孙谦

摘要：数学教育的重要目的是促进儿童思维的深度发展。结构化学材是儿童思维发展的有效支架。在数学学习中，可以利用结构化学材的融通性、多元性和生长性，支持儿童思维的整体性、转换性和自调性，促进儿童的思维抵达深处。

关键词：小学数学；结构化学材；思维发展

*本文系江蘇省基础教育内涵发展项目“小学数学结构化学习课程基地建设”的阶段性研究成果。

结构化学材是在单元整体甚至跨单元、跨学科视角下对教材内容进行重组，基于儿童认知特点，指向儿童结构性思维发展的可视化、易操作的学习支架。它采用多样的表达形式吸引儿童注意，适合儿童同时进行外在的具象操作和内在的心理经历，支持儿童思维向纵深发展。在结构化学材的支持下，促进儿童思维的深度发展，促进儿童学习的深度发生，可以从思维的整体性、转换性和自调性三个方面寻找路径。

一、结构化学材的融通性，支持思维整体性

所谓思维整体性，是指在研究问题时，使用全方位视角去思考知识整体及局部的内在结构。整体性思维与系统性思维、拓广性思维、同构性思维不可分，三方面目标指向整体性思维的高度、广度和深度。［1］结构化学材是在贯穿数学思想方法、洞察知识内在联系、厘清认知思维结构［2］的基础上开发出来的，具有融通性，可以帮助儿童从整合的视角，将学习对象分类、归纳、抽象，演绎内在的逻辑关系，形成对一类对象的整体性认识，发展模型意识和推理意识。

结构化学材助推儿童系统性思维发展。系统性思维是把事物整体当作一个系统加以思考的思维方式，具有整体性、综合性、定量化和精确化等特点。结构化学材的开发，从宏观角度，能够实现数学现实与生活现实的系统耦合：从日常生活实际抽象出的有待解决的数学问题，可以利用结构化学材贯通意义，如利用日常生活中称重的天平作为学材理解等式和不等式的意义。从中观角度，能够实现数学单元之间的系统耦合：义务教育阶段不同领域的数学知识可以通过结构化学材统整，如数与运算、图形的认识与测量分属于数与代数、图形与几何领域，利用数形结合的结构化学材，可以通过图形度量来解释运算的原理，也可以通过计算来找到图形度量的关系。从微观角度，能够实现数学单元内部知识的系统耦合：一个单元内部的各个知识点紧密联系，自然可以利用结构化学材来促进关联。

结构化学材助推儿童同构性思维发展。同构性思维的核心是建立知识之间的横向联系——通过类比，发现同构，关联方法，实现迁移。发展同构性思维与《义务教育数学课程标准（2022年版）》中强调“学科内容的一致性”高度统一。一致性的实现是聚焦核心概念，通过将零散的内容建立关联，形成有关学科的大概念、大观念，在这个过程中一定伴随着类比、关联和迁移等思维操作。小学数学教材中，数学单元知识呈现分散编排、内在联系的特点，可以利用结构化学材进行知识同构、方法同构和思想同构。例如，结构化学材——可弯可直的一组软米尺（如图1所示），将形的连续（数轴的延展）和数的连续（计数单位的累加）两种思想联系起来。

结构化学材助推儿童拓广性思维发展。思维的广度是指思维所涉及范围的广阔程度。培养儿童的拓广性思维，就是让儿童在不同的抽象层次上，从已有的模式、概念出发，通过类比等去拓广已有的结果，对可能产生的模式、概念进行研究，从而使数学研究的对象不断扩充。这种拓广，存在两种形式：一种是对内纵向拓广，表现为对概念研究程序的进一步细化；一种是对外横向拓广，表现为根据已有概念的研究性质推想出同类概念是否也具有同样的研究性质。［3］儿童在小学阶段学习的数学内容以各种概念为主，概念学习中的拓广性思维发展可以借助结构化学材。例如，利用结构化学材——小巧型组合式计数器（如图2所示），来研究各种各样的数。儿童先利用在算杆上串珠学习自然数1—9；再利用算杆的增加学习自然数的数位和位值原理；接着类推到小数，利用计数器左右两边的延展将“十进制”迁移到小数。计数器的直观组合过程成为搭建数位顺序表的工具支架与模型支架，也是学习“数系”的重要载体。［4］

