王伟 王一平

(西北农林科技大学理学院,杨凌 712100)

提出一种基于超导传输线腔的一维晶格理论方案,其中包含两种超导微波腔系统.通过调控磁通量子比特来操纵临近和次临近晶胞之间的相互作用,使其获得集体动力学演化规律,来研究其中的拓扑特性.首先,分析了奇偶晶格数目的能谱和边缘状态,发现奇偶晶格数将会影响系统的拓扑特性,并且边缘状态分布发生翻转过程.其次,在次临近的相互作用下,发现其相互作用存在相互制约现象,通过调控其相互作用,可以实现系统拓扑相变和拓扑量子态的传递过程.最后,研究了缺陷对拓扑特性的影响,发现缺陷势能较小时,系统能带变化周期稳定,边缘态保持不变,能谱产生微小波动,并且可以区分;缺陷势能较大时,能带分布被破坏,将会变得无序和混乱.根据本文的研究结果,可以设计一些新型量子器件,应用在量子光学和量子信息处理中.

1 引言

拓扑绝缘体自发现以来就受到广泛的关注,并且成为凝聚态物理中最有研究价值的领域之一[1—7].拓扑绝缘体是一种新的物质形式,在其内部表现为绝缘体,而在边界处展现金属性.与传统绝缘体相比,在拓扑绝缘体的边界或表面,存在零能隙的边缘态模式[8—11].然而,随着拓扑索引或非局部参数的变化,可以发生拓扑相变现象,使其进入另一个相.特别地,由于边缘态受到能隙保护,使其对于局部的无序和微扰是具有鲁棒性[12—15].因此,基于拓扑绝缘体的这些优势特性,可以设计一些新型拓扑器件,应用于量子信息处理和量子计算领域中.

近年来,随着微纳米技术的快速发展,固态超导量子电路系统成为最有可能的实用化量子平台之一[16—20].目前,超导电路系统在不同领域展现出独特的优势,并且取得优异的成绩,如量子光学、量子信息处理和量子模拟等领域.尤其是,由超导传输线微波腔和超导量子比特构建的一维或二维晶格系统,为拓扑绝缘体研究提供了一种新的实验平台和研究路径,可以更好地利用系统的可控耦合参数和连通性,进一步建立可扩展性的量子网络框架[21—24].在拓扑结构中,Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型是其中最简单的一维结构之一,可以利用超导量子电路系统,比如量子比特(磁通比特、相位比特、电荷比特、冷原子和金刚石色心)、超导微波腔(传输线LC 电路腔、共面波导管腔和二维腔)、纳米机械振子等[25—31],以研究内容和研究目标构建该模型,展示丰富的拓扑物理现象,如拓扑相变和边缘状态、拓扑不变量、非厄米体边界等.Koch 等[32]利用超导微波腔构建晶格系统,从而实现拓扑Chern 绝缘体;Mei 等[33]利用电路QED 搭建一维的晶格系统,实现了拓扑Chern绝缘体,并且对拓扑边缘模和不变量进行探测;Gu 等[34]通过构建Janeys-Cummings 晶格系统,研究了自旋轨道耦合和拓扑极化子;Huang 等[35]利用超导量子电路晶格系统,演示了非厄米系统中的拓扑相变;Tan 等[36]基于电路QED 晶格系统,在实验上实现了具有宇称-时间反演对称性的拓扑半金属能带结构;此外,Cao 等[37]提出了一种二维超导量子电路晶格方案,研究了系统能带结构和异常环结构特点;Cai 等[38]利用超导量子电路系统构建可调的一维晶格系统,研究系统中的磁子绝缘态.受上述研究的启迪,本文利用超导量子电路系统,根据当前实验可行性参数,来构建基于超导量子电路的一维拓扑系统,研究、模拟和调控其中的拓扑特性.

