杨晓彤， 申永军,2， 王俊锋

(1.石家庄铁道大学 机械工程学院，石家庄 050043； 2.石家庄铁道大学 省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，石家庄 050043；3.中车唐山机车车辆有限公司，河北 唐山 064000)

动力吸振是振动控制常用的方法之一，通过附加在主系统上的动力吸振器(dynamic vibration absorber,DVA) 吸收主系统的能量进而达到降低主系统振动的目的。动力吸振器的研究可以追溯到1911年，Frahm[1]发明了一种无阻尼动力吸振器，从此开启了人们对DVA一百多年的研究。但这种无阻尼DVA仅适用于激励频率变化很小的范围[2]。1928年，Ormondroyd等[3]在此基础上加入了阻尼，提出了有阻尼的DVA(又称Voigt型动力吸振器)，并首先提出了固定点理论，即该DVA无论阻尼取何值，都存在两个固定点。1932年，Hahnkamm等[4]基于H∞优化准则，依据固定点理论得到了DVA的最优频率比和最优阻尼比。为进一步改善DVA的性能，又有学者提出其他的结构形式。Asami等[5-6]对三要素动力吸振器做了详细的研究，推导出了最优设计公式。Ren等[7-8]依据H∞准则推导了接地阻尼动力吸振器的最优解，研究发现其减振效果优于Voigt型DVA。王孝然等[9]对接地式三要素动力吸振器进行了参数优化，利用固定点等高得出最优参数。Shen等[10-11]采用了平均法研究了4种半主动DVA的参数优化问题并分析了时滞对半主动控制影响。郎君等[12]对半主动控制接地阻尼动力吸振器进行参数优化和性能分析。Shen等[13]提出了一种带杠杆元件的接地式DVA，提高了DVA的有效质量，通过调节放大比可以在小质量比下取得良好减振性能。Asami等[14]将吸振器主系统的结构阻尼视为滞回阻尼，并根据H∞,H2和稳定性最大化准则对其进行优化。Chang等[15]提出了一种用于超低频振动吸收的准零刚度DVA，经研究发现在随机激励和脉冲激励下，该DVA减振效果优于线性DVA。

杠杆作为一种简易放大机构，常用于放大振动控制系统中的位移和力，增强系统性能。李春祥等[16]设计了一种杠杆式调谐质量阻尼器(lever type tuned mass damper,LT-TMD)模型，讨论动力特性后发现LT-TMD具有更大的调谐比和更小的最优阻尼比。Li等[17]将杠杆元件引入隔振器中，提出了3种新型的隔振器。在工程建设中，汪正兴等[18-21]提出了多种斜拉索杠杆质量阻尼器，试验分析了阻尼特性，发现其具有更好的减振效果。邢昭阳等[22]将杠杆元件应用到含负刚度装置的DVA模型中，利用固定点理论得到DVA的最优频率比，并计算了系统稳定情况下的最优负刚度比，发现该DVA拓宽了减振频带，大大提升了减振效果。Zang等[23]分析了杠杆式非线性能量汇的动态特性，并且将非线性能量汇与能量采集器相结合，用于系统隔振和能量收集。邢子康等[24]设计了一种含有杠杆元件的新型动力吸振器模型，并依据H2和H∞优化准则进行了参数优化，发现动力吸振器在加入杠杆元件后达到了良好的吸振效果。Yan等[25]提出了一种带涡流阻尼的杠杆式隔振器，通过调整杠杆比来拓宽隔振带，并且随着涡流阻尼的提升，隔振器的振动抑制效果逐渐增强。Zyar等[26]描述了一种新型自调谐自适应被动杠杆式隔振系统，发现其反共振频率取决于杠杆的放大比。

