尹雪山

【摘  要】  波利亚说过：“好问题同某种蘑菇相似，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围再找一找，很可能附近还有好几个.”在解题教学中，以问题为导向开展探究性学习活动，可以充分调动学生学习的主动性，激发学生学习兴趣，进而强化学生的解题能力.学生通过解题获取数学知识，数学方法和数学经验，进而提升自己的思维能力.教师同样要解题，解完题后还要回顾自己是怎么想到的，然后思考如何让自己的学生也能想到，所以数学教师学生生一样，都要经历解题过程并在解题中获取数学经验，积累解题方法，提高思维能力，从而能更高效的解决问题.下面笔者就自己最近遇到的几道动点轨迹问题谈谈自己的解题思路及教学方法.

【关键词】  初中数学；动点轨迹；解题教学

1  教学过程

1.1  解题初探，发现方法

例1  已知点A的坐标是（，-1），点B是正比例函数y=kx（x＞0）的图像上一点，若只存在唯一的点B，使△AOB为等腰三角形，则k的取值范围是_________.

探究活动：引导学生思考该题的主要数学方法为分类讨论和数形结合，首先应该分析符合题意的点B有哪些情况，然后根据动点轨迹结合函数图像求出k的取值范围：

解析：（1）带领学生分析符合题意的点B集合：

①如图1，当△AOB中OA=OB时，此时符合条件的点B到点O的距离等于点A到点O的距离，那么所有符合条件的点B集合就是以O为圆心OA长度为半径所作的圆，结合题目中的（x＞0）可知在这种情况下所有符合题意的点B集合为处于第一和第四象限的圆弧.

②如图1，当△AOB中OA=AB时，此时符合条件的点B到点A的距离等于点O到点A的距离，那么所有符合条件的点B集合就是以A为圆心OA长度为半径所作的圆，结合题目中的（x＞0）可知在这种情况下所有符合题意的点B集合为处于第一和第四象限的圆弧.

③如图1，当△AOB中OB=AB時，此时符合条件的点B到O点和A点的距离相等，结合线段的中垂线性质可知所有符合条件的点B的集合就是线段OA的中垂线，结合题目中的（x＞0）可知在这种情况下所有符合题意的点B集合为线段OA的中垂线处于第一象限的射线.根据题目中提供的数据以及结合交点的坐标可以解得此时线段OA的中垂线处于第一象限的射线所在直线的函数表达式.

（2）紧接着引导学生画出函数y=kx（x＞0）的图像，随后数形结合分析存在唯一的点B使得△AOB为等腰三角形时函数图像所处状态，最终计算出k的取值范围是k≥或k=.在教学时，本题的难点主要是点B轨迹的集合以及数形结合分析k的取值范围，所以在本题讲解时要留给学生充足的思考时间.

教学分析：在教学时，教师要切实做好引导着角色，抛出问题观察学生反应，，并在恰当的时机给予学生思路上的引导，本题中在给予学生思路引导时应该着重强调的是分类讨论和数形结合的方法，将复杂的问题分类简单化处理.值得关注的是在本题中，x的取值范围在三类情况下对应的B点轨迹中都不能取0，这是学生容易忽略的细节，教师要在学生出现这个问题后再做提醒，因为出错才有教训，记忆才能更深刻.

1.2  深入研究，挖掘本源

例2  如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA=CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是_____.

探究活动：很多学生拿到该题时容易想到利用“两点之间线段最短”来解决问题，但此题中点B是动点，还无法找到对称轴来确定点O的对称点，所以本题应该引导学生首先找出点B的运动轨迹.

解法1：

（1）几何直观猜测点B运动轨迹：

数学学科核心素养要求培养学生的几何直观能力进而进行几何猜想，本题中应该及时引导学生通过多构造几种不同位置的点C位置情况下的对应图形，找到对应情况下点B的位置，结合所作图像合理猜想点B的运动轨迹，如图3，点B，B’，B’’三点在同一条直线上，本题作为填空题，当解题时间有限的情况下，学生可以大胆猜测放手一搏，直接根据所作图像直观猜想出点B的运动轨迹是直线：y=x+1，但是在课堂上时间充裕的情况下，教师应该本着知其然并知其所以然的精神，带领学生一起论证点B的轨迹为什么是这样的一条直线.

