李树臣 吕春霞

【摘 要】 《义务教育数学课程标准（2022年版）》首次提出数学核心素养的要求，把核心素养高度概括为“三会”.核心素养在小学、初中、高中的表现是不一样的，在初中有7个具体表现，同时还包括小学、初中、高中“通用”的两个跨学科表现：应用意识和创新意识.在对核心素养基本认识和对创新意识基本理解的基础上，探讨培养创新意识的有关问题.

【关键词】 核心素养;创新意识;培养策略

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）首次提出了“核心素养”的概念，并把核心素养高度概括为“三会”，在“课程总目标”中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.”[1]数学教学的根本任务在于培养和提高学生的核心素养.

1 对数学核心素养的基本认识

《义务教育数学课程标准（实验版）》和《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）都提出了若干“核心词”，这些核心词都与核心素养相关，可以看成是核心素养的雏形，但这两个版本都没有明确提出“核心素养”这个概念.直到《普通高中数学课标标准（2017年版）》（以下简称《高中课标（2017年版）》）才在国家课程标准层面正式提出了数学学科核心素养的概念.

《课标（2022年版）》在继承与发展《高中课标（2017年版）》数学学科核心素养的基础上，融入了《课标（2011年版）》10个核心词的合理内核，凝练出“三会”的核心素养.“三会”将核心素养在小学数学、初中数学、高中数学的表现实现了贯通，体现了基础教育阶段核心素养的一致性要求和阶段性特征.

从表1[2]可以看出：

（1）三个阶段（小学数学、初中数学、高中数学）的核心素养都是“三会”；

（2）创新意识、应用意识是三个阶段都有的“跨学科”的素养；

（3）三个阶段中核心素养的表现“数量”不同：小学9个、初中7个、高中6个.

仔细分析三个阶段中核心素养的具体表现，发现有“意识”“观念”“能力”之分.我们在认识、理解以及培养数学核心素养时，应弄清“数学意识”“数学观念”“数学能力”这三个概念的意义.

数学意识：数学意识是指学生在思考问题时，能自觉地从数学的角度观察问题、分析问题，并利用数学的知识、方法解释或解决问题的一种思维习惯.

数学观念：所谓数学观念，就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.

数学能力：数学能力是一种特殊的能力，它是与数学活动相适应，保证数学活动顺利完成所必须具备的心理条件.

数学意识、数学观念和数学能力是有层次的：处于最底层的是意识，中间层次是观念，最高层次的是能力.即

初中阶段的7个表现可以分为：

一个直观（几何素养）：几何直观；

三大能力（能力素养）：抽象能力、运算能力、推理能力；

三大观念（观念素养）：空间观念、数据观念、模型观念.

数学核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能.核心素养反映数学本质与数學思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性.数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值[3].教学中加强对学生数学数学核心素养的培养反映了时代的要求.

2 对创新意识的基本认识

创新是一个民族的灵魂，是指做一些“新”的事情.这里的“新”有多层含义：（1）对所有人都是“新”的，这是原创的；（2）对某些人是“新”的；（3）对自己是“新”的，只要是自己没有做过的事情，就是“新”的.创新能力是指完成这些创新工作的能力，要求是比较高的.创新意识是对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究[4].创新意识的要求比创新能力要低.在义务教育阶段，我们要求学生具有创新意识就可以了，教学中不可过高要求.

《课标（2011年版）》把“创新意识”作为10个核心词之一[5]，《课标（2022年版）》则把“创新意识”作为义务教育阶段跨学科核心素养的表现，指出“创新意识主要是指主动尝试从日常生活、自然现象或科学情境中发现和提出有意义的数学问题.初步学会通过具体的实例，运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想，并加以验证；勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题与数学问题.创新意识有助于形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神”[1]，这个要求是对小学和初中的“共同要求”，数学教学中应结合具体内容，适时适度地培养学生的创新意识.

3 培养学生创新意识的策略

杨振宁先生说过：“中国学生的根基非常扎实，这是优点，但也有缺点，中国的学生面对新事物总有畏缩心理，与美国学生比起来，创新意识较差.”这是中国教育的致命弱点，也是中国教育缺乏生命力的根本表现.杨先生的话鞭策我们，在数学教学中，应进一步重视对学生创新意识的培养与发展.

