刘东升

摘要：代数解题教学常常偏重程序性操作（“怎样做”），而弱化思路分析（对“怎么想”的探索），不利于培养学生面对陌生情境时独立解决问题的能力，特别是，会使学生在遇到一些要作适当变形和代换才能归结到操作流程上的代数问题时感到困难；也容易造成思维定式，不利于学生思维灵活性的发展。对此，代数解题数学要重视由代数式子的一般性与可变性决定的“代”和“变”，努力培养学生的结构感。具体而言，要通过必要的分析和示范，凸显目标指向下“代”和“变”的思维过程。

关键词：代数解题；解题教学；代换；变形；结构感

*本文系江苏省教育科学“十四五”规划特色项目研究所专项课题“高质量发展视域下‘三学’立人的实践研究”（编号：TSXM/2021/06）的阶段性研究成果。一、 误区：偏重程序性操作，弱化思路分析

我国著名数学教育家曹才翰先生曾经指出：“初中代数教材中，大量的是按法则、公式的形式出现，而这些法则、公式大都是带有程序性的。”［1］例如两个有理数相加，根据有理数加法法则，按照以下流程运算：识别类型、确定符号、绝对值运算。再如解一元一次方程，依次按照以下步骤操作：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。又如异分母分式相加减，先通分（需分析最小公倍式），化为同分母分式后再加减，这样的过程也是带有程序性的。

關于初中代数内容的程序性特点，曹才翰先生归纳了七点教学建议与价值，包括“偏重记忆”“操作要靠练习来获得”“对初学者有法可循”“示范模仿是必要的”“把简单操作对接为复杂操作”“便于自学”“有利于形成技能”等。［2］

由此，代数解题教学中，教师常常组织学生基于题型（考点）分类训练程序性操作。比如，对一元二次方程的应用问题，有些学校的备课组将其细分为数字问题、传播问题、单或双循环问题、增长率问题、商品销售问题、图形面积问题、动态几何问题，等等。

然而，题型固化后解题的程序性操作偏重的是“怎样做”，属于解题技能，容易演变为一种机械的动作。这弱化了基于题意理解的思路分析（对“怎么想”的探索），不利于培养学生面对陌生情境时独立解决问题的能力（加工思想材料时反映出来的比较稳定的心理特点，如感知觉、注意力、记忆、联想、推理等），特别是，会使学生在遇到一些要做适当变形和代换才能归结到操作流程上的代数问题时感到困难。

例如，求分式（x－1）（2x＋1）（x2－x－2）x2的最小值。本题中分式的分子是两个一次二项式和一个二次三项式的积，分母是一个二次单项式。如果按常规的解题程序将分子展开，则会得到一个四次五项式。如果没有三次项和一次项，则很容易转化为二次三项式（令x2＝t代换，即把x2看成一个整体），再利用二次函数的性质求解。但是，这里有三次项和一次项，所以很难处理。将其与分母约分，虽然消去了四次项和三次项，但是会新增“负一次项”和“负二次项”，依然很难处理。如果从对称（平均）的角度考虑，把分子转化为四个一次二项式的积，进而转化为两个二次式的积（因为分母显然是两个一次一项式的积），则只能出现一个没有一次项的二次式，其他都是完整的二次式（即二次三项式），还是不知道如何处理。只有进一步尝试转化为两个二次式积的各种情况，才有可能在两个二次式分别与x约分后，发现x－1x这个公共部分（结构元素），再通过整体代换，把原式转化成可以求出最值的形式，即二次式形式。具体解答过程如下：

此外值得一提的是，做好代数解题与平面几何解题的衔接过渡，关键不是在代数解题中强调平面几何解题强调的推理（因为代数代换与变形本质上就是推理，强调推理只不过是在程序化操作的过程中让学生注意算理，知道“为什么”，即“知其所以然”），而是强调平面几何解题更加强调的思路分析（这样才能让学生学会探索，知道“怎么想”，即“知何由以知其所以然”）。

参考文献：

［1］［2］ 曹才翰．曹才翰数学教育文选［M］．北京：人民教育出版社，2005：210，210222.

［3］［4］ 叶旭山.刍议初中代数推理教学［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（11）：1516，19.

［5］ 华罗庚.大哉数学之为用：华罗庚科普著作选集［M］.上海：上海教育出版社，2018：119.

［6］ 徐彦辉.例析代数问题解答中“结构感”的培养［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2019（10）：5253.