惯容是一种两端点加速度相关的减振控制元件。聂佳梅等[27]分析了“惯容-弹簧-阻尼”悬架结构体系的技术特点，为车辆被动悬架技术发展提供了一种新途径。Hu等[28-29]将惯容应用于隔振和吸振系统，证明了该DVA具有良好的减振和隔振特性。Wang等[30-31]设计了多种基于惯容的DVA，并推导出了它们对应的最优参数设计公式。李壮壮等[32-33]提出了4种基于ISD(inerter spring dumper)结构的被动振动控制减振形式并研究设计了6种含惯容的动力吸振器，通过参数优化、仿真分析发现惯容具有很好的减振效果，且将适当的ISD结构引入吸振器将会获得更好的减振效果。陈杰等[34]提出两种含负刚度和惯容的动力吸振器振动控制结构，并发现该DVA对梁的振动控制更有效。Kuhnert等[35]讨论了惯容在隔振系统中的优缺点，提出了一种简单的方法来提高系统的高频性能，同时又不会严重降低系统的低频隔振性能。Bai等[36]介绍了两种使用调谐惯容增强型TMD的振动控制装置来抑制梁的振动，并验证了增强系统的有效性。Baduidana等[37]提出了一种基于惯容的新型调谐惯容阻尼器，通过菱形桁架对角线的关系进一步放大惯容的质量效应实现较大的子系统质量，从而提升减振效果。

负刚度构件因其具有承载力大、变形小、可控性好等优点常常被应用于系统减振控制领域。Huang等[38]研究了含负刚度的DVA用于控制刚性基础的力传递，为含负刚度的DVA的设计提供理论依据。Shen等[39]在研究一种含接地刚度的DVA时，发现放大比和质量比的耦合项超过阈值时，最优接地刚度比为正值，系统具有更好的减振特性。Wang等研究了含惯容且同时将负刚度接地的多种新型DVA，经仿真验证发现IN-DVA(novel inerter-based dynamic vibration absorber with negative stiffness)有效提升了频率带宽。

上述介绍的3种新型振动控制元件均对吸振器的性能提升有着积极的作用，然而多数研究仅引入了一种或两种元件。部分含惯容的吸振器将惯容直接接地，相当于仅仅增加了子系统质量，未体现惯容的两端点结构特性。为了探究多种控制元件共存对吸振器性能带来的影响，本文提出了一种含放大机构、惯容和接地刚度的动力吸振器模型，并分析了减振性能。在保证系统稳定性的前提下，推导出本模型的最优参数设计公式，找到了惯容最佳工作范围，并分析了放大比和惯容比对主系统响应幅值的影响。在简谐激励和随机激励下与其他类型吸振器进行了对比，发现该模型具有良好的减振效果。

1 动力吸振器模型建立及求解

图1为本文所提出的含放大机构、惯容和接地刚度的DVA模型，其中:m1和m2分别为主系统质量和动力吸振器质量;r1和r2分别为阻力臂和动力臂长度，定义杠杆放大比为L=r2/r1；k1和k2分别为主系统和吸振器刚度;k为接地弹簧刚度系数；c为吸振器阻尼系数；b为惯容系数;F与ω分别为激励力的振幅与频率。

图1 含放大机构、惯容和接地刚度的DVA模型Fig.1 Dynamic vibration absorber with amplifying mechanism, inerter, and grounded stiffness

忽略杠杆质量和系统内摩擦，根据牛顿第二定律得到系统的动力学方程为

(1)

式中，x1,x2为主、子系统的位移响应。

引入以下参数

则(1)式可整理为

(2)

1.1 解析解

设该方程组解的形式为

x1(t)=X1eiωt,x2(t)=X2eiωt

(3)

式中，i为虚数单位。将式(3)代入式(2)整理为

(4)

其中

(5)

引入参数

并引入主系统振幅放大因子A，定义

(6)

其中

(7)

系统的固有频率可以令式(6)的分母为零得到

(8)

其中

1.2 最优参数

由式(6)得，归一化幅频响应曲线必经过3个与阻尼大小无关的固定点，图2中给出当阻尼比分别为0.3，0.5，0.8时的归一化幅频曲线。显然不同阻尼比下的响应曲线都经过N，P和Q3个固定点。