本文提出了一种基于超导电路系统的一维晶格方案,由两种超导传输线微波腔组成,通过调控系统中临近晶胞和次临近晶胞之间的相互作用,分析系统的能谱和边缘状态的变化,研究其中的拓扑特性.首先,分析了奇偶晶格尺寸的能谱和边缘状态,发现奇偶晶格数将会影响系统的拓扑特性,并且可以显示边缘状态分布翻转过程.其次,考虑次临近的相互作用,发现次临近相互作用的大小,将会影响系统边缘态的分布,同时也发现次临近相互作用存在制约现象,可以通过调控它们的大小,对系统拓扑边缘态分布进行调节.最后,考虑系统缺陷对拓扑特性的影响,发现缺陷势能较小时,边缘态保持不变,只是能谱有微小波动;相反,缺陷势能较大时,能带分布被破坏,将会变得无序和混乱.这些研究,可以应用于量子信息处理和量子计算,将会影响未来量子信息技术的发展蓝图.

2 模型和哈密顿量

考虑的一维电路晶格系统如图1 所示,由an和bn两种超导传输线微波腔组成,该系统的哈密顿量可以表示为

图1 一维超导微波腔晶格系统模型图 (a) 该系统由an和 bn 两种超导微波腔组成,其中 an 和 bn的耦合系数为J1,bn和 an+1的耦合系数为J2,an 和 an+1的耦合系数为T1,bn和 bn+1的耦合系数为T2 ;(b) 晶格等价的电路图,其中Ln和 Cn 是超导微波腔总的电感和电容,他们之间的耦合通过磁通超导量子比特调节Fig.1.One-dimensional superconducting microwave cavity lattice system model diagram: (a) The system consists of two superconducting microwave cavities an and bn,where anand bn coupling coefficient is J1,bn and an+1 coupling coefficient is J2,an and an+1 coupling coefficient is T1,bn and bn+1 coupling coefficient is T2 ;(b) equivalent circuit diagram,where Ln and Cn are the total inductance and capacitance of the superconducting microwave cavity,and the coupling coefficients can be regulated by the magnetic flux superconducting qubit.

其中J1为an和bn的耦合系数,J2为bn和an+1的耦合系数,T1为an和an+1的耦合系数,T2为bn和bn+1的耦合系数,它们的耦合强度可以通过磁通超导量子比特来调控.在目前的实验中,通过外部磁通的调制,J1,J2,T1和T2可以达到1—100 MHz范围内.因此,该系统的参数在实验上可以达到,并且可以周期性调制,那么系统的参数可以表示为周期性形式:

其中,选取φ ∈(0,2π) 变化,T=1 被设置为能量单位.把上述周期参数代入哈密顿量(1)式,可以得到

接下来,主要研究该系统的拓扑特征,系统中的拓扑相变会伴随能带的闭合和打开,即能带间隙的变化,因此,在周期参数调制下,分析系统的能谱随参数φ的变化,进一步研究系统的拓扑性质.

3 结果与讨论

3.1 奇偶格点数的拓扑特性

众所周知,拓扑性质与系统的结构特征有着紧密的联系,对于不同的结构将会呈现不同的拓扑相变和边缘态,也就是说,可以构建不同的结构,来实现一些新型功能的拓扑量子器件.因此,下面分析奇偶晶格数的拓扑特征.这里选取T1和T2为零,不考虑次临近的耦合强度,只考虑临近的耦合,那么系统的哈密顿量可以描述为

系统的能级谱E与参数φ的物理图像如图2 所示,其中选取偶数和奇数晶格数.在图2(a)中,选取N=17 个晶格,发现能级谱只存在一条零模能级,不存在能级的简并;如图2(b)所示,当晶格数为偶数(N=18)时,在φ ∈(0,π/2)和φ ∈(3π/2,2π) 区域能级谱将显示两条简并能级,在φ ∈(π/2,3π/2)区域简并能级消失.

图2 绘制系统能谱E 与参数φ的物理图像 (a) N=17时能谱图;(b) N=18 时能谱图,参数φ 取值范围为(0,2π)Fig.2.The energy spectrum E of the system via the parameter φ: (a) N =17;(b) N=18.The range of parameter φ is (0,2π).

