李志远，黄 丹，闫康昊

(河海大学工程力学系，南京 211100)

相比于等截面梁，变截面梁能够提供更优化的强度、刚度和质量分布，可满足特殊的结构与功能要求且经济性好，因而广泛应用于土木、机械、航空航天、精密仪器仪表等诸多工程领域中 [1 −2]。国内外学者近年来采用有限元法[3−4]、微分求积法[5]、摄动法[6]、超几何函数法[7−8]、瑞利-里兹法[9]等各种不同方法开展了变截面梁的振动特性分析。最近，LI 等[10− 11]提出了一种直接基于二维弹性理论高精度求解任意变截面梁自由振动的方法，但在处理含缺陷的变截面梁时依然存在困难。

传统的数值方法大多是基于局部微分理论思想，如有限元法、有限差分法和有限体积法。因此，在存在间断点和奇异点以及高阶导数的情况下，传统的数值方法面临着巨大的挑战。近场动力学(Peridynamics, PD)[12− 13]是一种基于空间非局部积分思想分析固体力学问题的新理论。由于在求解不连续问题时表现出独特的优势，该理论近二十年来受到计算力学及各工程领域相关研究者的广泛关注[14−15]。秦洪远等[16]和顾鑫等[17]通过改进键型PD 模型有效模拟了混凝土结构多裂纹扩展、冲击破坏及侵彻问题。张钰彬等[18]在常规态型PD 模型中加入等效水压力项实现了页岩水力压裂过程的仿真。王涵等[19]建立非常规态型PD 热黏塑性本构模型并应用于金属材料在冲击荷载下的热黏塑变形与破环。马鹏飞等[20]利用最小二乘法优化键型PD 中的微模量，有效地降低了边界处的误差，并提高了模拟裂纹扩展过程的收敛速度。基于PD 非局部相互作用的思想，MADENCI 等 [21 −22]于2016 年提出了近场动力学微分算子(Peridynamic differential operator, PDDO)。相比于PD，PDDO 可以方便地将传统的局部微分转化为非局部积分形式，不需要任何参数的转化及边界处理，并且适用范围更广。目前，PDDO 已在多相流[23]、复合材料[24 −25]、热力耦合[26− 27]等问题的求解方面取得了初步的应用。特别是近年DORDUNCU[25]将PDDO应用于层合梁的应力分析，LI 等[27]基于PDDO 分析了变截面功能梯度梁的静力弯曲问题。

本文在已有研究基础上，进一步将PDDO 应用于变截面梁的动力问题求解。将变截面梁的动态微分控制方程与边界条件通过PDDO 转化为对应的非局部积分形式，应用变分原理和拉格朗日乘数法，将非局部积分形式的控制方程转化为标准特征值问题表达形式，从而求得结构自振频率与模态。通过对等截面梁的自由振动分析并与已有解析解比较，验证了本方法良好的收敛性与准确性。其次，分析了下边界分别以一次、二次连续变化的变截面梁的自由振动，证明了本方法在任意变截面梁自由振动问题分析中的适用性与通用性。最后，通过含孔变截面梁的自由振动分析，说明本方法在含缺陷构件振动分析和损伤识别等问题方面的潜力。

1 问题描述

考虑变截面简支梁如图1 所示，梁长L，左端截面高度H，上、下边界可分别被描述为h1(x)、h2(x)。梁的本构关系(平面应力假设)为：

图1 任意变截面简支梁Fig. 1 Simply supported beam with arbitrarily and continuously varying cross-section