图2 不同阻尼比下的归一化幅频响应曲线Fig.2 Normalized amplitude frequency response curves under different damping ratios

由于固定点与阻尼无关，因此可以令阻尼比趋于零和无穷时的响应值相等，即

进而可得

[(1+α)β2-(1+δ)λ2]/{L2μ(αβ2-λ2)(β2-

δλ2)+(λ2-1)[(1+δ)λ2-(1+α)β2]}

(10)

化简得

λ4[2+L2μ+2δ(1+L2μ)]+β2[2+2α+

L2αβ2μ(2+α)]-2λ2{1+δ+β2[1+α+

L2μ(1+α+αδ)]}=0

(11)

假设式(11)存在两个实根λP,λQ，由韦达定理可求得两实根的平方和为

(12)

为使幅频曲线最大值最小化，根据经典固定点理论可使P，Q两点等高且为幅频峰值。令λP,λQ处的响应相等可得

(13)

进一步化简整理得

(14)

联立式(12)、式(14)化简得

1+δ+L2δμ+β2{α(L2δμ+L4δμ2-1)-

(1+L2μ)2}=0

(15)

由式(15)解得最优频率比为

(16)

将最优频率比βopt代入式(10)可得两固定点处横坐标

(17)

(18)

其中

Z1=

当频率比βopt为最优值时，可得到两固定点处响应的纵坐标为

(19)

其中

由式(19)可知，当给定惯容比和质量比时，影响固定点响应的因素是放大比L。观察图2可得在λ=0处的点N与阻尼比无关，即点N与点P,Q均为固定点。3点等高可使该系统的幅频响应最小，则令

A2|λ=0=A2|λP,λQ

(20)

即

(21)

求解式(21)得到6组解

(22)

由文献[40]可知，当惯容和接地刚度共同作用时，惯容系数需处在一个保证系统稳定的工作范围内。故将6组可能的最优解分别代入式(16)，使最优频率比大于零可初步求得每个可能的最优刚度比所对应的惯容工作范围。将6组可能的最优解分别代入到式(8)，当固有频率的平方始终为正值时，才能使系统保持稳定。经计算可得最优刚度比为

(23)

现求解最优刚度比对应的惯容最佳工作范围，考虑最优参数设计公式及其计算过程，惯容的工作范围应使各表达式有意义，且最优频率比βopt>0。将最优刚度比αopt代入最优频率比βopt中可得

βopt|α=αopt=

(24)

因此惯容比δ应该满足

(25)

求解不等式组(25)得

(26)

由式(26)可知，惯容比的最佳工作范围与系统质量比和放大比相关，因此在DVA的设计和应用过程中，需首先根据两者计算出惯容的工作范围，选择合适的惯容系数以达到良好的减振效果。

由于P和Q两固定点的坐标与阻尼比ξ的取值无关，为了达到最优的减振效果，应使两固定点成为位移幅频曲线的最高点或近似最高点。由极值条件可知，幅频曲线在两固定点处的导数应为零，即

社会实践是高等教育中不可缺少的组成部分。学校应该充分认识大学生社会实践的意义,了解社会实践在人才培养、社会发展中的作用，并有效地开展相关活动。在组织社会活动的过程中，学校应该广泛征求各方意见,尤其是学生意见，结合社会需求和学生自身特点，来确定实践活动的形式、内容。此外，学校对于大学生的社会实践活动应该给予经费和政策的支持,并动员专业教师积极参与学生社会实践,担任指导教师。社会实践常常涉及到专业知识的运用，因此吸纳经验丰富专业教师作为指导老师非常有必要。此外，还可以邀请企业专家加入，采取联合指导制度，经常开展交流、学习和研究，解决学生所学理论知识与实践工作结合不紧密的问题。

(27)

