文|刘 留

特级教师蒋守成执教的《省刻度尺》一课是对人教版四年级上册“数学广角—优化”内容的拓展延伸，旨在丰富学生数学学习的内容，形成统筹优化的思想方法。在教学过程中，先从常见的刻度尺谈起，再逐一省略掉某些刻度，要求依然保持刻度尺完整的测量功能，随后通过开展系列探究活动引导学生对“省刻度尺”进行认知辨析和自主设计，最终体会到“省”是一门学问，更是一种创新。一方面，“省刻度尺”注重帮助学生建构知识之间的桥梁，聚焦主题从零散走向整体，学会系统化、结构化地思考问题；另一方面，它还注重数学学习与现实生活的良性互动，引导学生主动运用数学原理解释生活现象，不断获得新见解、拓展新思路、提出新问题，实现创新意识和应用意识的自然生长。

片断一：打破常规，换一种方式思考

师：同学们，今天的数学研究要从一把5cm 长的直尺说起，如果想量出3cm 的长度，可以怎么量？

生：可以从0 刻度量到3cm 处。

师：现在让我们省去了直尺上的刻度“3”，但是仍然要一下子量出3cm，该怎么办呢？

生：可以先量出5cm，再减去2cm，剩下的线段长度就是3cm 了。

生：不行！这样一来就不是一下子量出来的，而是量了两次。我们可以从刻度“2”开始量，到刻度“5”的长度就是3cm。（如图1）

生：还可以从刻度“1”开始，量到刻度“4”就是3cm 长。（如图1）

图1

师：大家聪明极了！这两种方法都不是从“0”刻度开始量，却都能量出3cm 长。看来，我们在测量物体的长度时可以从刻度“0”量起，也可以从刻度“1”、刻度“2”……开始量起。如果省去这把直尺上的刻度“2”，还能量出2cm 长吗？其他长度呢？

生：可以！刻度“1”到刻度“3”的长度就是2cm。

生：还可以是刻度“3”到刻度“5”。（多数学生点头表示赞同）

生：用这把尺子还可以量出“1cm”“3cm”“4cm”和“5cm”的长度。

师：原来省去了刻度“2”，依然可以量出所有的整厘米数。大胆地猜想，如果同时省去了刻度“2”和刻度“4”，还能量出哪些长度呢？如果省去三个刻度呢？请有序地写在《作业单1》上。（如图2）

图2

生：刻度“0”到刻度“1”的长度是1cm；刻度“3”到刻度“5”的长度是2cm；刻度“0”到刻度“3”的长度是3cm；刻度“1”到刻度“5”的长度是4cm；刻度“0”到刻度“5”的长度是5cm，所有的长度都能量出来。

师：说得很完整。

生：如果刻度尺上再省去3cm 这个刻度就不能量出1cm 到5cm 所有的长度了，只能量出1cm、4cm 和5cm。

【赏析：打破常规，建立联系，在“破”与“立”的交织过程中激活学生的数学知识。一般来说，学生在用刻度尺测量物体的长度时，会习惯性地将物体一端与“0”刻度线对齐，另一端对准刻度几，那么物体长度就是几厘米。有时候熟练的操作方式也会羁绊学生的思维步伐，蒋老师抓住这一点设计出本节课，凸显换一种方式思考的育人价值。当刻度尺上省去了刻度“3”，仍要量出3cm 长，学生开始觉得不自然；当刻度尺上又省去了刻度“2”和“4”甚至是三个刻度，这种不自然的感觉又裹挟着挑战。学生充分调用所有本领应对这样的劣构性问题，尝试新思路、优化原方法，突破常规认知的约束。英国诗人布莱克说，打破常规的道路指向智慧之宫，学生在换一种方式应对挑战的过程中学会用“测量的最终读数-测量的起始读数”的方法量出物体长度，在新旧知识间建立联系，让思维更具灵活性。】

片断二：深入理解，为创新积淀力量

师：到目前为止，我们一共看见了三把刻度尺（指着PPT），你认为哪一把最神奇呢？

生：我觉得第二把最神奇，它省去了两个刻度依然可以量出1cm 到5cm 所有的长度。

生：同意，第一把尺子只省去了一个刻度，它只能算比较神奇。

师：给这把尺子起个名字吧！

生：神奇的尺子。（学生笑）

生：省刻度尺。

师：告诉大家，这叫“省刻度尺”，在100 多年前，一位英国的数学游戏大师发明了它，想看看吗？

生：想！（播放视频，如图3）

图3

师：大家听明白了吗？什么样的尺子才能称为“省刻度尺”？

生：刻度要省得最多，而且要能够量出所有的刻度。

生：第一把尺子省得太少。而第三把尺子由于省得太多，不能量出所有的刻度，只有第二把尺子省得刚刚好。

【赏析：“省刻度尺”最早由数学游戏大师杜登尼提出，是“以少表示多”的经典问题，蕴含统筹优化的思想方法。在教学片断中，蒋老师精心设计了三个层次的教学，夯实学生的基础，为数学创新积聚力量。第一层次，请你判断哪一把尺子最神奇？学生坚定不移地认为是第二把尺子，因为第一把尺子不够“省”，还可以再优化；第三把尺子过于“省”，不能量出所有长度，“最优意识”逐渐印在了他们心中。第二层次，请你给这把尺子取个名字。学生脱口而出——“省刻度尺”，可见概念习得是本质理解基础上自然生长的结果，挪威作家乔斯坦·贾德指出，真正的知识来自内心，而不是别人的传授。第三层次，观看“省刻度尺”的由来，拓展学生的认知边界，丰富学生的数学理解，帮助他们知其然更知其所以然。】

