林运来

（厦门大学附属实验中学，福建 漳州 363123）

2022 年中考是“双减”政策和义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）颁布后的第一次中考，备受社会各界关注.2022 年福建省中考数学试卷（以下简称“福建卷”）立足“双减”背景，科学合理设置试卷难度，坚持素养立意，凸显育人价值，遵循课标要求，增强考查内容的基础性与情境性，使中考由“解答试题”转向“解决问题”，体现新时代教育评价改革理念.

一、依托学科特点，凸显育人导向

在考试核心功能上，福建卷根据数学学科特点，坚持立德树人导向，加强对学生德智体美劳全面发展的考查和引导.

（一）紧贴时代生活，弘扬中华优秀文化

例1.（第4 题）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）.

简析：剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，是人类非物质文化遗产，一把剪刀就是全部工具，一张纸就是“舞台”，在这方寸“舞台”上，制作者的才华展现得淋漓尽致.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，简洁灵活、自然风趣，特别引人注目.本题以中华传统民间艺术中极具特色的窗花创设问题情境，考查学生对轴对称图形的识别能力，试题选材既有助于引导学生“会用数学的眼光观察现实世界”，又体现了中华文化的博大精深，充分体现家国情怀，注重引领学生对中华优秀传统文化的传承.

（二）理论联系实际，关注现实生产生活

例2.（第8 题）2021 年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列.图1 是福建省10 个地区环境空气质量综合指数统计图.综合指数越小，表示环境空气质量越好.依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（ ）.

A.F1B.F6C.F7D.F10

简析：“空气质量综合指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，可以直观、简明、定量地描述环境空气质量状况.本题以福建省10 个地区的环境空气综合质量指数这一现实生活中的真实素材设计问题情境，带着浓浓的家乡味，试题平和，背景公平，使学生感到“可亲可敬”.坚决打好污染防治攻坚战，是党的十九大明确的三大攻坚战之一.试题自然地融入生态文明和绿色发展理念，体现了中考关注国计民生、加强学生与生活和社会的联系的命题理念，有助于改变固有的德育模式，在“润物无声”中引导学生关注环境保护，增强新时代青少年的责任担当.

（三）合理创设情境，引导劳动教育

例3.（第20 题）学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组.

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查.活动前，调查组随机抽取50 名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图（图2）.活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图（图3）.其中A组为0≤t<1，B组为1≤t<2，C组为2≤t<3，D组为3≤t<4，E组为4≤t<5，F组为t≥5.

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在那一组；

（2）该校共有2000 名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数.

简析：习近平总书记在全国教育大会上强调：“要在学生中弘扬劳动精神，教育引导学生崇尚劳动、尊重劳动，懂得劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽的道理，长大后能够辛勤劳动、诚实劳动、创造性劳动.”命题者将“劳动创造美好生活”的观念与统计图、中位数、样本估计总体等数学基础知识有机结合，考查数学阅读理解能力、应用意识和数据分析观念，有利于引导学生树立正确的劳动观念，真切领会美好的生活要靠自己的智慧和勤劳的双手，从中培育学生的劳动能力、劳动习惯和劳动品质.

二、立足学科本质，聚焦关键能力

关键能力是指在面对与学科相关的生活实践或学习探索问题情境时，高质量地认识问题、分析问题、解决问题必需具备的能力.［1］福建卷从社会、科技、经济发展变化对人才的新要求出发，加强了对学生在信息时代应具备的阅读理解、信息整理、语言表达、批判性思维、辩证思维等关键能力的考查.［2］

（一）丰富信息载体，考查数学阅读理解能力

数学语言主要包括符号语言（抽象简练）、图表语言（形象直观）、文字语言（精准到位）.［3］数学阅读是一个融“假设”“证明”“想象”“推理”等思维活动于一体的积极认知过程，要读懂数学语言，学生必须具备数学阅读理解能力.所以，对数学语言进行有效的转换在很大程度上影响考生的阅读活动和解题思路.

例4.（第22 题）在学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46 盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2 倍.已知绿萝每盆9 元，吊兰每盆6 元.

（1）采购组将预算经费390 元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？

（2）规划组认为有比390 元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值.

简析：本题以一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数的性质等基础知识为依托，注重考查学生获取信息、分析、说明等综合解决数学问题的能力和思维品质，考查了函数与方程思想、运算能力、模型思想、应用意识等数学素养.

值得指出的是，本题的题设条件与例3“无缝衔接”，增强了阅读的流畅度，有助于考生稳定发挥.

（二）突出学科特点，考查数学实践探究能力

例5.（第23 题）如图4，BD是矩形ABCD对角线.

（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A切于点E，CF⊥BD，垂足为F.若直线CF与⊙A相切于点G，求tan ∠ADB的值.

简析：本题考查直角三角形的性质、特殊平行四边形的判定与性质、圆的概念与性质、锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查函数与方程、化归与转化等数学思想，考查推理能力、运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学学科素养，突出考查数学实践探究能力.第（1）问虽是考查实践操作的作图题，但是考查的核心在于“推理”.要确定一个圆，需要“一点”（即圆心）和“一数”（即圆的半径），要作出⊙A，使得⊙A与BD相切，说明圆心已经确定（即点A），因此，只需确定圆的半径，由圆与直线BD相切，可知圆的半径等于点A到直线BD的距离，于是问题转化为常见的尺规作图问题——过一点作已知直线的垂线.第（2）问将黄金数与相关的数学知识有机结合起来，有助于引导学生感悟数学之美，提升直观想象和数学抽象素养.本题回归教材，立足基础知识，注重数学知识通性通法的考查，以此引导中学教学立足课本、回归课堂，扎扎实实把基本功打牢.

