夏鸿鸣

(天水师范学院 数学与统计学院,甘肃 天水 741001)

分数阶微积分是整数阶微积分的推广,已有300多年的历史,早期因为分数阶微积分缺乏应用背景和计算困难等原因,分数阶微积分理论及应用没有得到实质性进展[1].近20 a来,由于计算机的快速发展,学者发现分数阶微积分有很多的优点,可以更加准确地描述与历史相关的物理变化过程,实际系统具有这种动态特性的现象很多,因此,很多学者在不同的领域采用分数阶系统描述,并得到了很好的结果[2-5].另一方面,分数阶混沌系统与对应的整数阶混沌系统相比有着更加丰富的动力学行为,目前,学者研究了很多的分数阶混沌系统并取得了大量的优秀成果[6-8].最近几年,很多新的混沌系统不断被发现,如多翼混沌系统、级联混沌系统等,研究表明,许多系统具有多重稳定性,共存吸引子是非线性系统中存在的一种新的动力学行为,通过调整初始状态,系统运行轨线可能渐近趋向点、混沌、周期、准周期等不同的稳定状态,存在共存吸引子的混沌系统在保密通信领域有更好的应用价值[9].基于此,本文中,笔者提出了一个新的分数阶混沌系统,不断调整系统参数和初值条件,得到了系统的各种共存吸引子,并进一步研究了此分数阶混沌系统的混合同步控制问题.

1 分数阶微积分定义

定义1分数阶微积分是对非整数阶积分-微分算子的推广,如下定义[2]:

(1)

其中,q表示阶数,R(q)表示q的实部,a和t是积分的上下限.由于Caputo分数阶微分定义几何和物理意义明确,在工程实际中应用广泛,因此采用Caputo定义.

定义2函数f(x)的Caupto分数阶导数定义为

(2)

为了简单起见,关于分数阶非线性系统的表达式中积分下限统一用*代替.

2 分数阶系统描述

文献[10]提出了一个整数阶的四维非线性系统,方程如下描述:

(3)

其中x,y,z,w是状态变量,a,b,c,d是正的参数.结果表明系统(1)具有丰富的动力学行为.

考虑系统的阶数为分数阶,则相应的动力学方程表示如下:

(4)

首先,计算系统的平衡点

(5)

通过计算可得,系统的平衡点为s=(0,0,0,0),进一步计算雅克比矩阵

(6)

令det(λI-J)=0,可得下列多项式:

f(λ)=λ4+P3λ3+P2λ2+P1λ+P0,

(7)

其中

(8)

根据稳定性理论,此平衡点是不稳定的.

2.1 分数阶系统的混沌和分岔分析

当系统参数选取a=6,b=4,c=8,d=2时,调整系统的阶数qi(i=1,2,3,4),这里考虑等阶的情形q1=q2=q3=q4=q.图1a,b给出了阶数不同时系统的相图.当系统的阶数为q=0.64时,系统呈现出周期态,随着阶数的增加,系统产生混沌吸引子.

a.q=0.64; b.q=0.96.图1 阶数不同时,分数阶系统(4)的相图Fig.1 2-D Projections of New System (4) in the xOz Plane for Different Orders

为了进一步分析系统的动力学行为,固定系统的阶数,调整系统的参数,利用分岔图研究系统(4)的分岔过程.

系统参数选取b=4,c=8,d=2,q=0.96时,改变参数 2.0≤a≤3.2,系统随着参数a变化的分岔图见图2.可以看出,当参数值a∈[3.05 3.2]时,系统呈现混沌吸引子,当参数值a=2.6时,系统发生一系列的倍周期分岔.

图2 当a∈(2.0,3.2)时,分数阶系统(4)的分岔图Fig.2 Bifurcation Diagram of the Fractional Order System Showing Period-doubling Route to Chaos fora∈(2.0,3.2)

系统(4)对应分岔图的二维相图如图3a,b所示.

qi=0.96(i=1,2,3,4); a.a=2.9;b.a=3.2.图3 当a取不同值时,分数阶系统(4)的不同吸引子Fig.3 Phase Portraits of Various Attractors the Fractional-order System (4) for Derivative Order

接下来,系统参数选取a=6,c=8,d=2,不断调整参数11.0≤b≤15.5,系统(4)的分岔图见图4.

图4 分数阶系统(4)随着参数b变化的分岔图Fig.4 Bifurcation Diagram of the Fractional Order System (4) forb∈(11.0,15.5)

由图4可见,当b=12时,系统发生倍周期分岔,其对应的相图见图5a,b.

a.b=14; b.b=15.5.图5 当b取不同值时,分数阶系统(4)的不同吸引子Fig.5 Attractors of the Fractional Order System with Different Parameters

由图5可见,当参数取一定值时,系统(4)从混沌态跳跃到周期态.

2.2 分数阶系统的共存吸引子

主要考虑改变初始条件和系统参数,分析系统(4)的共存吸引子.为简单起见,固定系统的阶数为q=0.96.对于此系统的共存吸引子,分以下几种取值形式.

1) 系统参数取值为a=6,b=4,c=1.25,d=2,初值条件分别为x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=-2,z(0)=3,w(0)=4时,共存吸引子如图6a所示.可以看出,系统呈现1周期.

2) 当参数取值为a=6,b=4,c=2,d=2,初值条件分别为x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=-2,z(0)=3,w(0)=4时,系统(4)的共存吸引子如图6b所示.可以发现,系统呈现4周期.

3) 当参数取值为a=6,b=10.1,c=8,d=2,初值条件分别为x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=2,z(0)=-3,w(0)=4时,共存吸引子如图 7a所示.

4) 当参数取值为a=8.9,b=4,c=8,d=2,初值条件分别为x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=2,z(0)=-3,w(0)=4时,共存吸引子如图7b所示.

红色和蓝色吸引子对应的初值分别为x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=-2,z(0)=3,w(0)=4;参数值分别为a.a=6,b=4,c=1.25,d=2; b.a=6,b=4,c=2,d=2.图6 分数阶系统(4)随着系统参数和初值条件变化的共存吸引子Fig.6 Coexisting Attractors of Fractional Order System (4) with Varied System Parameters

红色和蓝色吸引子对应的初值分别为x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3,w(0)=4和x(0)=1,y(0)=2,z(0)=-3,w(0)=4;参数值分别为a.a=6,b=10.1,c=8,d=2; b.a=8.9,b=4,c=8,d=2.图7 分数阶系统(4)随参数值和初值条件变化的各类共存吸引子Fig.7 Various Coexisting Attractors of Fractional Order System (4) with Varied System Parameters

从上述数值模拟中可以看出,当改变系统的初值和参数值时,新的分数阶系统(4)呈现出各类不同的共存吸引子,包括周期、倍周期、混沌吸引子.

3 结 论

提出了一个新的分数阶非线性系统,并研究了此系统的丰富的动力学行为.主要包括稳定点分析以及不同参数下的相图、系统随着不同的参数变化的分岔图;进一步调整系统的初始条件和参数取值,数值仿真得到了新系统不同状态的共存吸引子.