为了进一步分析系统能谱E与参数φ的关系,选取不同的相位φ点绘制系统能谱E与晶格数的物理图像.如图3(a)—(d)所示,在晶格数N=17的情况下,发现系统能谱的零模能级与上下能级的间隙大小可以通过参数φ进行调制.在图3(e)—(h)中选取晶格数N=18,发现系统能谱的变化与图3(a)和图3(d)完全不一样,通过调节参数φ可以使简并能级消失,从而获得最大能带间隙.

图3 绘制系统能谱E 与奇偶晶格数的物理图像: (a)—(d) N=17,φ 分别选取0,π/3 ,2π/3 和π;(e)—(h) N=18,φ 分别选取0,π/4,π/2 和πFig.3.The energy spectrum E of the system via the odd and even lattice numbers: (a)—(d) N=17,φ=0,π/3 ,2π/3 and π;(e)—(h) N=18,φ=0 ,π/4 ,π/2 and π.

综上所述,可以发现能带分布与格点数的奇偶有关,并且通过调制系统的参数φ可以操纵系统的拓扑性质.这种物理现象产生的机制可以理解为,不同数目的晶格会影响系统的边界条件,从而导致不同的拓扑性质.

此外,可以通过分析零模能级态的分布,研究系统的拓扑性质.如图4 所示,取不同的相位点φ绘制零模能级态的分布与晶格数的物理图像.在图4(a)到图4(d)中晶格数N=17,分别取不同的相位点φ(0,π/3 ,2π/3 和π),可以发现在图4(a)和4(b)中态的分布局域在最左边处,在图4(c)和图4(d)中态的分布局域在最右边,这可以直观地说明态的分布发生了一个翻转过程.另外,在图4(e)—(l)中晶格数N=18,分别取不同的相位点(0,π/3,π/2 和 1.99π),同样也可以看到态分布的翻转过程.需要注意的是φ=1.99π 时存在左边缘态,而当φ=2π 时态分布恢复到φ=0的右边缘态,这代表态分布对相位是敏感的,可以通过调节系统参数,改变系统的拓扑相,实现量子态由一侧到另一侧的传递.

图4 绘制系统零模能级态的分布与奇偶晶格数的物理图像: (a)—(d) N=17,φ 分别选取0,π/3,2π/3 和π;(e)—(h) N=18,φ 分别选取0,π/3 ,π/2 和 1.99π ;(i)—(l) N =18,φ 分别选取0,π/3 ,π/2 和1.99πFig.4.The state distribution of the zero-mode energy and the odd-even lattice number: (a)—(d) N=17,φ=0 ,π/3,2π/3 and π;(e)—(h) N=18,φ=0 ,π/3 ,π/2 and 1.99π .(i)—(l) N=18,φ=0 ,π/3 ,π/2 and 1.99π .

3.2 次临近耦合的影响

在一维超导微波腔晶格结构系统中,次临近相互作用T1和T2会影响系统的拓扑特性.接下来考虑次临近相互作用对该系统拓扑性质的影响.通过控制参数T1和T2的大小,分析系统的能带变化,研究系统拓扑相的特征.当晶格点数为奇数,如图5(a)所示,可以发现只增大T1时,系统能谱会有新的边缘态产生,导致零模能与下能级闭合,并且下方能带部分出现翻转过程;在图5(b)中,只增大T2时,系统的零模能不变,但它更接近上能级,同时下方能带也部分出现翻转过程.图5(c)不同于图5(a),当增加T2时,系统的零模能与下能级逐渐闭合可以消失.另外,如图6(a)和图6(b)所示,当格点数为偶数时,只增加T1或者T2,可以发现系统的间并区间由(0,π/2)和(3π/2,2π)有所减小,并且下能级有一致的翻转过程.然而,如图6(c)所示,同时增加T1和T2,简并区域发生微小变化,并且翻转区域值大小也发生波动,这不同于图6(a)和图6(b).也就是说,同时增加T1和T2,两者之间产生相互制约现象,使系统能级谱的简并区域和翻转区域发现波动现象.

