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挖掘典型试题的探究功能

2022-12-20戈峰

中小学课堂教学研究 2022年12期
关键词:开放课堂核心素养

戈峰

【摘 要】为适应国家培养创新型人才的需求,高考考试内容改革从“考知识”到“考能力”转向“考素养”,从“解答题目”转向“解决问题”。数学课堂倡导探究性活动,不仅有利于学生积累数学探究活动经验,而且有利于学生提升分析问题、解决问题的能力,更重要的是还可以培养学生的创新意识,发展学生数学核心素养,促进学生科学精神的形成。

【关键词】试题探究;开放课堂;开发教材;核心素养

一、引言

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出,为适应国家培养创新型人才的需求,高考考试内容改革从“考知识”到“考能力”转向“考素养”,从“解答题目”转向“解决问题”。近年来,高考创新了试卷结构,研制了多种新题型,突出数学本质和关键能力的考查,这就要求教师在教学中要重视学习过程,突出数学本质,增强思维能力,提升核心素养。在课堂上,教师要引导学生开展探究活动,激发学生的探究能力。数学探究活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程,具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探究、合作研究论证数学结论[1]。本文以一道逆用“阿波罗尼斯圆”性质的试题为例,挖掘典型试题的探究功能,以期为教师教学提供参考。

二、案例分析

在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,1),点B是圆C:x2+y2+2x-3=0上的动点,则[AB]+2[BO]的最小值为     。

1.思路分析

从学生的经验出发,该题有以下常见解题思路。

思路1(从代数运算思考) 设B点坐标,[AB]+2[BO]将会表示为两个根式和的形式。

思路2(从几何转化思考) 形如[AB]+2[BO]的最值问题容易联想起2[BO]中的系数“2”可能与椭圆、双曲线的离心率有关系,从而将2[BO]与圆锥曲线上的点到准线的距离联系起来。

思路3(从轨迹观点思考) 设[OE]=2[OB],E(x,y),B(x1,y1),则由B点在圆C上运动可以求出E点运动的轨迹方程:x2+y2+4x-12=0,此時[AB]+2[BO]=[AB]+[EO]。

2.解法探究

思路3把[AB]+2[BO]中的2[BO]转化为[EO],但[AB]+[EO]中点B,E都是动点,因此解题难度还是比较大。如果把2[BO]转化为点B到另一个定点的距离[BD],那么该题就可理解为圆上一点到两个定点的距离之和的最值。教师可以按照以下探究思路进行教学。

探究1:是否存在定点D,使得[BD]=2[BO]?如果存在,求[AB]+2[BO]的最小值。

生1:假设存在定点D(a,b),使得[BD]=2[BO],设B(x,y),则(x-a)2+(y-b)2=4x2+4y2,化简整理得3x2+3y2+2ax+2by-a2-b2=0。

又因为点B(x,y)在圆C:x2+y2+2x-3=0上,两式消去x2,y2项,整理得(2a-6)x+2by+9-a2-b2=0,由题意知该式有无数组解,于是有[2a-6=0,2b=0,9-a2-b2=0,]解得[a=3,b=0,]所以D(3,0)。

于是问题转化为[AB]+2[BO]=[AB]+[BD]的最小值,又点A(0,1)在圆C内,点D(3,0)在圆C外,点B在圆C上,故[AB]+2[BO]=[AB]+[BD][≥][AD]=[10],因此所求的最小值为[10]。

【反思小结】如图1,上述解法实际上是将生成圆C(“阿波罗尼斯圆”)的另外一个点D找到了,其满足[BD]=2[BO]。它与点O共同生成圆C,从而将[AB]+2[BO]的最小值问题转化为[AB]+[BD]的最小值问题,利用两点之间线段最短即可解决。学生在平时的解题中习惯于由动点到两定点距离之比是一个不等于1的正实数求出圆方程。而本题是已知圆方程、其中一个定点坐标和比值2,由此可求出另外一个定点坐标,这可以看作是“阿波罗尼斯圆”的逆应用。教师可以充分利用本题的探究功能对学生进行思维训练,引导学生思考与发现问题。

3.本质探究

生2:点D(a,0)满足[BD]=2[BO],设B(x,y),则有(x-a)2+y2=4x2+4y2,化简整理得3x2+3y2+2ax-a2=0。又因为点B(x,y)在圆C:x2+y2+2x-3=0上,代入前式消去x2,y2项,整理得(2a-6)x+9-a2=0,该式有无数组解,于是有[2a-6=0,9-a2=0,]解得a=3,所以D(3,0),下同上面生1的解法。