《课标（2022年版）》共提及“创新意识”28次，重视对学生“创意意识”的培养反映了数学教学的使然.数学本身就是人类创新的典范，数学中的创新无处不在.培养学生的创新意识是现代数学教育的基本任务.这就要求我们，在数学教育教学中，应该启发学生的思维，培养学生的创新意识.培养学生创新意识不仅仅是数学教育的任务，而是整个义务教育的任务[6].笔者在认真学习有关文献的基础上，结合自己的教学实践认为，下列做法对于培养学生的创新意识都是有益的举措.

3.1 重视四基教学，为创新意识的形成奠定坚实基础

《课标（2022年版）》在“课程理念”中强调“使学生获得基础知识、基本技能、基本思想和基本数学活动经验”（简称“四基”）.学生只有具备坚实的“四基”才能顺利进行一切的数学活动，在参与各种数学活动的过程中“发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力（简称‘四能）”.创新是对数学基础的超越和升华，没有数学基础的创新是空想.如果数学基础过于零碎庞杂或僵化呆板，反而会限制和禁锢数学创新.只有当学生拥有的知识容量比较大，知识结构比较优化时，才能在数学学习的过程中产生新思想，找到新方法，这里的新思想、新方法就是学生具有“创新意识”的具体表现.所以，要培养学生的创新意识，必须重视“四基”的教学和“四能”的发展.通过九年的系统学习，让学生牢固掌握《课标（2022年版）》规定的课程内容，为学生创新意识的产生奠定扎实的知识基础.

案例1 几分钟发一趟电车？

某人在电路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他的后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从他的对面驶向后面.假设电车和行人的速度都不变（分别用v1，v2表示），求电车每隔几分钟（用t表示）从车站开出一部？

设计意图 本题把行程问题中的“追及”和“相遇”两个小问题巧妙的合在一起，目的是让学生通过解答本题，进一步加深对行程问题的理解和认识，激发学生的创新意识.

解答的关键是通过阅读题意，正确把握“后面追及”和“迎面相遇”的意义，凭借前面解决实际问题积累的相关经验，把原题化归为下面两个问题：

（1）把“每隔6分钟有一部电车从他的后面驶向前面”化归为“追及问题”，可以得到方程v1t=6（v1-v2）；

（2）把“每隔2分钟有一部电车从他的对面驶向后面”化归为“相遇问题”，可以得到方程v1t=2（v1+v2）.

根据上面两个方程可得到6（v1-v2）=2（v1+v2），解得v1=2v2，进而求得t=3（分钟）.

学生顺利解答本题需要具备的基本功比较多，例如：

（1）具有较强的阅读理解能力；

（2）正确把握行程问题中有关词句的含义；

（3）具有一定的建立方程模型解决实际问题的经验；

（4）能熟练掌握化归的思想方法;……

这些都是学生能进行创新发现的“资本”，也是培养学生创新意识的基础.

3.2 培养学生独立思考的习惯

数学思考是数学教学中最有价值的行为，学生只有通过数学思考才能完整的经历“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的过程，在这个过程中进一步感悟数学的本质，发展创新意识.

具有创新意识的人，思路往往比较宽广，学习中富于联想，表现为具有较强的直觉思维和发散思维能力，并能够独立思考，敢于质疑问难.在教学中，可以精选一些非常规问题、开放性问题，鼓励、引导学生经历观察、思考、联想、猜测等活动，在活动的过程中打破常规，从新的角度或方向大胆探索，从而逐步学会把已知知识、方法广泛、迅速地迁移，灵活、变通地运用到新情境中去[7]．

设计意图 学生推理能力是重要的核心素养之一，以往在培养推理能力方面我们主要依靠“几何”载体，强调的是几何推理.《课标（2022年版）》在初中“课程内容”中提出了“了解代数推理”的要求，“数与代数”领域的很多知识都是培养学生代数推理能力的“载体”.在学生学习了根式和分式的概念后，我们设计了上面的问题，目的是培养学生的独立思考能力、代数推理能力以及创新意识等素养.