（三）注重逻辑推理，培养批判性思维能力

例6.（第16 题）已知抛物线y=x2+2x−n与x轴交于A，B两点，抛物线y=x2−2x−n与x轴交于C，D两点，其中n>0.若AD=2BC，则n的值为______.

简析：本题是一道关联结构水平考题，［4］解题的关键是找准关联点.运用图象对条件进行关联是解决函数问题的通法.［4］题目中有“抛物线”“交点”“线段长”三条线索，如何将这些线索关联起来？当然是利用函数图象，为问题解决提供直观.作出图5 函数y=x2+2x−n的图象后，不妨设点A在点B的左侧，再结合等式“AC=2BC”关联思考，确定思路方向：抛物线y=x2+2x−n与抛物线y=x2−2x−n关于y轴对称，可知A，D关于坐标原点O对称，同时B，C关于坐标原点O对称，于是可以通过建立方程（组）求解.

解法1：因为n>0，由x2+2x−n=0，解得x=−1±，

由x2−2x−n=0，解得x=1±，

因为AD=2BC，

解得n=8.

解法2：如图5，由AD=2BC，可得OD=2OB.

设B(t,0)(t>0)，则D(2t,0)，

消去n，得3t2−6t=0，

解得t=2.

所以n=t2+2t=8.

解法3：设A(x1,0)，B(x2,0)，由图5 可知C(−x2,0)，D(−x1,0).

因为x1，x2是方程x2+2x−n=0 的两个实根，

由AD=2BC，可知OD=2OB，即−x1=2x2，

解得x1=−4，x2=2，

所以n=−x1x2=8.

解法1 通过直接求出点的坐标，再利用线段长的等量关系建立方程求解，解法2 通过把线段长的等量关系转化为点的坐标的等量关系，再结合点在抛物线上建立方程组求解，解法3 利用韦达定理和联立方程来解决问题.本题给考生提供了灵活的思考空间，能从不同的角度进行思考解答，有利于学生批判性思维、创新思维等高阶思维能力的培养，有助于促进知识的横向融合，使学生形成更强的解决问题能力.

例7.（第15 题）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误.例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：

设任意一个实数为x，令x=m，

等式两边都乘以x，得x2=mx. ①

等式两边都减m2，得x2−m2=mx−m2. ②

等式两边分别分解因式，得(x+m)(x−m)=m(x−m). ③

等式两边都除以x−m，得x+m=m. ④

等式两边都减m，得x=0. ⑤

任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是________.

简析：推理与证明贯穿中学数学的每一个章节.数学证明中，严谨的逻辑推理不可或缺.本题立足等式的性质，要求考生找出推理过程中的错误，学生必须具备完整、细致、全面、深刻的思维品质.该题引导学生体会“数学是清楚的”，进而“形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力”.［5］

（四）增设开放问答，考查发散性思维能力

长期以来，填空题是主观题的主阵地，有问有答，但是变成开放问答后，就更能让学生联系所学知识，聚焦问题的解决.［6］

例8.（第14 题）已知反比例函数y=的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______.（只需写出一个符合条件的实数）

简析：这是一道反比例函数的相关问题，在开放性方面作出了有益的尝试.借助反比例函数的图象与性质，可知k<0.本题答案不唯一，考生只需确定其中一种情况，有助于激励考生主动思考、发散思维，把考生从标准答案中解放出来.

三、落实“双减”政策，引领教学改革

构建教育良好生态，促进学生全面发展、健康成长是“双减”的总体要求.“双减”要求数学教学在遵循数学学习规律的基础上减少死记硬背和“机械刷题”，增加实践应用.福建卷对“双减”的回应体现在关注现实应用，突出思维品质考查，发展学生的理性思维，提升学生的数学素养，以实现减量、提质、增效的目的.

（一）基于真实情境，在解决问题中促进学以致用

以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法，适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例，题目设置要注重创设真实情境，提出有意义的问题.［7］

例9.（第9 题）图6 所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，BC=44cm，则高AD约为（ ）.（参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51）

A.9.90cmB.11.22cm

C.19.58cmD.22.44cm

简析：学科核心素养是学生通过数学实践活动来形成和发展的，而这一活动必须在真实的问题情境中实现.本题以衣架为素材创设真实数学情境，设计典型任务，考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，重点考查了学生利用模型进行数学估算的数学学科素养，突出了考查的实用性和应用性.

（二）巧设情境任务，通过综合问题考查核心素养

培育学科核心素养，主要通过发现学习、探究学习、建构学习来实现.因此，中考命题要善于创设真实、复杂的问题情境，考查学生发现问题、解决问题的能力.

例10.（第25 题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0)，B(1,4)两点，P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△AOB面积是△PAB面积的2 倍，求点P的坐标；

（3）如图7，OP交AB于点C，PD‖BO交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3，判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

简析：本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程、函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养，需要考生具备良好的逻辑思维能力和运算求解能力，综合性强.第（1）问面向全体学生，要求考生通过已知条件列方程（组）求出a，b的值.第（2）问需要冷静分析问题情境，探索得出利用点P的坐标表示△PAB的面积的方法，再通过列方程求解；第（3）问需要考生把转化为线段之比，再表示成点P的横坐标的函数，利用二次函数的性质求出最值.

总之，福建卷以落实立德树人、聚焦关键能力、引领教学改革为命题出发点，充分发挥评价的育人导向作用，真正体现了“用数学的方式育人”的理念，有利于引导学校聚焦教育质量提升、聚焦学生学科核心素养的养成，有利于引导教师更新教学理念、改进教学方式，有利于让学生从“死记硬背”和“书山题海”中解放出来，服务于学生未来的可持续发展.