彩的回答.

师生活动：学生先独立完成变式1，2，教师根据学生具体的计算表现，展示正确的计算方法，通过追问5引导学生归纳总结“权”的不同表现形式.学生小组交流完成问题4，随后小组展示，教师适时点拨.

设计意图 变式1，2是对追问4的改编，围绕着“权”进行变式，突出了本节课的重点、也是突破了本节课的难点，让学生进一步感受“权”的不同表现形式，也是解决加权平均数的三种基本类型.问题4是本节课的亮点所在，它的设计基于学生对“权”的深层次理解，让学生自己赋“权”，给出选择依据，设计方案，进一步体会数据分析的合理性、引入加权平均数的必要性，同时感受加权平均数在现实生活中应用的广泛性和重要性.通过追问5，引导学生进一步明晰“权”；通过追问6引导学生用自己的语言概括算术平均数和加权平均数的联系与区别.

5.4 课堂总结，提升反思——畅谈“权”、寄语“权”

预设：教师以“台阶”的形式给出问题（如图1），引导学生回顾本节课所学.

师生活动：教师以“台阶”的形式给出脚手架问题，引导学生独立回顾本节课所学的知识、思想和方法；在学生回答过程中，其他学生进行补充，这样在生生互动、师生互动中，实现所学内容的内化和升华.

设计意图 在本课的最后，小结通过追问“知识是怎么得到的”和“掌握的方法能解决什么问题”反思回顾本节课的学习过程，同时小结也为学生课后预习指明了思路，通过“在哪些方面有待加强？”以及“我们还要学习什么？”两个问题，引导学生反思本节课需要提高的地方，比如回答问题的积极性，解决问题的严密性等，同时也为学生后续学习奠定了基础，指向“学会学习”，在培育学生数据观念核心素养的同时，也培育了中国学生发展核心素养.此外，教师给出课后寄语（德育为先，智育为重，体育为本，美育为根，劳育为荣）与课题引入相呼应，构建“数学思政、立德树人”的闭环，进一步引导学生争做“新时代好少年”.

5.5 布置作业，梳理反思——内化“权”

达标检测见学案，作业见作业单（限于篇幅，略）.

预设及师生活动：达标检测独立完成，教师订正答案，学生交换批改.短作业（基础作业）课下20分钟内完成；长作业（实践作业）贯穿本节课学习的始终，为后续相关内容的学习做好铺垫.

设计意图 通过一组练习巩固本节课学习的“算术平均数和加权平均数”，实现“堂堂清、日日清”.作业是学生巩固知识、形成能力、培养习惯的重要载体，也是教师了解学情、完善教学管理的重要手段，在“双减”背景下上述作业设计力求做到“让不同的学生在数学上得到不同的发展”，体现：控制数量、提高质量；分层作业，面向全体；注重基础，培育素养.

在本章的教学以及学生完成作业的过程中，帮助学生构建如下的知识结构图，将所学知识纳入原有知识体系（如图2）.

6 两点思考

6.1 素养指向，一脉相承

《课标（2022）》提出了义务教育段的数学核心素养，与统计有关的核心素养在小学为“数据意识”，初中为“数据观念”[2]7；进入高中以后则为“数据分析”，从“意识”到“观念”，再到“分析”，很好的体现了核心素养培育的一脉相承.

本节课的设计也遵循上述理念，首先，开课之初，引导学生通过具体的情境，回顾小学学习的算术平均数，同时也引导学生经历了数据收集和整理的过程，为后续数据分析奠定了基础；其次，上述设计通过“四个问题，六个追问，两个变式”引导学生感受引入加权平均数的合理性和必要性，引导学生在具体情境中理解“权”对一组数据平均数的影响，从而加深对“权”的认识；最后，上述设计为学生构建了完整的数据“收集、整理、分析、判斷和选择”的过程，将本节课置于“统计”这一大单元[3]中进行设计，很好的培育了学生“数据观念”这一核心素养，同时也为高中阶段“数据分析”核心素养的培育奠定了坚实的基础.

《课标（2022）》将学生的核心素养表述为“三会”，同时为体现不同阶段的不同要求，将核心素养分段进行表述.这就要求我们一线教师在教学中，首先要明确学段，做到“不越位”，实际教学中严格落实课标要求，体现素养培育的学段要求；其次要明确同一学段的不同阶段，对素养培育要求进行细致划分，体现阶段性；最后要明确如何评价，也就是说需要将素养培育可视化，借鉴已有经验和个人实践，开发相应量表，让素养培育在常态课堂中“落地生根”.

6.2 育人旨归，一以贯之

《义务教育课程方案（2022版）》很好的体现了“培根铸魂 启智润心”的编写理念，那么如何在初中数学课堂中实现该要求呢？上述设计进行了积极大胆的实践.

育人是一切学科教学的出发点和落脚点.上述设计将本节课置于寻找“新时代好少年”这一大背景下，引导学生从“德、智、体、美、劳”五个角度去思考如何确定推荐人选，在问题解决过程中，培养了学生思维的严谨性和规范性；在掌握加权平均数知识的同时，经历了灵魂的洗礼，特别是最后的“教师寄语”环节将本节课的育人理念体现的“淋漓尽致”，实际教学中获得了很好的育人效果.

《课标（2022）》明确提出：“义务教育数学课程以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务……”[2]1这就要求一线教师在常态课的教学中挖掘“德育元素”，实现数学学科育人.比如，上述课例中要求学生对纷繁芜杂的数据进行分析，可以培养学生思维的严谨性；在具体情境中感受知识的发生和发展的整个过程，来培养学生的理性精神；通过具体实例，对学生进行必要的爱国主义教育，激发民族自信心，增强民族自豪感等，以上都是落实数学育人的有效探索和实践，值得提倡.

7 结束语

我们以“素养指向 育人旨归”为设计理念，给出了“加权平均数”的教学设计思路，期待更多的同行参与进来，给出其他课例或本课例的更多设计，为初中数学教学高质量发展贡献一份自己的力量.

参考文献

[1]章建跃.课堂教学要注重数学的整体性[J].中小学数学（高中版），2013（05）：66.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：74.

[3]章建跃.数学学科核心素养导向的“单元—课时”教学设计[J].中学数学教学参考（上旬），2020（05）：5-12.

作者简介 于彬（1984—），山东泰安人，中学一级教师;主要从事课堂教学和中考命题研究工作;获东营市初中数学学科带头人、东营市第四期东营名师建设工程人选等荣誉称号.

岳绍杰（1979—），山东东营人，中学高级教师;主要从事课堂教学和中考命题研究工作;获山东省优秀教师、山东省初中数学兼职教研员等荣誉称号.

赵华（1981—），山东东营人，中学一级教师;主要从事课堂教学工作;获东营市初中数学教学能手、东营市青年骨干教师等荣誉称号.

高振卿（1987—），山东临沂人，中学一级教师;主要从事课堂教学工作;获东营市青年骨干教师等荣誉称号.