（2）理论验证点B运动轨迹：

数学学科素养强调学生的逻辑推理能力，所以理论验证点B的运动轨迹是必不可少的，只有让学生从本源理解了点B的运动轨迹，才能在同类问题中做到思维不卡壳.本题中只要设参数将点B的坐标表示出来就可以结合函数知识表示出点B的轨迹函数.如图4，过点B作y轴垂线交y轴于点D，此时构造出了经典的“K字型全等三角形”，可以证明：△AOC ≌ △CDB ，设OC长为t，可以得到点B坐标为（t，t+1），设x=t，y=x+1，可得y=x+1，所以点B的运动轨迹是函数y=x+1的图像.

（3）构造对称点解决问题：

分析完点B的运动轨迹后，剥离出“将军饮马”模型，如图5，作点O关于直线：y=x+1的对称点O’，可以根据轴对称的性质求出点O’坐标为（-1，1），此时BO+BA的最小值是线段AO’的长度，过点O’作x轴垂线段交x轴于点E，此时在RT△AEO’中根据勾股定理可以求得AO’=，所以BO+BA的最小值是.

解法2：

解法1是从几何直观出发，随后从数的角度严谨论证，从几何直观为切入点比较容易联想出解题思路，所以这种方法是大多数学生首先采取的方法.本着一题多解的想法，在教学时可以适当的穿插些让学生“跳一跳”就能“够得着”的方法，以此打开学生思维的深度和广度.

在介绍本方法前，先带领学生结合直角三角形勾股定理以及平面直角坐标系推导出平面直角坐标系中两点之间距离公式，即：平面内有两个点A（a，b）和B（c，d），那么AB=.如图6，过点B作y轴垂线交y轴于点D，此时构造出了经典的“K字型全等三角形”，可以证明：△AOC ≌ △CDB ，设OC长为t，可以得到点B坐标为（t，t+1），根据平面上两点间距离公式可得：BO+BA=+，即BO+BA的值相当于求点p（t，t）到点（0，-1）和（1，-1）的距离之和最小值，而点p是直线y=x上的点，所以问题转化为在直线y=x上找一个点p，使得p到（0，-1）和（1，-1）的距离之和最小值.作点（0，-1）关于直线y=x的对称点（-1，0），此时问题继续转化为在直线y=x上找一个点p，使得p到（-1，0）和（1，-1）的距离之和最小值，根据两点之间线段最短可知当点p和点（-1，0）点（1，-1）三点共线时距离之和最短，通过代值计算可以解出BO+BA的最小值为.

教学分析：本环节是问题1的拓展延伸，本题中主要考察学生的几何直观想象能力和逻辑推理能力.解题过程是一个不断联想、不断猜测、不断尝试、不断实践的过程，结合本题情境，在解法1中，当学生思路受阻时应当及时引导学生多画几处符合条件的点B，然后结合所作的几处点B大胆猜想点B的轨迹，最后从数的角度验证自己猜想的正确性；而解法2中涉及到的平面中两点之间的距离公式虽然没有出现在课本中，但考试中经常作为新概念题型出现，学生是可以根据已学知识推导出该公式的，解法2主要利用了问题转化思想，通过合理的转化将复杂的问题简单化，但解法2与解法1是有区别的，解法1主要思路是由形到数，而解法2是由数到形，光说方法的话两者各有其优点.本着为了打开学生思维广度及让学生思维的可持续性发展，在教学时不应该浅显的用哪个方法简单哪个方法繁杂来定义哪个方法好，毕竟学生与学生之间的思维存在差异性，所以在教学时应该多鼓励学生尝试用不同的方法解决问题，最终在多种方法体验后体会到每种解题方法独特之处.解题教学不光关注学生的解题结果，还要关注解题思路的寻找过程并及时复盘整个解题过程.在解决完问题后，教师应当带领学生对解题过程进行反思，在解题过程中用到了哪些思想方法、问题涉及到哪些知识点、问题的拓展等，并总结该题给学生本人带来的启发.