由式(27)可得使P和Q两固定点成为或近似成为幅频曲线最高点时ξ1和ξ2的值，进而得到最优阻尼比ξopt=(ξ1+ξ2)/2，但是这种方法计算过于复杂，有时难以得到解析结果。因此使用Liu等研究中基于摄动的方法求出阻尼比的近似值。

为了使幅频曲线水平通过P点，先假设其通过邻近点P′，P′点的坐标为(λP′,AP′)，令

(28)

式中，ε→0。

(29)

其中

(30)

将式(29)展开后，可以得到下列形式的等式

(31)

如果ε=0，式(29)为0/0形式的不定式，于是得到a0=b0=0。由于ε是一个非常小的量，在式(31)中可以忽略其高次项，此时的阻尼比为

(32)

因此只需要找到式(31)的分子与分母中所有含ε的一次项系数

(33)

(34)

同理可得到使幅频曲线近似水平通过Q点时的阻尼比

(35)

将式(34)和式(35)结果进行平均，得到本模型的近似最优阻尼比为

(36)

2 数值仿真

2.1 数值解与解析解对比

经MATLAB仿真求解数值解并与解析解对比，验证求解过程的正确性。选取放大比L=2.5，质量比μ=0.1，代入式(26)求得此时惯容对应的最佳工作范围为(0.492 3,2.584 6)，选取惯容比δ=0.8，输入的激励振幅F0=1 000 N，经计算得最优参数依次是β=0.730 2，α=8.923 5，ξ=1.027 9。使用四阶龙格库塔法，选取计算时间为500 s，可以得到在给定的简谐激励下的数值解。略去瞬态解，选取稳态解的最大值为响应幅值并进行归一化处理，从而可以得到归一化幅频响应曲线，如图3中黑色圆圈所示。将最优参数代入式(6)中可得该模型的解析解，即图3中实线所描绘的黑色曲线。经图3对比，观察到数值解和解析解能够较好地吻合，从而验证了求解过程的正确性。

图3 系统解析解与数值解对比(μ=0.1)Fig.3 Comparison between the analytical solution and numerical solution of the system response when μ=0.1

2.2 放大比对主系统响应的影响

设初始条件为质量比μ=0.1，取放大比分别为L=1.5,2,2.5，据式(26)可分别计算出对应的惯容最佳工作范围，在3个范围的交集中取惯容比为δ=2，绘制出不同放大比下主系统位移幅频响应曲线,如图4所示。从图4中可以观察出，初始参数条件相同时随着放大比L的增大，主系统最大振幅将会减小，两共振峰的间距逐渐增大，有效的减振频带会越来越宽。

图4 放大比对归一化位移振幅放大因子的影响Fig.4 Comparison of the normalized amplitude magnification factors of the primary system for different magnification ratios

2.3 惯容对主系统响应的影响

选取放大比L=2.5，质量比μ=0.1，代入式(26)求得此时惯容对应的最佳工作范围为(0.492 3,2.584 6)，选取惯容比δ=0.5,0.8,1.1,1.4,1.8,2.1,2.5,绘制幅频响应曲线,如图5所示。观察图5可知，在惯容的最佳工作范围内，惯容比β越大，主系统归一化位移振幅放大因子越小，两个最高峰之差逐渐变小，减振频带逐步变宽。

图5 惯容比对归一化位移振幅放大因子的影响Fig.5 Comparison of the normalized amplitude magnification factors of the primary system for different inerter-to-mass ratios

3 与其他动力吸振器模型对比

为验证本文DVA模型的减振性能，给出经典Voigt型DVA模型、Ren的接地阻尼DVA模型以及隋鹏等研究中的IG-Voigt型DVA模型，如图6所示。将本模型(后文称之为AIG-Voigt模型)与此3种模型进行对比，观察其减振效果。

(a) Voigt型DVA

(b) 接地阻尼DVA

(c) IG-Voigt型DVA图6 现有动力吸振器模型Fig.6 The existing models of dynamic vibration absorbers