式中：σx、σy分别为x、y方向正应力；τxy为切应力；u、v分别为x、y方向位移；E为弹性模量；µ为泊松比。动态微分控制方程为：

式中，ρ 为材料密度。将式(1)代入式(2)得微分控制方程：

对于梁的自由振动分析，其周期位移分量可以表示为：

式中：U、V为振型函数；ω为自振频率；i 为虚数单位。将式(4)代入式(3)得：

针对不同截面梁，即不同的上、下边界表述函数hk(x) (k=1, 2)，上、下边界条件为：

2 变截面梁振动分析的PDDO 求解

2.1 PDDO 简述

将二维标量函数f(x)=f(x,y)，二阶泰勒展开并忽略余项可得[21− 22]：

2.2 非局部化

将式(9)代入式(5)，可得非局部形式的控制方程：

可采用类似的方法得到本构方程和边界条件非局部形式，此处不作赘述。

2.3 离散格式

求解域D可被均匀离散为N个物质点，如图3所示。Δx为物质点离散间距，A=(Δx)2为物质点代表面积。物质点x(i)附近δ 距离内的物质点组成近场范围H(i)，可表达为：

图3 均匀PD 离散Fig. 3 Illustrations of uniform PD discretization

从图2 可以看出，近场范围可以为任意形状。传统PD 中一般采用圆形近场范围，并需要额外的体积修正步骤来提高精度。为避免考虑额外的步骤，本文采用正方形近场范围，并选取近场范围尺寸δ=3Δx，如图3 中物质点x(i)的近场范围H(i)。对于含缺陷的结构，则需将相互作用跨过缺陷的物质点从原近场范围物质点集合中去除。靠近边界的物质点x(j)、x(k)自然会有非对称的近场范围H(j)、H(k)。边界条件可直接施加在边界物质点上。

图2 物质点间的相互作用Fig. 2 Interaction of material points with arbitrary family

同样也可以得到本构方程和边界条件离散形式。

2.4 求解体系

将控制方程和边界条件表达为代数方程组：

式中：L和c分别为离散控制方程和边界条件中PD 函数所产生的系数矩阵；u为待求位移向量，可表示为：

于是，式(24)可转化为标准特征值问题：

其中：

3 数值算例

本节应用所提出的方法开展多种变截面梁的自由振动分析。首先，通过等截面梁的自由振动分析，验证本文方法的准确性与收敛性。其次，分别对下边界一次、二次连续变化梁的自由振动分析，检验本方法对于任意变截面梁自由振动分析的适用性。最后，考虑含孔洞的下边界二次变化梁，分析孔径对变截面梁自由振动的影响。本节所有算例，如无特殊说明，参数均取为：梁长L=10 m，弹性模量E= 206 GPa，泊松比µ= 0.3，密度ρ = 7800 kg/m3，上边界h1(x) = 0，物质点离散间距Δx= 25 mm。采用无量纲自振频率的表达式：

3.1 等截面梁

考虑等截面简支梁，如图4 所示，截面高度H= 1 m，下边界h2(x) =H。

图4 等截面简支梁Fig. 4 The simply supported beam with constant cross-section

表1 中给出了等截面梁前8 阶无量纲自振频率，并与解析解[10]作对比。可以看出本文解与解析解具有很好的一致性，最大相对误差为0.946%，说明了本方法的准确性与高精度。

表1 等截面梁的无量纲自振频率Table 1 Non-dimensional frequencies of the beam with constant cross-section

为进一步验证本方法的收敛性，分别考虑物质点离散间距Δx= 25 mm、31.25 mm、40 mm、50 mm，前3 阶无量纲自振频率的相对误差如图5所示。可以看出，随着物质点离散间距的减小，相对误差迅速减小，说明了本方法良好的收敛性。

图5 各离散间距下前3 阶无量纲自振频率的相对误差Fig. 5 Relative error of first 3 non-dimensional frequencies for different dense mesh

3.2 变截面梁

考虑下边界一次变化的梁和下边界二次变化的梁，如图6 和图7 所示，左端截面高度H= 0.5 m。下边界一次变化的梁右端截面高度为Ha，下边界可表述为ha(x) = (Ha−H)x/L+H。下边界二次变化的梁跨中截面高度为Hb，下边界可描述为hb(x) =(H−Hb)(2x/L−1)2+Hb。

