一类厚度误差影响下单边微谐振器模态耦合动力学研究

2022-11-21冯晶晶郝淑英胡文华吴梦玉

振动与冲击 2022年21期

冯晶晶，王冲，郝淑英，胡文华，吴梦玉

(1.天津理工大学天津市先进机电系统设计与智能控制重点实验室，天津 300384；2.天津理工大学机电工程国家级实验教学示范中心，天津 300384)

静电驱动微梁谐振器由于其体积小、灵敏度高等优点在工程中得到了广泛的应用，但是受限于尺寸的影响在其加工过程中不可避免地会产生误差，因此会对微谐振器系统静态和动态特性产生很大的影响[1]。由加工所导致的误差通常具有随机性，Joglekar等[2]为构建静电驱动微梁谐振器的最佳宽度轮廓，提出了一种用来描述宽度变化的参数宽度函数，研究发现双端固支式微梁谐振器由固定端向微梁中心逐渐收窄时、或悬臂式微梁谐振器由固定端向自由端收窄时，均会增大其静态吸合范围。Zhang等[3]考虑轴向残余应力、边缘效应等几何非线性，研究了双端固支梁微谐振器系统的静动态特性，结果表明微梁宽度变化越平缓共振时振幅越大。Feng等[4]提出了一个考虑微梁上下截面同时变化的参数方程，研究了厚度误差对谐振器吸合电压的影响以及对系统动态特性的影响，并应用截面系数作为调整微梁性能的动态指标。然而，现有研究并不能全面反映加工误差对谐振器系统在真实振动下可能出现的复杂动力学行为。

近年来，对以MEMS(micro-electro-mechanical system)谐振器为核心部件的各类器件的使用要求和环境的期望越来越高。Demirci等[5]根据两端固支微梁结构设计了高频MEMS振荡器，将微梁谐振器的频率提升至了10 MHz。然而，随着驱动频率的不断增加，系统各个模态之间会出现耦合振动行为，能量不再集中在单一模态。Alfosail等[6]从理论和试验上分别研究了静电驱动微梁谐振器的2∶1内共振，利用多尺度法分析了内共振下的非线性响应，并发现该系统具有不同类型的分岔，可导致准周期和潜在的混沌运动。Younis等[7]调节前两阶模态满足1∶3内共振频率，研究了微谐振器的模态耦合行为，由于二阶模态的反对称性，没有得到模态之间能量传递的结果。Li等[8]通过分析二阶反对称模态和三阶模态间存在的1∶2内共振，提出了一种有效的方法来抑制微束的中点位移并减小大偏转的可能性。显然，当前对微谐振器系统出现的模态耦合振动研究非常广泛。但是，加工误差对谐振器系统模态耦合振动的影响鲜有研究。

针对以上问题，本文以一类静电驱动单边微梁谐振器为例，将截面误差系数作为衡量微梁厚度误差的关键指标，对于不同截面系数下系统可能存在的模态耦合振动进行分析，以获得厚度误差对系统稳定性的影响。本文安排如下：首先，对谐振器动力学模型进行静态分析得到了厚度误差对系统固有频率的影响；进而，利用多尺度方法得到了系统产生内共振的参数条件，以获得不同厚度误差下产生耦合振动的临界阈值，通过频率响应曲线对比讨论厚度误差与外激励对谐振器动态特性的影响。

1 动力学模型与静态分析

1.1 模型建立

计入表面加工误差影响下的单极板静电驱动微谐振器简化模型，如图1所示。利用直流电压VDC和交流电压VACcos(Ωt)实现了两端固支微梁的驱动。Ω为微谐振器的交流激励频率，通常VAC≪VDC。令微梁轴线的横向位移为y，利用达朗贝尔原理可以得到微梁的动力学方程如下[9]

(a) 微梁谐振器示意图

(b) 截面参数λ>0

(1)

具有以下边界条件

(2)

式中系统物理参数对应的意义如表1所示。为了方便计算，定义如下无量纲参数

表1 系统的物理参数Tab.1 Physical parameters of the system

(3)