图5 绘制系统能谱E 与参数φ的物理图像,选取晶格数N=17 (a) T1=0.4 ,T2=0 ;(b) T1=0,T2=0.4 ;(c) T1=0.4,T2=0.3Fig.5.The energy spectrum E of the system via the parameter φ, N=17: (a) T1=0.4 ,T2=0 ;(b) T1=0 ,T2=0.4 ;(c) T1=0.4 ,T2=0.3 .

图6 绘制系统能谱E 与参数φ的物理图像,选取晶格数N=18 (a) T1=0.2,T2=0;(b) T1=0,T2=0.2;(c) T1=0.2,T2=0.2 Fig.6.The energy spectrum E of the system via the parameter φ,N=18: (a) T1=0.2 ,T2=0 ;(b) T1=0 ,T2=0.2 ;(c) T1=0.2 ,T2=0.2 .

图7 给出了态的分布与参数φ和晶格数的物理图像,选取了不同的T1和T2的值,进一步说明系统拓扑性质的特征.从图7(a)可以发现,在φ ∈(0,π/2)和φ ∈(3π/2,2π) 区域,系统的态分布局域在第1 个晶格处;在φ ∈(π/2,3π/2) 区域,态分布在第17 个晶格处.因此,可以通过操控相位φ,使态在第1 个和第17 个晶格点间传递.此外,图7(b)和图7(a)相比,只增加T1的值,发现系统在第2 个和第16 个晶格之间的态分布明显增加.然而,在图7(c)中只增加T2的值,发现态分布和图7(a)一样,可以说明单独改变T2不影响态的分布.在T2=0.3的基础上增加T1的值,如图7(d)所示,可以发现中间部分格点态分布更加波动.

图7 绘制态的分布与参数φ 和晶格数的物理图像,选取晶格数N=17 (a) T1=0 ,T2=0 ;(b) T1=0.6 ,T2=0 ;(c)T1=0 ,T2=0.3 ;(d) T1=0.6 ,T2=0.3Fig.7.The state distribution via the lattice numbers and the parameter φ,N=17: (a) T1=0 ,T2=0 ;(b) T1=0.6 ,T2=0 ;(c) T1=0 ,T2=0.3 ;(d) T1=0.6 ,T2=0.3 .

此外,图8 选取偶数晶格数,绘制态的分布与参数φ和晶格数的物理图像.在图8(a)中,取T1=0.1和T2=0.1 时,在φ ∈(0,π/2)和φ ∈(3π/2,2π) 区域,可以发现态分布局域在第1 个和第18 个晶格.然而,选取T1=0.01 和T2=0 时,如图8(b)所示,在φ ∈(0,π/2)和φ ∈(3π/2,2π) 区域,可以发现态分布局域在第1 个晶格处,当T1足够大时,非平凡态会从第1 晶格变化到第2 晶格.当选取T1=0 和T2=0.01时,如图8(c)所示,在φ ∈(0,π/2) 和φ ∈(3π/2,2π)区域,可以发现态分布局域在第18 个晶格处,继续增加T2,非平凡态会从第18 晶格变化到第17 晶格.这说明单独微小增加T1和T2都会使边缘态只存在一侧,而调节T1=T2=t,当t≤0.31时,T1和T2对态分布作用相互抵消,不产生影响,态分布仍如图8(a)所示;0.31 ≤t≤0.6时,随t增加会增加第2 个和第17 个晶格的态分布,t ＞0.6 时,系统的态分布被逐渐破坏,变得杂乱无序;而T1和T2不相等时,如图8(d)所示,会表现出两者中值更大项的作用影响.因此,可以通过操控相位φ,T1和T2,使态在第1 个和第18 个晶格点传递.

图8 绘制态的分布与参数φ 和晶格数的物理图像,选取晶格数N=18 (a) T1=0.1 ,T2=0.1 ;(b) T1=0.01 ,T2=0 ;(c)T1=0 ,T2=0.01 ;(d) T1=0.2 ,T2=0.19Fig.8.The state distribution via the lattice numbers and the parameter φ,N=18: (a) T1=0.1,T2=0.1 ;(b) T1=0.01,T2=0;(c) T1=0 ,T2=0.01 ;(d) T1=0.2,T2=0.19 .