二、结构化学材的多元性，支持思维转换性

思维转换性体现思维的多视角，即从多个角度观察同一现象，用联系的、发展的眼光看问题，会得到更加全面的认识；从多个层次、多个方面、多个角度思考同一问题，会得到更加完满的解决方案。发展儿童思维的转换性，就是要引导儿童根据不同的需求，灵活切换三种不同层次的思维形式——直觉行动思维、具体形象思维和抽象逻辑思维，达到多层面、多视角全面认知的目的。数学学科本身具有高度抽象性，大量的信息都是由符号和数字组成的。以儿童现有的思维水平，难以直接进行心理运演，必须借助结构化学材的多元表征方式，如图像、实物操作、口头语言、文字符号等，将个体思考的过程再现出来，实现知识结构的关联。具体来说，多元表征具身、离身的不同体验，可以让儿童从不同的感觉通道丰富对被表征对象的认识；多元表征文本、非文本的呈现方式，可以让儿童获得的数学概念信息优势互补、相辅相成；本质相同的言语化和视觉化表征的多种变式，可以对接不同儿童的不同思维方式，产生多元的学习视角。教师可以基于知识和儿童认识的特点，设计一系列知识内在关联、形象具体直观的学材，组成基于意义学习的“学材包”，帮助儿童进行多元表征，抓住新旧知识之间的联系，促发其将所学习的知识积极、主动地迁移到新的问题解决中，达到举一反三、融会贯通、助推思维深度发展的目的。

例如，教学“两位数加一位数的进位口算”时，教师开发了“天平”系列多层级的结构化学材包。第一层次的学材包，包括三种意义形态的天平：实物天平、图片天平和脑海中的抽象天平。第二层级的学材包，则是针对“平衡”情况下解决“24+6=？”的进位加法口算开发的小棒、计数器和纸笔等学材包。对第一层次三种天平学材的操作，指向直觉行动思维、具体形象思维和抽象逻辑思维。首先，通过实物天平来称量具体的物体，在天平两边增减砝码或者称量的物品，来具身感知什么是“平衡”和“相等”。接着，通过图片天平两臂的高、低、平状态，和=、>、<建立一一对应的联系，抽象“等式”和“不等式”的意义。最后，解决“47+□=52”“6+□□>70”的问题，依托脑海中的抽象天平，抛开实物与图片，完全进行心理操作。三个环节，三个层次，让儿童的动作从具身到离身，思维从具象到抽象。而第二个层次小棒、计数器和纸笔等组成的学材包，在探究“24+6何以等于30”中发挥了重要作用。儿童可以根据自己的水平选择适合自己的学材，并在合作交流中呈现不同的方法——小棒摆、计数器拨，画小棒和计数器，直接用分解式来计算，反映出直觉行动思维、具体形象思维和抽象逻辑思维三个不同的层次。再通过合作学习的方式互相理解认识，互相转换思维。在此基础上，对不同的方法进行归纳——无论采用什么动作和学材，都是先把个位上的4和6加起来，再加上十位上的2（20）。此时，儿童各种形式、层次的思维转换自如，“通”却“不同”，思维灵活性不断提高。

