基于Mogi-Coulomb强度准则的竖井井壁土压力广义解

2022-11-01曹周阳关晓迪朱勇锋窦国涛

地基处理 2022年5期

曹周阳，关晓迪，朱勇锋，马迪，窦国涛

（1. 郑州航空工业管理学院土木建筑学院，河南郑州 450046；2. 西安理工大学土木建筑工程学院，陕西西安 710048；3. 长安大学地质工程与测绘学院，陕西西安 710061）

0 引言

随着我国地下空间的加速开发，地下竖井越来越广泛的应用于隧道工程、公路铁路交通运输及矿山井巷等工程建设中[1-2]。随着综合交通建设的飞速发展，铁路、公路隧道等工程建设中遇到的工程地质环境问题变得越来越复杂[3]，且竖井开挖引起的围岩应力重分布受多种因素的影响，围岩应力与破坏形式发育不仅与竖井开挖深度、围岩结构特性、强度等级等围岩性质因素有关，还受竖井截面形状和支护形式的影响[4]，同时竖井结构具有空间效应，而鲜有针对竖井结构空间土压力方面的相关研究[5]，因此，对竖井围岩空间土压力的计算和分析，具有重要的理论与工程实践意义。

现阶段针对竖井围岩空间土压力试验测试相关方面的研究较少，试验测试方法主要有现场原位测试试验和室内模型试验[6-9]。闫登峰[10]基于现场实时监测数据，得到了竖井下沉不同深度时井壁土压力的分布规律。KIM等[11]基于全尺寸现场试验结果，通过三维拱形效应测量，研究了竖向圆井的侧向土压力的大小和分布。CHO等[12]介绍了一种基于离心机模型试验，基于实验分析研究了垂直圆轴上的侧向土压力，得出垂直圆轴上的侧向土压力比朗肯理论值低。上述研究成果分析了竖井井壁土压力，总结了不同因素对井壁土压力分布规律的影响[13-14]。

基于许多学者多年来对竖井失稳破坏机理的研究成果发现，可以采用桩-土间相互作用原理来计算与研究竖井井壁的受力特性及规律，而土与结构的相互作用计算过程往往较为复杂，因此，针对竖井井壁土压力分布规律方面的研究大多采用数值模拟方法[15-16]。杨勇[17]为减小竖井井壁的厚度，提高其承载力和耐久性，针对深冻结竖井井壁的施工环境和受力特性，得到了竖井井壁混凝土的受力和变形特征，可较为合理地解决深冻结竖井的支护难题。杨卓文[18]通过模拟竖井施工过程，明晰了竖井土体位移和地表沉降随着竖井开挖深度的增加而增大，且井壁土压力随着开挖深度增加而减小。以上学者考虑不同影响因素（井壁的厚径比、地层状况、支护类型以及降水或堵水方式等），深入研究了井壁土压力的分布规律。

竖井围岩土压力是竖井支护设计时需定量计算的重要荷载[19-22]。WALZ[23]讨论了确定无黏性土中竖井衬砌土压力的各种理论，并给出了具有锥形滑动面的库仑型分析结果。HERTEN和PULSFORT[24]采用线性滑动接触模型，计算了圆形竖井结构上的空间土压力及其变形，研究发现由于旋转对称性，竖井井壁空间土压力计算仅限于一个扇区。CHENG等[25]对哈尔-卡门完全塑性假定进行修正，推导出基于Mohr-Coulomb强度理论的竖井衬砌土压力解析表达式。周扬等[26]针对处于约束内壁治理条件下的深厚表土层中的竖井，应用双重级数法推导出满足所有侧面及端部应力边界条件的弹性解。

由于Mogi-Coulomb强度准则[27-28]较合理地考虑了中间主应力σ2对岩土强度的影响，基于此，本文引入一个环向压应力系数ζ对哈尔-卡门完全塑性假定进行修正，通过对竖井围岩进行弹塑性分析，推导出基于Mogi-Coulomb强度准则的竖井井壁空间主动土压力新解。

1 竖井井壁土压力推导前提与假定

本文依托Mogi-Coulomb强度准则，在主动极限平衡状态下，竖井围岩的屈服条件[29]满足式（1），通过对围岩进行弹塑性分析，推导出竖井围岩空间主动土压力新解。

式中：c为黏聚力；φ为内摩擦角；b为中间主应力系数。

2 竖井井壁土压力理论推导

假定竖井围岩微元体的应力状态如图1所示[30]。图中R为竖井半径，r为围岩一点的半径，rσ、zσ、θσ分别为径向、轴向和环向应力。

图1 围岩一点的受力状态Fig. 1 Stress state of a point on the surrounding rock

竖井围岩问题的平衡微分方程为：

式中：γ为竖井围岩的重度。

针对经典的别林赞茨叶夫主动土压力偏小，在工程实践中往往偏于危险的问题，引入环向压应力系数ζ对哈尔-卡门假定进行修正[31]，则竖井围岩微元体上的环向应力满足：

当ζ<1时，σ1(σz) ＞ σ2(σθ) ＞ σ3(σr)，即为本文土压力；当ζ=1时，σ1(σz) = σ2(σθ) ＞ σ3(σr)，即为别林赞茨叶夫主动土压力。