微梁的截面曲线A1A2和A3A4如图1(b)和图1(c)所示，其参数方程的表达式分别为：y1(x)=h/2+λhsin(πx/L),y2(x)=-h/2-λhsin(πx/L)。

系统的横截面面积和转动惯量分别为：A(x)=A0[1+2λsin(πx/L)],I(x)=I0[1+2λsin(πx/L)]3。两固定端的横截面积与转动惯量分别为A0=bh和I0=bh3/12。在后续分析中，为了方便起见，去掉了“^”符号。同时“·”为对时间t求导，“′”为对x求导。

1.2 静态分析

在静电力作用下微梁的横向位移y(x,t)包括由直流和交流电压分别引起的静态位移ydc(x)和动态位移yac(x,t)，故微梁的横向位移可写为[10]

y(x,t)=ydc(x)+yac(x,t)

(4)

为了计算微梁的静态位移，将式(3)和式(4)代入方程式(1)后提取其与时间无关的项，可以得到系统的静态方程

(5)

若取微谐振器的物理参数如表2所示，代入方程式(5)求解可得微梁的静态位移。图2(a)为微梁静态位移随梁长的变化，中点处位移最大。随着直流电压的增加，微梁中点处位移随着直流电压的增加而增加，如图2(b)所示。

(a) VDC=15 V时微梁无量纲静态位移 (b) 中点处无量纲位移随直流电压的变化图2 微梁静态位移Fig.2 Static displacement of microbeam

微梁前三阶无量纲振型，如图3所示，一阶和三阶模态的振型对称，二阶模态的振型反对称。应用有限元软件仿真所得结果与理论解基本吻合。

图3 微梁前3阶振型图Fig.3 Three vibration modes of microbeam

2 动态分析

2.1 模型降阶

为了研究截面误差系数对系统动态位移的影响，将方程式(3)和式(4)代入方程式(1)中并消去式(5)，再将等式右边分母中的yac(x,t)泰勒展开至三阶，可得系统动态方程

(6)

为了研究系统各阶模态间的耦合振动，应用Galerkin离散对系统进行模态分解。可将系统的动态位移表示为[11]

(7)

边界条件如下

(8)

式中：ui(t)为第i阶模态函数幅；φi(x)为第i阶归一化无阻尼线性正交模态的振型。将式(7)代入式(6)中并在等式两端乘以φi(x)，将方程两端在0～1进行积分，再令M=3，可得系统的前三阶模态振动方程如下

(9)

(10)

(11)

式中参数详见附录A。

2.2 截面参数对固有频率的影响

截面参数和直流电压的变化会改变系统的固有频率。截面系数越大或直流电压越小，均会导致系统的一阶固有频率变大。因此，为了分析系统高阶模态间的耦合振动，详细研究截面系数λ和直流电压VDC对系统前三阶固有频率的影响具有重要意义。

由式(A.3)可以得到不同截面系数下系统的前三阶固有频率。当截面系数λ分别为：-0.1,0,0.1时，系统前三阶固有频率随直流电压变化的曲线,如图4所示。由图4(a)可知，当截面系数λ=-0.1，增大直流电压VDC至19.44 V时，系统的一阶固有频率和二阶固有频率出现1∶3的比例关系，即3ω1≈ω2，继续增大直流电压这种比例关系逐渐消失;当直流电压VDC=28.86 V时，系统的二阶固有频率与三阶固有频率之间会出现1∶2的比例关系，即2ω2≈ω3。需要注意的是，在出现这种比值关系时所需要的直流电压非常接近吸合电压，若继续增大直流电压，谐振器则会很容易发生静态吸合现象[12]。在进行仿真模拟时，发现在直流电压较低时，仿真解与理论解基本吻合；在直流电压较高时，会出现一定的偏差。这是由于有限元软件的特征值求解器是线性的，并不能对较高直流电压下的频率进行更精细的计算，但是理论解与仿真解的变化趋势基本一致。

(a) λ=-0.1

(b) λ=0

令ν1=3ω1-ω2，ζ1=2ω2-ω3。由图5所示，随着截面系数λ的不断增大，系统出现3ω1≈ω2和2ω2≈ω3这两种内共振所需要的直流电压会不断变小。但是，仅根据各阶模态间固有频率的比值关系并不能判断系统能否产生模态耦合振动。