三、结构化学材的生长性，支持思维自调性

思维结构中存在自我意识，可以监控思维结构发展。认知结构中包含元认知，它是组织、提炼、监控、调节、反省知识的知识及方法。思维自调性是一种思维自觉的行动，是学习者作为独立的学习主体，主动、自觉地从事学习活动，目的在于采用各种调控措施使得自己的学习达到最优化的过程，具有能动性、有效性和相对独立性等特点。［5］对于儿童来说，在学习的过程中，除了凭借努力去探索和发现未知的领域，掌握解决问题的方法与策略，也要主动对自己的学习过程进行反思和审视， “通过对已有的结构的反省，构造出不同于原来的新结构”［6］ ，发展内在的学习心理机制。实现儿童思维自调性的发展，就要让儿童处于特殊的生活情境和特定领域的知识背景中，面临真实的问题或挑战，自始至终将自己作为一个具有主观能动性的学习主体，完整经历和体验观察、发现、探究、反思、修正的过程，在解决遇到的问题和困难时，自觉调整思维，成功地迁移甚至创造性地使用数学知识，顺利解决生活中的实际问题。达到这样的目标，需要借助于结构化学材的趣味性、丰富性和能动性，激发儿童的兴趣，让儿童手脑结合，运用多种探究方式。更为重要的是，要利用结构化学材的生长性，将其作为一种“冲突性”工具技术，不断激起新的“学习困境”，动摇儿童已有认知结构的平衡状态，让儿童自觉根据实际需求，主动调整思考的方向和思维的节奏，从浅表问题开始，逐步逼近问题核心。首先，利用结构化学材的“植根”设计，让儿童明确思维的终极目标。结构化学材是基于知识结构和认知结构关联的学习材料，是在分解某个概念知识与认知结构核心元素的基础上设计出来的，自始至终都指向这个核心元素。其次，利用结构化学材的“延展”设计，让儿童自主明晰思维的发展路径。结构化学材的层级性和发展性，围绕概念内部关联的核心元素，引导儿童由浅入深、逐级展开探究活动，最终抵达解决问题的终点。最后， 利用结构化学材的“留白”设计，给儿童思维的自我调整留下空间。结构化学材在大概念统整理念下进行设计，针对学习对象处于多层级不同思维水平的特点，抓大放小，凸显儿童心理轨迹的过程，让不同的儿童在数学思维上得到不同的发展。

例如，教学“认识小数”时，提供结构化学材——没有标识的米尺（1米长）。让儿童自己测量各种物品——黑板、窗户的边框、课桌表面，数学书封面的长和宽等。在一次次的测量中，“量而有余”和“量而无余”的情况交替产生，激发了儿童的认知冲突，引发了儿童对“新数”的需求。为了追求更加精确的结果，也为了更方便地测量，学生根据自己的需要一次次进行调整，将米尺“精致化”处理。米尺上的分点越来越密，单位长度越来越小，小数部分的数位越来越多，数的精确程度越来越高。动作、图像和抽象三者协同作用，也让儿童慢慢体会到了数的另一个隐藏的性质——稠密性，拓展了对数的认识的视野。在使用结构化学材的具身操作中，随着体验的不断丰富，儿童逐步把握概念的核心元素，知识从浅表走向深入，思维也从粗放不断自调，逐步走向精细。

“数学教育应当致力于促进学生更积极地去进行思考。” ［7］ 结构化学材呈现的方法、形式和内容，就是知识发生、思维发展的过程样态。结构化学材支撑下的深度学习，推动儿童思维多层面、有层次发生、发展。结构化学材是儿童思维发展的支架，将抽象、内隐的思维关系“下沉”到一种看得见、摸得着的状态，让儿童通过对它的具体动作，触发来自脑海深处的思维脉动，真正实现思维的深层发展。

参考文献：

［1］［3］ 米妍，王光明.整体性数学思维方式视野下的教材阅读——基于章建跃先生对《实数》一章的教材分析［J］.数学通报，2017（10）：810.

［2］ 吴玉国.小学数学结构化学习的实践研究［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2021：43.

［4］ 萬兆荣，吴玉国.小学数学结构化学材开发的实践探索［J］.教学管理，2021（11）：52.

［5］ 李士锜，吴颖康.数学教学心理学［M］.上海：华东师范大学出版社，2011：40.

［6］ 庞维国.论学生的自主学习［J］.华东师范大学学报（教育科学版），2001（2）：80.

［7］ 郑毓信.“数学与思维”之深思［J］.数学教育学报，2015（1）：1.