图6 下边界一次变化的简支梁Fig. 6 The beam with linearly varying lower surface

图7 下边界二次变化的简支梁Fig. 7 The beam with parabolic convex lower surface

表2 列出右端截面高度Ha= 0.75 m、1.0 m 情况下，下边界一次变化梁的前8 阶无量纲自振频率。表3 所示为不同跨中截面高度Hb= 0.8 m、 1.0 m情况下，下边界二次变化梁的前8 阶无量纲自振频率。从两表中对比可见，本文解与解析解[10]吻合较好，验证了本方法对于边界一次、二次变化梁自由振动求解有效性，也间接说明了本方法对于任意变截面梁自由振动分析的适用性。

表2 下边界一次变化梁的无量纲自振频率Table 2 Non-dimensional frequencies of the beam with linearly varying lower surface

表3 下边界二次变化梁的无量纲自振频率Table 3 Non-dimensional frequencies of the beam with parabolic convex lower surface

图8 所示为下边界一次、二次变化变截面梁(Ha/H=Hb/H= 2)在y= 0.4H水平线处的前3 阶轴向与横向振型图。为方便直观显示，图8 中结果均进行归一化处理，可以发现前3 阶振型均以横向振动为主。由于结构的对称性，下边界二次变化梁的横向振幅也是对称的，而下边界一次变化梁的横向振幅随着梁厚度的增加在逐渐减小。

图8 下边界一次、二次变化梁的前3 阶振型(Ha/H = Hb/H = 2, y = 0.4H)Fig. 8 First 3 mode shapes in x and y directions at y = 0.4H for the beam with linearly varying and parabolic convex lower surface (Ha/H = Hb/H = 2, y = 0.4H)

3.3 含孔变截面梁

在3.2 节下边界二次变化梁(Hb/H= 2)的基础上，考虑跨中位置存在一个圆孔，如图9 所示，圆心Q(5, 0.5)，半径r。

表4 列出不同孔径r= 0.2 m、0.3 m、0.4 m 下，下边界二次变化的含孔梁的前8 阶无量纲自振频率。由表4 中结果可见，随着孔径的增加，第2 阶、4 阶、5 阶、7 阶频率减小，第1 阶、3 阶、6 阶频率变化较小，第8 阶频率增加。图10 所示为下边界二次变化含孔梁(r/H= 0.6)的前4 阶轴向应力模态。为方便分析，轴向应力结果也同样进行了归一化处理，并呈现在对应归一化处理后的同阶振型上。可以看出，前4 阶振型均以横向振动为主，孔边也存在明显的应力集中现象。本算例初步说明了基于PDDO 的非局部方法在含缺陷构件振动分析和损伤识别问题方面的潜力，为相关问题分析提供可以进一步深入研究的新思路。

图10 下边界二次变化含孔梁的前4 阶轴向应力模态(r/H = 0.6)Fig. 10 First 4 stress modes in x direction for the beam with a hole and parabolic convex lower surface (r/H = 0.6)

表4 下边界二次变化含孔梁的无量纲自振频率Table 4 Non-dimensional frequencies of the beam with a hole and parabolic convex lower surface

4 结论

本文尝试基于非局部PDDO 思想开展变截面梁的动力特性分析，主要初步结论如下：

(1)可应用PDDO 将变截面梁的动态微分控制方程与边界条件转化为对应的非局部积分形式，并进一步应用拉格朗日乘数法与变分原理求解得到自振频率与模态。

(2)通过对等截面梁和下边界不同变化梁的自由振动分析，验证了本方法的精度和收敛性，以及对于任意变截面梁自由振动问题的适用性。

(3)通过对含孔变截面梁的动力特性分析，说明了本方法在含缺陷结构的振动分析和损伤识别等工程问题方面的潜力，可为含缺陷变截面构件的动力分析问题提供新思路。基于这一思路，或可进一步研究不规则、非均质、不连续、含缺陷构件的动力学问题和结构损伤识别。