生3:求出圆C与x轴正半轴交点B0(1,0),再由[B0D]=2[B0O],得D(3,0)。

【反思小结】在考试过程中,学生在求解填空题时常会用到一些简便方法,体现了数学直觉意识和方法特殊化。值得注意的是,无论上述哪个解法都默认了点D在x轴上,当笔者询问学生点D为什么在x轴上时,他们的回答基本都是:受教材上的一道题目启发猜测而来。

苏教版高中数学必修2“圆的方程”课后有一道这样的习题:已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为[12],那么点M的坐标应满足什么关系?画出满足条件的点M所构成的曲线[2]。设M(x,y)是所求曲线上任意一点,则把[MOMA]=[12]代入[x2+y2x-32+y2]=[12],化简整理得x2+y2+2x-3=0,而本案例中的圆恰好就是该圆。因此,如果学生对教材这道题目比较熟悉,他马上就会意识到该式[MA]=2[MO]中的点A(3,0)就是要找的点D,问题也就迎刃而解了。如果学生只是知道教材上有一道这样的题目,就会有上述的猜测,这隐含了生成“阿波罗尼斯圆”的两定点和圆心三点共线的直觉和想法。

探究2:已知A,B是两个定点,点P满足[PA]=λ[PB](λ>0,λ≠1),则點P的轨迹是一个圆,试探究点P所在圆的圆心M与A,B三点是否共线?

生4:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由[PA]=λ[PB](λ>0,λ≠1),得(x-x1)2+(y-y1)2=λ2[(x-x2)2+(y-y2)2],整理得(1-λ2)x2-2(x1-λ2x2)x+(1-λ2)y2-2(y1-λ2y2)y=λ2(x22+y22)-(x12+y12),化为圆的标准方程为[x-x1-λ2x21-λ22]+[y-y1-λ2y21-λ22]=[λ2(x22+y22)-(x12+y12)1-λ2]+[x1-λ2x21-λ22]+[y1-λ2y21-λ22],进一步整理可得[x-x1-λ2x21-λ22]+[y-y1-λ2y21-λ22]=[λ1-λ22][(x1-x2)2+(y1-y2)2],…………………①

故圆心M[x1-λ2x21-λ2,y1-λ2y21-λ2],半径r=[λ1-λ2][(x1-x2)2+(y1-y2)2=][λ1-λ2][AB],又由A(x1,y1),B(x2,y2),M[x1-λ2x21-λ2,y1-λ2y21-λ2],知[MA]=[λ21-λ2](x2-x1,y2-y1),[MB]=[11-λ2](x2-x1,y2-y1),易知[MA]//[MB],又因为点M是公共点,所以A,B,M三点共线。

探究3:既然证明了M,A,B三点共线,能否进一步找到三点位置的数量关系?

生5:显然[MA]=λ2[MB],因为λ>0,λ≠1,所以当λ>1时,[MA]>[MB],点M在线段AB的延长线上;当λ∈(0,1)时,[MA]<[MB],点M在线段BA的延长线上。由[MA]=λ2[MB]得[AM]=-λ2[MB],可知点M分线段AB成定比-λ2。

【反思小结】如图2,原题中,学生想到了利用特殊化的方法求出D点,事实上,除了圆C与x轴正半轴的交点B0(1,0),圆C与y轴正半轴的交点B1(0,[3])也是一个特殊点,满足[B1D]=2[B1O],易得D(3,0)。

探究4:在[△B1CD]中,[OC]=1,[B1O]=[3],[OD]=3,不难发现∠CB1D=[90°],即直线B1D恰好是圆C的切线,这是巧合还是有必然的内在联系?

