闫启方，李晓娴，张宗领

(信阳师范学院 建筑与土木工程学院， 河南 信阳 464000)

0 引言

当前，对于多孔介质的研究主要是以Biot饱和土理论[1]、多孔介质理论[2]和杂交混合物理论[3]为主，而在刻画饱和土力学特性方面大多采用Biot饱和土理论。EDELMAN[4]、余萍[5]等指出Biot饱和土理论存在一定的模型缺陷：一是模型的耦合惯性质量是非客观量，二是本构模型假定不满足物质客观公理。所以，能够避免非相容性又可以满足相关公理的多孔介质理论相对而言较为合理。

随着海绵城市地下管道、人防工程、地铁、地下隧道等的建设，动力响应和稳定问题事关地下结构或建筑物工程安全，地下结构或建筑物动力响应的研究在土木工程、地震工程和地球物理学领域具有十分重要的研究价值，已成为相关领域的研究重点和难点。基于Biot饱和土理论，ZHANG[6]提出了一种求解黏弹性层状饱和多孔介质中波传播的数值方法和传输矩阵法，对黏弹性层状多孔介质中波的传播问题进行了研究。李伟华等[7]利用非饱和多孔介质波动方程建立了非饱和土自由场地震反应分析模型，分析了平面P波入射情况下场地中的波场。基于多孔介质理论，DE BOER等[8-9]分析了流体饱和多孔介质动力响应场方程的一般形式，并将其应用于瞬态波动的研究，得到了不可压流体饱和半空间一维动力响应的解析解，以及研究了平面简谐波在不可压流体饱和弹性半空间的传播和反射，得到了弥散关系、波速、衰减系数等。杨骁等[10]基于多孔介质理论，利用Laplace逆变换的Crump数值反演方法，得到了流体饱和不可压黏弹性多孔介质层的一维动力响应问题的数值解。

对于饱和土层动力响应等的研究，不管是采用Biot饱和土理论还是多孔介质理论，都没有考虑孔隙尺寸、孔隙动力等局部效应的影响。ERINGEN[11-12]指出，连续体内某一点的应力，不只与该点的应变有关，还与连续体内所有点的应变及变形历史有关，为此，提出了非局部理论，将非局部核函数直接引入到传统的连续介质力学方程，这样能够有效反映尺度因素的影响。当前非局部理论在纳米领域得到了广泛的应用和发展，但在其他领域的研究才刚刚起步，特别是岩土工程领域，TONG等[13]首次将非局部弹性理论和Biot饱和土理论相结合，提出了一种非局部Biot饱和土理论，并研究了流体饱和多孔介质中波的传播特性。徐长节等[14]在非局部理论和Biot理论的基础上研究了饱和土中深埋圆柱形衬砌对平面弹性波的散射问题。为了克服Biot理论存在的不足，同时考虑土体非局部效应的影响，基于非局部弹性理论和多孔介质理论，本文构建饱和土的运动控制方程，并在此基础上研究一维饱和土层的动力响应，分析非局部效应等对系统动力特性的影响。

1 基于非局部理论的饱和土控制方程

在线弹性、均匀和各向同性的情况下，不计体力的非局部理论的基本方程[11]为:

σij,j=0,

(1)

(2)

(3)

(4)

图1所示为一半无限饱和土层，饱和土层的上表面有均布的简谐荷载Q(t)=q0eiωt，i为虚数单位，ω为荷载频率。饱和土层下部为基岩，土层的厚度为H。

图1 饱和土层Fig.1 Saturated soil layer

对于饱和土，采用多孔介质理论进行描述，由于方程(1)是在不考虑体力影响下建立的，而此处的问题为稳态简谐振动，为此需要在多孔介质理论的基础上对方程(1)进行修改。借助体积分数的概念并忽略固相骨架和流相之间的能力和质量交换，则有饱和多孔介质的动量方程和体积分数方程为[15]:

(5)

(6)

其中：p为孔隙水压力，Sv为液固耦合系数,I为单位矩阵。再考虑固相土骨架的本构方程:

(7)

其中：λS、μS为宏观拉梅常数。

由式(4)—式(7)可以得到，以位移表示的基于非局部理论和多孔介质理论的饱和土控制方程为

(8)

2 基于非局部理论一维饱和土层稳态响应求解

对于如图1所示的饱和土层，由式(8)可以得到沿x方向的一维饱和土耦合动力学响应的基本方程为

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

无量纲运算可得

(14)

(15)

(16)

式(14)—式(16)可以写成矩阵形式：

(17)

这里，

令

(18)

代入式(17)可得特征方程为

r4-β2r2=0,

(19)

式中，

由此可得特征根分别为

r1,2=±β，r3,4=0,

(20)

与特征根对应的特征矢量分别为

(21)

其中

由此可得方程(17)的通解为

(22)

其中，待定系数C1、C2、C3可根据边界条件式(12)确定，由此可得

(23)

(24)

(25)

(26)

3 数值算例与分析

为了方便分析非局部效应等对一维饱和土层稳态响应的影响，令

图2—图4通过α=e0a/H来考虑饱和土孔隙尺寸、孔隙动应力等对系统稳态响应的影响。可以看出，不考虑非局部效应时波动一直存在，随着非局部效应的增强，峰值越小，且在高频时峰值消失，曲线趋于稳定(x/H=0处)，说明当考虑孔隙尺寸、孔隙动应力等因素时系统阻尼有增大现象。随着频率的增大，固相位移和液相位移波动减小，由于频率较大时系统来不及反应,和自由表面直接承受外部荷载作用,产生了一定位移，进而导致固相位移和液相位移随频率增大，曲线趋于常数，此时固相位移和液相位移很小。

图2 非局部效应对固相位移的影响Fig. 2 Influence of nonlocal effect on displacement of solid phase

图3 非局部效应对液相位移的影响Fig. 3 Influence of nonlocal effect on displacement of fluid phase

图4 非局部效应对孔隙水压力的影响Fig. 4 Influence of nonlocal effect on pore water pressure

液-固耦合系数对固相位移、液相位移和孔隙水压力的影响主要在变化曲线的峰值处，且有较大的影响(图5—图7)。随着固相和液相相互作用的增大，固相位移、液相位移和孔隙水压力将减小。

图5 液-固耦合系数对固相位移的影响Fig. 5 Influence of liquid-solid coupling coefficient on displacement of solid phase

图6 液-固耦合系数对液相位移的影响Fig. 6 Influence of liquid-solid coupling coefficient on displacement of fluid phase

4 结论

在非局部弹性理论和多孔介质理论的基础上，克服Biot饱和土理论的不足，考虑饱和土孔隙尺

图7 液-固耦合系数对孔隙水压力的影响Fig. 7 Influence of liquid-solid coupling coefficient on pore water pressure

寸、孔隙动应力等的影响，构建了基于非局部理论的饱和土的运动控制方程，研究了上表面均布简谐荷载作用下饱和土层的动力响应问题。通过数值算例分析发现：(1)简谐荷载作用下饱和土层的稳态动力响应存在共振现象，当考虑饱和土的非局部效应时，共振现象主要发生在低频范围内，高频时共振消失；(2)考虑饱和土的非局部效应可以增大饱和土的阻尼，降低固相位移、液相位移随频率变化曲线的幅值，且在高频时由于系统来不及反应，固相位移和液相位移将趋于零。(3)由于简谐振动的原因，饱和土孔隙水压力随频率的增大将逐渐增大，甚至会产生液化现象。(4)当考虑液相和固相相互作用的影响时，固相位移、液相位移和孔隙水压力在峰值处将减小，液固耦合系数的影响主要在峰值处。