在屈服状态下，轴对称竖井围岩在r-z平面存在两族滑移线，将滑移线与大主应力σ1轴的夹角为+u时称第一族滑移线，夹角为-u时称第二族滑移线[32]，如图2，图中δ为第一族滑移线与r轴的夹角，θ1为σ1轴与r轴的夹角。

图2 竖井围岩的两族滑移线Fig. 2 Two groups slip lines of shaft surrounding rock

为简化公式的计算和方便公式形式的表达，令：

则主动极限状态时围岩应力分量为：

将式（5）和式（6）代入式（2），得：

联立式（7）和式（8），得到：

联立式（9）和式（10），得到：

当第一族、第二族滑移线的弧长分别用s1和s2表示[18,30]，由方向导数公式定义，得到主动极限平衡状态时轴对称竖井围岩微分方程为：

图3 竖井井壁土压力简图Fig. 3 Earth pressure of shaft wall

则第一族滑移线与r轴的夹角为：

将式（15）代入式（13），得到：

联立式（5）、式（6）和式（19），可得围岩应力分量：

若第一族滑移线与地表交点横坐标为ar，与井壁交点纵坐标为za，则存在如下关系：

将式（22）代入式（20），得到围岩应力分量，式（23）；令式（23）中r=R，得到竖井井壁的空间主动土压力新解为式（24）。

显然经典的别林赞茨叶夫主动土压力公式（25）为本文空间主动土压力公式（24）在中主应力系数b=0或1.0，且环向压应力系数ζ=1.0时的特例。

由于竖井井壁空间主动土压力具有环形土拱效应[34]，使得空间土压力小于或等于平面土压力，通过计算可得如下关系：

将式（27）代入式（17），得到：

3 算例分析

针对半径R=3 m、井深z=15 m的竖井，采用3种计算工况进行对比分析如表1，研究不同b和ζ对竖井井壁空间主动土压力值的影响。

表1 计算工况Table 1 Calculation conditions

图4为不同中间主应力系数b下竖井井壁空间主动土压力分布曲线。当b=0或1.0时主动土压力（别林赞茨叶夫主动土压力）为最大值，b=0.1、0.2、0.3、0.4和0.5时井壁土压力较b=0或1.0时（别林赞茨叶夫主动土压力）分别减小23.0%、42.6%、57.7%、67.2%和70.5%。

图4 b值对井壁土压力的影响Fig. 4 Influence of b value on earth pressure of shaft wall

图5为不同b值下轴对称竖井井壁的空间主动土压力分布曲线。通过分析发现，竖井井壁空间主动土压力随着竖井深度的增加成非线性分布，b值越大，竖井围岩拉张区开裂深度越大，且竖井井壁空间主动土压力值大于别林赞茨叶夫主动土压力（b=0或1.0时主动土压力）。

图5 不同b值时井壁土压力Fig. 5 Earth pressure of shaft wall with different b values

图6为不同ζ值下竖井井壁空间主动土压力分布曲线。随着ζ值的减小（当ζ=1.0时为别林赞茨叶夫主动土压力），竖井围岩拉张区开裂深度减小；ζ=0.9、0.8、0.7和0.6时井深15 m处竖井井壁空间主动土压力值较ζ=1.0时（别林赞茨叶夫主动土压力）分别增大29.4%、65.2%、109.2%和163.3%，说明随着环向压应力系数减小，竖井井壁空间土压力值增大。这是由于基于哈尔-卡门完全塑性假定的别林赞茨叶夫主动土压力明显夸大了轴对称竖井围岩微元体的环向正应力，简单地将轴对称竖井井壁的微元体围岩应力满足σ1(σz) = σ2(σθ) ＞ σ3(σr)，这明显与工程实际中轴对称竖井围岩微元体的应力状态不相符，从而导致求解出的竖井井壁空间土压力值pa=σr偏小。

图6 不同ζ值时井壁空间土压力Fig. 6 Earth pressure of shaft wall with different ζ values

图7为ζ为1.0、K0[25]时井壁空间主动土压力（当ζ=1.0时为别林赞茨叶夫主动土压力）。以朗肯主动土压力作为参照，工况1中井深15 m处ζ=1.0和K0时井壁空间主动土压力较朗肯主动土压力分别减小64.8%和33.2%，工况2中ζ=1.0和K0时主动土压力分别减小76.4%和39.1%，工况3中ζ=1.0和K0时主动土压力分别减小86.3%和46.2%。