生6:如图3,不妨设点B(x2,y2)在圆M外,若BP,BQ为圆M的两条切线,P、Q为切点,因为M[x1-λ2x21-λ2,y1-λ2y21-λ2],所以以BM为直径的圆的方程为(x-x2)[x-x1-λ2x21-λ2]+(y-y2)[y-y1-λ2y21-λ2]=0。………………………………………②

①-②得直线PQ的方程为[x2-x1-λ2x21-λ2][x-x1-λ2x21-λ2]+[y2-y1-λ2y21-λ2y-y1-λ2y21-λ2]=[λ1-λ22][(x1-x2)2+(y1-y2)2],将A(x1,y1)代入上式,左边=[x2-λ2x2-x1+λ2x21-λ2][x1-λ2x1-x1+λ2x21-λ2]+[y2-λ2y2-y1+λ2y21-λ2y1-λ2y1-y1+λ2y21-λ2]=[x2-x11-λ2][λ2(x2-x1)1-λ2]+[y2-y11-λ2][λ2(y2-y1)1-λ2]=[λ1-λ22][(x1-x2)2+(y1-y2)2]=右边,这就证明了点A在直线PQ上,由圆的性质有PA⊥AB。反之,若PA⊥AB,因[MA]+[AB]=[MB],又[MA]=[λ2][MB],所以[MA]+[AB]=[1λ2][MA],解得[MA]=[λ21-λ2][AB],故[MB]=[11-λ2][AB]。在Rt[△MAP]中,由[MP2]=r2=[λ1-λ22][AB2],[MA]=[λ21-λ2][AB],所以[PA2]=[MP2]-[MA2]=[λ21-λ2][AB2]。在Rt[△]BAP中,[PB2]=[PA2]+[AB2]=[11-λ2][AB2],于是有[PB2]+[MP2]=[11-λ2][AB2]+[λ1-λ22][AB2]=[11-λ22][AB2]=[MB2],所以MP⊥PB,故点P为切点,同理可得点Q也为切点。

生7:如图4,不妨设点B在圆M外,若过点B的直线BP、BQ与圆M相切于P、Q两点,直线AB与圆M交于P1,P2两点,设P1在线段AB上,P2在线段AB外,则[PA]=λ[PB],因为BP与圆M相切于点P,由弦切角定理得∠BPP1=∠AP2P,又[PA]=λ[PB],[P1A]=λ[P1B],在[△]   PAB中,由平面几何知识有∠   BPP1=∠      APP1,故∠      AP2P=∠       APP1,因为PP1⊥PP2,所以∠ APP1+∠ APP2=[90°],故有 ∠      AP2P+∠    APP2=[90°],所以PA⊥AB。反之,设点B在圆M外,过A作AB的垂线交圆M于P,Q两点,由相交弦定理得[PA]·[AQ]=[P1A]·[P2A],又由PA⊥AB,所以[PA]=[AQ],[PA2]=[P1A]·[P2A],又[P1A]=λ[P1B],[P2A]=λ[P2B],于是有[PA2]=λ2[P1B]·[P2B],又[PA]=λ[PB],所以[PB2]=[P1B]·[P2B],[P1B]=[MB]-[MP1]=[MB]-[MP],[P2B]=[MB]+[MP2]=[MB]+[MP],所以[PB2]=[MB2]-[MP2],也就是[PB2]+[MP2]=[MB2],所以MP⊥[PB],即PB为圆M的切线,同理BQ也为圆M的切线。

4.总结迁移

师:我们在寻找生成“阿波罗尼斯圆”的另外一个点的过程中,發现了一些结论:设A(x1,y1),B(x2,y2)为不同的两点,动点P(x,y)满足[PA]=λ[PB](λ>0,λ≠1),则动点P的轨迹是一个圆,记为圆M(圆心为M),不妨设λ∈(0,1),点B在圆M外,点A在圆M内,则有如下结论:

(1)M,A,B三点共线,且点M分线段AB成定比-λ2,即[AM]=-λ2[MB]。

(2)圆M的半径r=[λ1-λ2][(x1-x2)2+(y1-y2)2=][λ1-λ2][AB](λ>0,λ≠1)。

(3)当点B在圆M外时,过点B作圆M的两条切线与圆M切于P、Q两点,则直线PQ过A点;反之,若过点A作直径的垂线交圆M于P、Q两点,则P、Q为过点B所作圆M两切线的切点。

【反思小结】我们在解决原问题时,求另一个定点(D)的方法可以用“阿波罗尼斯圆”的定义,也就是用代数的方法转化为一个方程有无数组解来求解;也可以利用结论(1)(2)(3)中的任何一个来进行求解。