师：看来大家已经知道了什么是“省刻度尺”，也知道了“省刻度尺”的标准是什么。请你说一说这把是不是省刻度尺？（出示图4）

图4

下面这把7 厘米长的直尺，0 和7之间只有两个刻度，想一想它是不是省刻度尺？并说出理由。

生：它不是“省刻度尺”，因为如果要量3cm，2+3=5（cm），要利用刻度“5”，现在尺子上没有5，所以量不出3cm，它就不是“省刻度尺”。

师：3cm 量不出来，其他的长度呢？

生：1cm 可以用刻度“6”到“7”，2cm 可以用刻度“0”到“2”，4cm 可以用刻度“2”到“6”，5cm 可以用刻度“2”到“7”，6cm 可以用刻度“0”到“6”，7cm 可以用刻度“0”到“7”。

师：现在请你添上一个刻度，让它成为“省刻度尺”，试试看吧！

生：添上刻度“4”，刻度“4”到刻度“7”的长度就是3cm。

生：还可以添刻度“3”，刻度“0”到刻度“3”的长度也是3cm。

生：还可以添刻度“5”，刻度“2”到刻度“5”的长度也是3cm。

师：大家的思维很敏捷，这把刻度尺的中间还有很多不同的填法，要尽量按顺序填才不会乱。（如图5）

图5

【赏析：“省刻度尺”适用于自我探究和发现。学生根据自己的理解判断出含有“0”“2”“6”“7”刻度的直尺不是“省刻度尺”，因为它无法量出3cm 的长度。蒋老师顺势引导学生不妨再添加一个刻度，使得它成为真正的“省刻度尺”。虽然大多数学生找到了部分答案，但是缺乏完整性，蒋老师鼓励学生按一定顺序将所有可能的情况进行列举，学生体悟到这样的方法能做到不重复、不遗漏，让纷繁复杂的可能性变得条理化，思维也趋向结构化，《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出“有效的教学活动是学生学和教师教的统一”，教师关键性的点拨往往会让学生的数学理解再上新台阶，达到新高度。】

片断三：迁移链接，培养创新意识

师：难度提升，我们需要创造一把“省刻度尺”，请在0 到6 之间添上最少的刻度，设计成一把省刻度尺，然后把一次能量出的长度有序记录在《作业单2》上。

生：我原来写的是刻度“2”“4”和“5”，后来发现刻度“4”是多余的，去掉刻度“4”后仍然可以量出所有的长度。

生：我从添加刻度“1”“2”开始尝试，按刻度“1”“3”、刻度“1”“4”试下去，发现添加刻度“1”“4”可以变成“省刻度尺”，就写了上去。

师：蒋老师特别欣赏他说的一个词“尝试”，很多时候试着试着就有灵感了。我们在尝试找所有符合的情况时，要注意有序地思考，做到不重复、不遗漏。

师：我们发现，5cm、6cm 的刻度尺上都只要添加两个刻度就变成“省刻度尺”；7cm、8cm 的刻度尺上都添加三个刻度就变成“省刻度尺”；9cm 的刻度尺上仍然是添加三个刻度就变成“省刻度尺”。它的背后隐含着什么规律呢？等待大家继续探索。（出示图6）

图6

生：可以用“0°”和“30°”量出30°的角，用“30°”和“80°”量出50°的角，用“10°”和“80°”量出70°的角，用“0°”和“80°”量出80°的角……

师：你瞧！刻度省了，仍然可以量出更多的长度；角度省了，仍然可以量出更多的角度。我们使用的人民币面值除了有1 元、5 元、10元，还有2 元，将它们组合起来使用就是数学知识在生活中的运用啊！（出示图7）“省”是一门学问，“省”是一种智慧，“省”让不可能成为了可能！

图7

【赏析：从认识“省刻度尺”，到理解“省刻度尺”，再到创造“省刻度尺”，学生慢慢体会到了“省”是一门学问，是一种创新！蒋老师鼓励学生在0 到6 之间添上最少的刻度，自主设计出一把“省刻度尺”，让先前埋下的“思维种子”自然生长，学生尝试按一定的顺序寻找答案，剔除无效值，保留有效值，追求完整地解决问题，养成了有序思考的习惯。本节课注重从两个维度促进学生创新意识的培养，一是知识创新，从“测量长度”向“测量角度”迁移、从数学知识向现实生活跨越，原本孤立的知识不断联结拓展，学生的思维更具系统性、结构性，让课堂再次掀起了思维的浪潮；二是认知创新，在日常生活中，学生常常对于人民币面值会有这样的疑惑，为什么人民币没有3元、6 元的面值……呢？我相信《省刻度尺》一课已经给了他们答案，让数学学习接通生活的源泉，也再次巩固了数学学习，实现彼此的双向交流。杭州师范大学张华教授说：“我们不做知识的搬运工，要做知识的生产者。教育只有一门学科，那就是完整表现生活。知识的本质是观念，观念的本质是实践，让知识流向生活很重要。”帮助学生真正学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。】