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一类带记忆项半线性时间分数阶σ-发展方程解的爆破①

2023-01-18何鑫海陈雪丽杨晗

关键词:柯西测试函数初值

何鑫海, 陈雪丽, 杨晗

西南交通大学 数学学院, 成都 611756

本文研究以下半线性时间分数阶σ-发展方程的柯西问题:

(1)

(2)

这里

为Riemann-Liouville型积分, Γ(β)为Gamma函数. 算子(-Δ)σ定义为

上述时间分数阶σ-发展方程(1)在物理学、 力学和其他应用科学中有着大量应用[1-3], 通常用于刻画具有幂律变特性的粘弹性介质中机械波的传播问题, 也可描述介于扩散和波传播模型的中间现象, 且这种现象通常发生在粘弹性介质中, 融合了表现波传播的类固体材料和支持扩散过程类流体材料的特性, 近年来关于该类方程解的适定性研究引起了不少研究者的关注[4-7].

注意到非线性项有如下性质

进而有

因此, 当指数γ→1-且参数α,σ取极限情形时, 本文所研究的非线性记忆项的柯西问题(1)可转化为非线性项为|u|p的经典问题. 探讨问题(1)与经典柯西问题解的性质之间的联系是一件很有意义的事情.

当α=0,σ=1,γ=1时, 问题(1)转化为如下半线性热传导方程的柯西问题:

当α=0,σ=1,γ∈(0, 1)时, 问题(1)则转化为如下带记忆项半线性热传导方程的柯西问题:

文献[11]证明了在

时解在有限时刻爆破, 并证明了p>på时小初值情况下存在整体解, 此处

(n-2+2γ)+=max{0,n-2+2γ}

可以看到当γ→1-时, 此时的临界指数与Fujita临界指数一致.

当α=1,σ=1,γ=1时, 问题(1)转化为如下半线性波动方程的双初值问题:

(3)

文献[12]在

和p>1,n=1时证明了解在有限时刻爆破. 根据Strauss猜想[13], 问题(3)的临界指数p0(n)为二次方程

(n-1)p2-(n+1)p-2=0

的正根, 并且在n≥2,p>p0(n)时, 问题(3)在小初值情况下存在整体解, 在p≤p0(n)时问题(3)的解在有限时刻爆破. 文献[14-16]在超临界情况下针对不同空间维数证明了整体解的存在性, 文献[17-18]在临界情况下、 文献[19-20]在次临界情况下分别针对不同空间维数证明了解的有限时刻爆破.

对于时间分数阶方程, 当α∈(0, 1),σ=1,γ=1时, 问题(1)转化为如下时间分数阶扩散-波动方程的柯西问题:

文献[4]得到了在小初值情况下,u1=0及u1≠0时该问题的两个临界指数, 分别为

文献[6]证明了当小初值u0∈L1(Rn)∩L∞(Rn)且指数满足

时问题(1)存在唯一整体解. 那么在1

定理1当α∈(0, 1),σ≥1,γ∈(0, 1)时, 假设初值u0∈L1(Rn)∩L2(Rn)且满足

(4)

(5)

T≤Cε-k

其中

C是与ε无关的正常数.

定义1[21](Riemann-Liouville型分数阶积分) 令T>0,f∈L1(0,T),α∈(0, 1)阶左侧与右侧Riemann-Liouville型分数阶积分分别定义为

此处Γ(α)为伽马函数.

定义2[21](Riemann-Liouville型分数阶导数) 令T>0,f∈AC[0,T],α∈(0, 1)阶左侧与右侧Riemann-Liouville型分数阶导数分别定义为

对于以上微积分定义, 有如下性质成立:

(6)

其中

此处要求

命题2[22]令T>0,α∈(0, 1), 则对任意f∈Lr(0,T), 1≤r≤∞, 等式

在t∈(0,T)上几乎处处成立.

此处f∧g表示存在一正常数C, 满足f≤Cg.

引理2[23]令σ≥1, 记φ=φ(x)=〈x〉-q,q>0. 对于任意R>0, 定义φR为

φR(x)=φ(x/R)x∈Rn

则(-Δ)σ(φR)满足以下伸缩变换性质

(-Δ)σ(φR)(x)=R-2σ((-Δ)σφ)(x/R)x∈Rn

在证明爆破之前, 通过Caputo型分数阶导数的定义(2)及分部积分公式(6), 先给出问题(1)弱解的定义.

定义3令p>1,T>0,u0∈L2(Rn). 若函数

u∈Lp([0,T],L2p(Rn))∩L1([0,T],L2(Rn))

且对任意测试函数φR(x)∈H2σ(Rn),φ(t)∈C2([0,T]), 有

(7)

则称u是问题(1)的局部弱解. 若T=∞, 则称u是问题(1)的整体弱解.

关于此测试函数, 有

且有如下求导性质:

引理3[22]令T>0,α∈(0, 1),β>α, 对任意t∈[0,T], 存在C=C(α,β), 有

以及

定理1的证明

引入测试函数

φR(x)=φ(x/R)φ(x)=〈x〉-n-2sσ∈C∞(Rn)

在Rn上可积. 这里

[σ]为σ的取整. 由引理1, 可以看出对∀σ≥1, 有

|(-Δ)σ〈x〉-n-2sσ|∧〈x〉-n-2sσ

现将测试函数φR和φ带入(7)式中, 有

以及

从而有

(8)

(9)

由(5)式, 当且当p

令T→∞, 可以推出

故u=0, 这与假设(4)矛盾, 所以问题(1)在次临界条件下不存在整体解.

当p=pc时, 有

此时令

由(8)式及Young不等式可得

当K足够大时, 由(5)式可以推出

同样产生了矛盾, 故问题(1)在临界条件下不存在整体解.

由(9)式可知

T≤Cε-k

其中

C是与ε无关的正常数.

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