3.1 简谐激励下的响应对比

工程中很多设备尤其是旋转机械的激励通常是简谐激励，因此首先比较不同激励频率下各模型的减振效果。初始条件选用质量比μ=0.1，惯容比δ=5，放大比L=1.5，依据各模型最优设计公式代入主系统振幅放大因子中可得归一化位移幅频响应曲线，如图7所示。

图7 与其他形式吸振器模型对比Fig.7 Comparison with other DVA models

由图7可看出在相同初始参数条件下， AIG-Voigt式DVA相较于其他类型的DVA吸振效果更为明显，共振幅值明显更低，且两峰值之间间距更大，因此能更好地降低共振区振幅并拓宽减振频带。

3.2 随机激励下的响应对比

在土木和建筑工程中，系统受到的激励往往是随机激励，因此本部分进一步研究了宽频随机噪声激励下的主系统响应情况，验证AIG-Voigt模型的减振效果。

设主系统受到均值为零、功率谱密度为S(ω)=S0的白噪声激励，则4种模型主系统位移响应的功率谱密度函数分别为

(37)

式中,下标V，R，IG，AIG分别为Voigt型动力吸振器、接地阻尼动力吸振器、IG-Voigt型动力吸振器和本文模型，该4种动力吸振器模型的主系统位移均方值分别为

(38)

其中

Y1=1+β4(1+μ)2+β2[-2-μ+4ξ2(1+μ)],

Y2=1+β4+β2(-2+4ξ2+μ),

Y3=α3+α2μ{-2+δ(-2+δμ)+v2[3+δμ(-2+

δμ)]}+αμ2{v4[3+2μ-2δμ(1+μ)+

4ξ2μ(1+μ)]+(1+δ)2+2v2[-2-2δ+δ2μ+

2ξ2(1+μ)]}+v2μ3{-v2[2+μ+2δ(1+μ)-

4ξ2(1+μ)]+(1+δ)2+v4(1+μ)2},

Y4=(α+β2)[(-1+α+β2-δ)2+4β2ξ2]+

L4β2μ2[(β2-αδ)2+4αβ2ξ2]+

L2μ{2β6+α2δ2+2αβ2(-αδ+δ2+2ξ2)+

β4[-1+2α-2δ-2αδ+4ξ2(1+α)]}

(39)

假设4种动力吸振器质量比均取μ=0.1，取AIG-Voigt式DVA放大比为L=2.5，代入式(26)求得此时惯容对应的最佳工作范围为(0.492 3,2.584 6)，取IG-Voigt 式DVA和AIG-Voigt式DVA的惯容比为δ=0.5，根据相应优化公式得到均方值为

(40)

结果表明，当系统受到随机激励时，在保证系统稳定的前提下选取相同初始参数，本文模型同样具有更好的减振效果。

4 结 论

本文提出了一种含放大机构、惯容和接地刚度的动力吸振器，依据H∞优化准则求得本模型最优频率比、最优刚度比和近似最优阻尼比的设计公式。在保证系统稳定的前提下，计算出惯容的最佳工作范围。在惯容的最佳工作范围内，该DVA有很好的减振效果。分析发现惯容比最佳工作范围与系统质量比和放大比有关，为实际工程中DVA的应用提供了参考。利用数值仿真研究了放大比对DVA的影响，结果表明，在保证惯容比处于最佳工作范围的情况下，选取相同的质量比和惯容比，DVA的减振效果随着放大比的增大而增大。同样，选取相同的质量比和放大比，当惯容比处于最佳工作范围内时，惯容比的增大会提升系统减振效果。在简谐激励和随机激励的工况下验证了DVA的减振效果，发现附加合理的放大机构、惯容和接地刚度组合机构能够大幅降低主系统的振幅，拓宽减振频带，为新型吸振器的设计应用提供了理论参考。