三、教学反思

1.开放课堂,激发探究热情

传统的课堂是以传授知识为主的课堂,教学理念比较滞后,课堂设计比较封闭,教学形式比较单一。在传统的课堂,学生的学习积极性、思维活跃度、探究学习的热情就会大打折扣。随着社会的发展,新时代需要的是创新型的人才。因此,我们需要开放的教学理念,释放学生的思维;需要开放的教学设计,营造宽松的课堂氛围;开放的组织形式,构建新型的师生关系。开放课堂,使学生在宽松的氛围下进行平等、愉快地探索学习,调动学习的积极性和主动性,激发探究问题的热情;开放课堂,使学生在课堂上敢想、敢说、敢问、敢做,自主表达自己的所想、所思、所疑、所创,学生真正成为课堂的主体。在本教学过程中,笔者营造了宽松的学习氛围,学生从已获得的基本活动经验出发,体会了3种解题思路在解决问题中的局限性。在接下来寻找“阿波罗尼斯圆”的另一个定点时,学生的主动性被充分调动起来,展开了积极的讨论和探究,通过一般情形和特殊情形两种情况,代数计算和几何推理两种方法,找到了另一个定点,最终解决了问题。笔者不是把教学内容简单地告诉学生,而是把独立思维的空间和合作探究的时间留给学生,鼓励学生大胆猜想、自主探究、合作讨论、敢于质疑、勇于表达,把课堂打造为培养学生自主学习的能力和创造性思维的开放式课堂。

2.开发教材,挖掘探究潜能

高中数学教材内容的趣味性和启发性,对学生的自主探究具有积极的作用。在日常教学中,教师大部分的教学活动都是围绕教材展开的。教材是教师进行教学的依据,因此,教师在教学前必须对教材内容进行深度挖掘,对教材内容不断创新。教师对教材挖掘的深度与准确度,对提高学生学习效果有着重要的作用。2019年人教版高中数学教材中安排了“探究与发现”和“数学探究”栏目,但在实际的教学过程中,很多教师未认真组织学生对这些栏目内容进行深入探索和思考。事实上,这些内容为探究型课堂教学提供了丰富的探索素材,为培养学生的创新意识与探究能力提供了广阔的天地。如果学生一直以被动接受的方式来获取知识,那么学生的创新意识和探究能力必然会成为无源之水、无本之木。“探究和发现”和“数学探究”内容为学生提供一个重新发现知识的平台。学生通过亲身经历知识发现、结论证明、新知识应用过程,促使学生对数学充满兴趣,从而培养学生创新意识和探究能力。教材上的例题和习题不仅是教师教学和学生学习的主要资料,还是高考命题的重要参考依据,所以教材上的例题和习题的探究价值也不容忽视。“阿波罗尼斯圆”在高中教材中没有直接给出,只是在苏教版高中数学必修2“圆的方程”课后习题中出现,但一直是高考命题的热点。对于教材上的例题和习题,教师应该注重挖掘其背景和应用,体会其中所蕴含的数学思想和方法,适时对有关联的各类例题和习题进行整合、重组、演变,使学生能通过这些变化与联系,从不同侧面和多角度把握问题本质,触类旁通。本案例的背景是“阿波罗尼斯圆”,难点是从已知的圆方程、一个定点坐标和比值,求出“阿波罗尼斯圆”另外一个定点坐标,是对“阿波罗尼斯圆”的逆应用,也是对知识的延伸和方法的拓展。

3.开展探究,提升核心素养

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出,教师在课堂教学过程中“理解数学知识产生与发展过程中所蕴含的数学思想”“关注数学学习过程中思维品质的形成,关注学生会学数学的能力……”[1]。学生在课堂上不仅学到大量的科学知识,更重要的是在学习过程中学到了研究问题和解决问题的方法、思想、能力,这就要求教师积极开展探究性教学,注重培养学生的探究能力,提升学生的核心素养。数学教育家弗赖登塔尔曾说,学习数学唯一正确的方法是让学生进行“再创造”,即数学知识应由学生自己去发现或创造,教师的任务不是把现成的知识灌输给学生,而是帮助和引导学生进行“再创造”工作。这与新课程所倡导的探究活动的理念是一致的。本案例的主要任务是对一道试题的解法进行探究,师生共同经历了“思路分析—解法探究—本质探究—总结迁移”的探究过程。学生从中不仅学会了该题的解法,加深了对“阿波罗尼斯圆”的认识,而且积累了数学探究活动经验,提升了分析问题和解决问题的能力,更重要的是培养了创新意识,发展了数学核心素养。

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M].北京:人民教育出版社,2020.

[2]徐稼红.普通高中课程标准试验教科书数学2(必修)[M].南京:江苏凤凰教育出版社,2012.

(责任编辑:陆顺演)

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