(a) ν1=3ω1-ω2

(b) ζ1=2ω2-ω3图5 固有频率差值随直流电压的变化曲线图Fig.5 Variation of natural frequency difference with DC voltage

2.3 耦合系数分析

由图6所示，随着截面系数λ由-0.1至0.2依次递增，系数a111和a210的变化较小，其绝对值与其他参数相比基本可以忽略，这意味着系统很难出现3ω1≈ω2内共振。反之，当截面系数λ越小，a25和a33这两个关键系数的绝对值越大，这两个耦合系数绝对值的变化与截面系数的变化呈现相反趋势。此时，这两个耦合系数a25和a33绝对值的大小显然不能忽略，这意味着系统能够出现2ω2≈ω3内共振。

图6 截面系数变化时耦合参数的变化趋势图Fig.6 Variation trend of coupling parameter when the section coefficient changes

3 摄动分析

3.1 多尺度分析

为了研究微梁谐振器在小幅振动下的复杂动力学行为，应用多尺度法对式(10)和式(11)进行求解[14]。选取ε标注系统中的小量，可以得到系统发生2ω2≈ω3内共振的动力学方程

(12)

其中式(12)的近似解为

(13)

式中，Tn=εnt,n=0,1,2。将式(13)代入式(12)，比较方程两端ε阶数相同的部分，可以得到

(14)

(15)

(16)

式中：Δ=ω3T0+σ2T2;ω3≈2ω2+ε2σ1;Ω3≈ω3+ε2σ2。式(14)的通解形式为

(17)

将式(17)代入式(15)后消除永年项可以得到

D1A2=0,D1A3=0

(18)

同时可以得到式(15)的解

(19)

(20)

式中,a2和a3分别为二阶、三阶振动模态的一阶近似幅值。其中

(21)

3.2 临界状态分析

当2ω2≈ω3时，系统会发生模态耦合振动。当系统的外激频率在三阶固有频率附近，且外激励幅值大于某个特定值时，系统会产生二阶振动。这也意味着，只有当系统的三阶振动幅值超过某个特定值时，系统才能产生二阶振动。可以将此特定的三阶幅值称为系统的三阶阈值，它的大小对分析模态耦合振动十分重要。因此，为了研究不同界面参数下系统的三阶阈值，将a2和β2转化为u和v，可以得到

(22)

将式(22)代入式(20)可以得到

(23)

(24)

其Jacobian矩阵为

(25)

令式(25)中的a2=0并令行列式(25)为0，可以通过求根公式获得产生二阶振动的三阶阈值。

由图7所示，随着截面系数的增大，系统的三阶阈值逐渐增大。即，截面系数越大，系统达到产生二阶振动的临界状态所需要的静电激励幅值越大。因此，在相同激励幅值的前提下，截面系数越大系统发生模态耦合振动越困难。

图7 不同截面参数下的三阶阈值Fig.7 Third order amplitude threshold under different section parameters

4 频率响应

4.1 交流电压对系统响应的影响

微梁谐振器系统中，交流电压的作用主要包括两个方面：调节系统激励的幅值和激励的频率。当激励频率在谐振器固有频率附近时，会发生谐振响应。选用表2中基本物理参数值，并取截面误差系数λ=-0.05，直流电压VDC=26.34 V。改变系统交流电压的幅值，可以得到系统二阶和三阶的频率响应曲线。

由图8所示，随着交流电压幅值的增大，系统二阶和三阶振动幅值不断增大，稳定响应区间与不稳定相应区间均增大。但是，稳定响应区间随着交流电压的增大出现了逐渐增强的硬化非线性。为了探究系统的模态耦合振动和随着交流电压幅值增大所出现的硬化非线性，取图8中A点频率，绘制其不同交流电压幅值下的时域图与相位图。如图9所示，当VAC=0.15 V时，此时系统的时间历程曲线在出现短暂的瞬态响应后即刻转变为稳态响应，振动幅值呈现出简谐特征，谐振器的振动为稳定运动；当VAC=0.2 V时，此时系统的时间历程曲线中瞬态响应时间增大，这也就意味着随着交流电压的增大系统发生了更强烈的模态耦合振动现象；当VAC=0.25 V时，系统的模态耦合振动现象变得更加显著。因此，当交流电压不断增大，系统的幅值与稳定区间会增大，但是会出现逐渐增强的硬化非线性。所以，当选取谐振器工作的交流电压时，要尽量将激励频率控制在谐振器的稳定区间，合理控制谐振器系统激励的幅值与频率才能使谐振器更稳定。