要证的等式中含有无穷根式和无穷繁分式，学生过去从未见过，根本不认识，如何理解及证明？他们一时摸不着头脑，根本无法下手，可见按“常规”思路是不能解决的.教学中鼓励学生要敢于面对它，不要怕“无穷”，可设计下面的问题系列引导学生去观察、思考、探索：

（1）等式两边的无穷式子中只含有常数1，要证明它们相等，只能先证它们都等于某一个常数a；

让学生学会思考的重要性不亚于学会知识.这种思考是“运用数学的思维方式进行”的思考，也就是“数学方式的理性思维”.教学中让学生学会思考，就能培养学生用数学的眼光看世界的能力，从而养成从数学的角度去观察世界，提高发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的素养，这种素养能使学生终生受益.思考与探究是培养学生创新意识的常用方法.

3.3 培养学生的好奇心

好奇心是学生学习数学的原动力，在数学教学中，结合具体的学习内容，用成功人物的一些成就激发学生的好奇心，对于培养学生的创新意识具有积极的意义.例如：

（1）牛顿对一个苹果产生好奇，于是发现了万有引力;

（2）瓦特对烧水壶上冒出的蒸汽十分好奇，最后改良了蒸汽机;

（3）爱因斯坦从小比较孤僻，喜欢玩罗盘，有很强的好奇心;

（4）伽利略吊灯摇晃而好奇发现了单摆;

（5）我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．

案例3 设计一个利用概率知识估算π值的方案.

设计意图 圆周率π是圆的周长与直径的比值，也等于圆形的面积与半径平方之比.它是精确计算圆周長、圆面积、球体积的关键值.在日常生活中，我们通常都用3.14作为π的近似值去进行近似计算.π是一个无理数，估算π值的方法有多种，在学生学习了概率的有关知识后，可以让学生设计一个利用概率知识进行估算的方案，作为课外学习活动.在具体设计时，鼓励学生上网查询，合作学习、相互交流.这样的活动对于培养学生的创新意义具有积极的教学价值.

3.4 引导学生经历动手操作的过程

《课标（2022年版）》指出“学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式”[1].学习数学的最好方法是做数学，有些数学知识可引导学生自己亲自操作、实验或通过现代教育技术手段演示及操作，让学生在观察、操作、思考、猜想、证明等数学活动的过程中获得知识的同时，爆发出创新的“火花”.通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.

案例4 剪切三角形问题（2005某地中考题）.

在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图2所示，仿照上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示：

类似这样的“观察—思考—操作”的题目对于培养同学们分析问题、解决问题的能力都是非常有价值的.正如美籍匈牙利数学家波利亚说过“学习任何东西的最好的途径是自己去发现”.数学教学应遵循“过程性与积极性相结合的原则”，充分揭示知识产生、发展过程.这个发现的过程就伴随着创新意识、创新能力的产生和提高，这也正是培养学生数学核心素养的关键.

我们结合案例分析了四种培养学生创新意识的策略，教师应认真研读《课标（2022年版）》和教材内容，对教学内容进行“深加工”，精选一些典型问题，以激起学生对数学的求知欲望，逐渐学会思考，大胆探究，打破常规，经常换个角度看问题，这样都有可能激发学生对问题有“别样”的看法，进而“迸发”出创新火花，这样的机会多了，学生的创新意识自然得到培养也提高.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程课标（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.5.

[2]史宁中，曹一鸣.义务教育数学课程课标（2022年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2022.8.

[3]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015（09）：36-39.

[4]王恩大.数学教育辞典[M].济南：山东教育出版社，1991.9.

[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程课标（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.1.

[6]史宁中.义务教育数学课程课标（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2.

[7]李树臣.略谈数学眼光及其培养[J].教育研究与评论，2022（05）：45-50.

作者简介 李树臣（1962—），男，山東沂南人，中学正高级教师;全国义务教育初中数学教材（青岛版）核心作者、中国人民大学复印报刊资料《初中数学教与学》编委、湖北大学《中学数学》特约编委、《山东教育》特约记者.