2  解题教学反思

《义务教育数学课程标准（2022年版）》相比《义务教育数学课程标准（2011年版）》，在“图形的性质”中强调通过实验探究，直观发现，推理论证来研究几何问题；在“图形的变化”中新增强调从运动变化的角度来研究试题，能够理解图形运动中的平移，翻折，旋转变化中的变化规律以及运动中的变量与定量；同时在“图形的变化”中的轴对称模块，能力要求从“了解”提升为“理解”层面.以上的题目都涉及到图形的运动，在变化的过程中存在着变与不变的量，而找到不变的量是解决问题的关键，故该知识板块的重要性不言而喻.以上题目在引导学生观察、猜想、推理中落实核心素养，彰显数学的思维价值.

2.1  追根究底，探究问题本源

深入挖掘数学问题的本质是学生理清问题疑点，揭示问题本质，归纳总结问题的前提.本节习题课以两道动点问题为切入点，并且第二题相对于第一题的动点轨迹分析难度稍有提升，通過探索发现归纳发掘动点问题解决的核心是先分析出动点的运动轨迹，而动点的轨迹分析方法主要为几何分析法和函数分析法.寻找解决问题的通法才能在后续各类变式题型中顺利解决问题.

2.2  分类讨论，让问题更清晰

当一个问题无法在一个前提下统一解决时，我们就需要对问题进行分类，并且是将问题中不同预设的条件作为分类的基础，随后各个击破.分类讨论可以将复杂笼统的问题划分为简单清晰的单个情况下的问题，总的来说就是“化整为零，各个击破，再积零为整.”当然分类讨论的并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1.不重（互斥性）不漏（完备性）2. 按同一标准划分（同一性）3.逐级分类（逐级性）.

2.3  化繁为简，问题难点迎刃而解

解决较难的问题时，要精准定位题目里的知识点并将各类知识点合理分解.动点问题经常会出现各种几何模型，比如刚才题目中出现的“K字型全等”，“将军饮马模型”等，在解决问题2时，通过剥离几何模型，将看着复杂的图形分解，最终复杂的问题简单化，通过本题教学，不仅总结出“动点问题”的一般化解法，而且揭示了这类题目命题的基本思路.

2.4  数形结合，问题解决相得益彰

数形结合是数学解题的重要方法，从“形”的角度直观清晰，从“数”的角度精准计算，两者相辅相成不可或缺，能帮助学生由浅入深地理解解题思路.在上述题目中，都可以从形的角度先取几个不同位置的点B，然后结合点B分布位置猜测点B的运动轨迹，紧接着从数的视角证明点B的运动轨迹函数表达式；形是数的猜想基础，数是形的缜密验证，两者缺少一个都不能高效率高精度完成数形结合类题目的解题.

2.5  回归学生视角，经历思辨，生成感悟

张景中院士认为：小巧一题一法，不应提倡，大巧法无定法，也确实太难，出路在于中巧.这里的中巧，指的就是数学解题中有章可循、联想顺畅、思路合理的方法.

数学倡导发散性思维，并非刻意追求一道题目有多少种解法，而是引导学生利用已有知识经验去合理的思考解题方法.有些题目解法很多，但不一定适合所有学生，换言之，解题不是老师自己想的多么妙，而是让学生如何想得到.学之道在于悟，教之道在于度，只有回归学生的视角，让他们经理思辨，生成自我感悟，才能提升学生的思维层次.

参考文献：

[1]郭源源.“似”曾相识依“理”构图[J].中学数学教学参考（中旬），2022（8）：60-62.

[2]向明刚.从一道网红题引发的思考[J].中学课程辅导，2020（2）