(a) 二阶频率响应曲线

(b) 三阶频率响应曲线图8 交流电压幅值变化时系统无量纲频率响应曲线(实现代表稳定解,虚线代表不稳定解)Fig.8 System second-order and third-order dimensionless frequency response curves when AC voltage amplitude changes (The realization represents stable solution and the dotted line represents unstable solution)

(a) VAC=0.15 V

(b) VAC=0.20 V

4.2 截面系数对系统的影响

截面系数会直接影响系统各阶固有频率的值，而产生2ω2≈ω3模态耦合振动的直流电压又与系统各阶固有频率相关[15-16]。因此，分析截面系数对系统模态耦合振动的影响至关重要。图10为当激励幅值相同时，截面参数λ=0.1，0.05，0，-0.05,-0.1时系统的二阶和三阶模态的频率响应曲线。

(a) λ=0.10

(b) λ=0.05

(d) λ=-0.05

(e) λ=-0.10图10 不同截面系数下系统的二阶、三阶频率响应曲线 (实现代表稳定解,虚线代表不稳定解)Fig.10 Second and third order frequency response curves of the system under different section coefficients(The realization represents stable solution and the dotted line represents unstable solution)

当激励频率在三阶固有频率附近时，微梁谐振器的中点位移最大，抑制中点位移即可提升谐振器系统稳定性。当发生模态耦合振动后，系统会产生二阶位移，此时中点为驻点。因此，只要将三阶位移抑制，即可抑制微梁中点位移。由图10所示，当截面系数由0.1减小至0.05最终为0后，系统稳定区间带宽和二阶振幅不断变大，三阶振幅不断变小。当截面系数由0减小至-0.05最终为-0.1后，出现的趋势与上述相同。因此，截面系数越小，系统稳定区间和二阶振幅越大，三阶振幅越小。系统的稳定性会随着截面系数的减小得到提升。

4.3 耦合振动对系统的影响

当系统二阶模态和三阶模态发生耦合振动时，系统会发生能量转换，三阶模态的能量会流向二阶模态。如图11所示，发生模态耦合振动时的三阶振幅会小于未发生耦合振动时的三阶振幅，此时的内共振现象起到了抑制微梁中点位移的效果。因此，考虑耦合振动后的系统会更稳定。

(a) λ=-0.1

(b) λ=0图11 耦合前后系统三阶频率响应曲线(实现代表稳定解,虚线代表不稳定解)Fig.11 Third order frequency response curve of the system before and after coupling(The realization represents stable solution and the dotted line represents unstable solution)

5 结论

本文构建了一类厚度误差影响下单边微谐振器的动力学模型，通过数值计算和有限元建模得出了系统的静态位移和前三阶固有频率。应用Galerkin方法并结合Runge-Kutta法和多尺度法对系统的非线性响应进行了数值和理论计算。分析了交流电压和截面系数对谐振器系统频率响应的影响，通过对比不同截面系数下谐振器系统发生模态耦合振动前后的频响曲线，分析了截面系数对系统模态耦合振动的影响。结论如下：

(1) 截面系数越小，系统产生二阶振动的三阶阈值越小，系统更容易产生模态耦合振动。

(2) 当截面系数一定时，激励幅值越大系统会出现逐渐增大的稳定响应区间和逐渐增强的硬化非线性。

(3) 当激励幅值一定时，截面系数越小，三阶幅值越小，稳定响应区间变大，系统更稳定。

(4) 发生模态耦合振动后三阶振幅会降低，并且截面系数越小幅值下降越显著，系统更稳定。

附录A