3.3 缺陷的影响

目前,在实验上,该系统的制备过程中会产生不可避免的固有缺陷,而这会影响系统的拓扑特性.因此,我们在该系统的晶格中加入位缺陷势能δW,来分析缺陷对拓扑性质的影响.如图9(a)所示,在第9 个和第10 个晶格分别加入缺陷势能δW=−0.1,δW=0.1,发现在φ ∈(0,π/2) 和φ ∈(3π/2,2π)区域,系统能谱的零模能不再简并,同时下移和上移,并且诱导新的拓扑相.然而,如图9(b)所示,在第9 个和第10 个晶格分别加入缺陷势能δW=0.1,δW=−0.1,系统能谱的零模能简并消失,同时上移和下移,在φ=π/2 和 3π/2 产生交叉点,展现新的拓扑相.另外,如图9(c)所示,当每个格点都引入相同的位缺陷时,不会产生新的拓扑相,只会影响能带的大小,表现为随着 δW的变化能谱整体上移或下移.

图9 绘制能谱E 与参数φ的物理图像,选取晶格数N=18 (a) 在第9 个和第10 个晶格分别加入缺陷势能 δW=−0.1,δW=0.1;(b) 在第9 个和第10 个晶格分别加入缺陷势能 δW=0.1,δW=−0.1 ;(c) 每个晶格引入缺陷势能 δW=0.5 ;(d) 每个晶格引入随机位缺陷势能δW=—0.1—0.1;(e) 每个晶格引入随机位缺陷势能δW=—0.3—0.3;(f) 每个晶格引入随机位缺陷势能δW=—0.8—0.8Fig.9.The energy spectrum E of the system via the parameter φ,N=18: (a) Add defect potentials δW=−0.1 and δW=0.1 to the 9 and 10 lattices,respectively;(b) add defect potentials δW=0.1 and δW=−0.1 to the 9 and 10 lattices,respectively;(c)each lattice point introduces a defect potential energy δW=0.5 ;(d) potential energy δW=—0.1—0.1 for the introduction of random site defects at lattice point;(e) potential energy δW=—0.3—0.3 for the introduction of random site defects at lattice point;(f) potential energy δW=—0.8—0.8 for the introduction of random site defects at lattice point.

此外,如图9(e)和图9(f)所示,当随机的缺陷被添加其中时,系统能带会发生振荡现象.如果随机缺陷势能比较小,系统的能带可以区分,并且边缘态保持不变.但是,当 δW超过一定范围后,能带分布被破坏,将会变得无序和混乱.因此可以揭示,并不是在任意格点加入位缺陷就会产生新的拓扑相,以及使系统的边缘态不受影响.另一方面,可以调节位缺陷来产生新的拓扑相,以及对信息的保护与传递.

在结论之前,简要讨论该方案的实验可行性.值得注意的是,超导量子电路系统现已成为研究各种量子系统的重要平台,这源于它的可调性、可扩展性和集成性等.在目前的实验研究中[1,16—19,38],可以根据实验参数制备超导电路晶格系统,并调整其在可运行范围内,比如通过调控系统中超导量子干涉装置的电容C、电感L、磁通量、电流和微波强度等,从而操纵系统中参数周期性地变化,使系统的边缘态分布呈现一个翻转过程,实现量子信息的传递.因此,该理论方案在目前的实验条件下是可行的.

4 结论

本文研究了基于超导量子电路系统的一维晶格系统,通过分析系统的能谱和边缘状态,发现奇偶晶格数会影响系统的拓扑特性;此外,考虑次临近的相互作用,发现次临近相互作用存在相互制约现象,通过调控它们的大小,可以调节边缘态的分布,使晶格中的量子态发生转移.另外,考虑系统缺陷的影响,发现缺陷势能比较小时,能带变化周期稳定,能谱产生微小波动,并且可以区分边缘态.因此,该研究结果表明,可以通过调控晶格系统的参数实现量子态的传输与转移,在未来量子信息处理中具有广泛前景.