王烨花 何美娟

(兰州交通大学数理学院,兰州 730070)

研究了高斯色噪声和周期信号共同作用下非对称双稳耦合网络系统的协同效应.此系统是由大量振荡器组成的网络模型,个体与个体之间的相互运作、变化产生出复杂的非线性行为模式.为了进行深入研究,首先,运用平均场理论、统一色噪声近似理论和等效非线性化等方法对原始 N 维系统进行降维近似.其次,借助役使原理得到简化模型的郎之万方程,进一步根据两态模型理论推导出信噪比的理论表达式,基于此发现系统产生了尺度随机共振现象.最后,分析了高斯色噪声、系统参数和周期信号等对非对称耦合网络系统随机共振行为的影响.结果表明,高斯色噪声自关联时间和噪声强度的增大,能够促进尺度随机共振现象;选取合适的耦合系数能使系统随机共振效应达到最佳.此外,还比较了高斯色噪声和高斯白噪声分别驱动下系统的随机共振问题,发现高斯色噪声更有利于增强随机共振现象.

1 引言

1981 年,学者Benzi 等[1]模拟地球大约以10 万年的冰川期和相对温暖期之间交替标志着随机共振的出现.此概念被引入后,掀起了科学家研究随机共振的热潮.McNamara 等[2]在1989 年将绝热近似理论运用于双稳系统两态模型的研究;之后,著名学者 Dykman 等[3]利用线性响应理论描述了过阻尼双稳系统的随机共振现象;Zhou 等[4]提出了驻留时间分布理论.随着随机共振理论和方法的逐渐成熟,其被广泛应用于各个领域,如基因调控[5]、化学突触[6]、故障诊断[7]等,且随机共振在越来越多的系统中被发现.靳艳飞和李贝[8]在分段非线性模型中发现存在传统和真实两种随机共振现象;张晓燕等[9]在噪声诱导的双稳系统中发现不仅产生了单随机共振,还出现了多重随机共振;Hänggi 等[10]研究过阻尼系统时证实高斯色噪声会削弱随机共振效应;焦尚彬等[11]探究了α稳定噪声与时滞项结合下单稳系统的共振问题,仿真表明时滞项不影响随机共振的产生.随机共振的发生不仅与系统、噪声有紧密联系,还和信号密不可分.Zhang 和Zheng[12]研究了周期矩形信号和高斯色噪声共同作用下的时滞双稳系统,发现系统产生了多重随机共振现象.杨建华等[13]讨论了受二进制非周期信号和周期方波信号激励的分数阶双稳系统的非周期振动共振问题,并将其应用于检测微弱信号.俞莹丹等[14]对正弦信号和高斯白噪声协同作用下四稳系统进行分析,证实系统存在着双重随机共振现象.

在随机共振的研究过程中,大多是针对单个变量的一维系统,而在实际现实中,事物之间往往是相互关联的,表现出复杂的动力行为,并不是孤立、单一的.因此,更能描述实际问题的耦合网络系统受到越来越多的关注和研究.如马圣楠[15]讨论了耦合网络的捕食系统的复杂行为,对生态学的发展具有重要的意义;何传磊[16]研究了轨道交通网络,分析网络之间的耦合协调度以提高交通网络的安全性;刘小强[17]分析了耦合时滞和电磁感应共同作用下神经元网络的随机共振行为,在医学领域为提高患者感知能力提供了一种思路;孙中奎等[18]对高斯白噪声作用下非对称双稳耦合网络系统进行探索.然而,对于网络系统动力学行为的研究,大多数成果集中在高斯白噪声上.由于高斯白噪声的产生需要提供无穷大的功率,这是无法实现的,属于一个理想情形.具有有限功率的高斯色噪声更符合实际需要,且能够更好地阐述客观实际,会使相关研究更具现实意义,故研究具有关联时间的高斯色噪声诱导下耦合网络系统的动力学现象虽然复杂,却更有必要.

本文研究了高斯色噪声与周期信号共同作用下非对称双稳耦合网络系统的随机共振(stochastic resonance,SR)现象.考虑到原系统的复杂性和非线性,首先对原始模型进行降维处理,之后求得简化模型的郎之万方程,在绝热近似条件下,计算出信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)的理论表达式,并发现系统存在尺度随机共振现象;最后分别讨论系统随机共振行为随着高斯色噪声自关联时间、噪声强度、耦合系数、非对称性系数、周期信号幅值等参数变化而不同的演化情况.

2 非对称双稳耦合网络系统

本文考虑一组由N个相互作用的双稳态振荡器组成的模型[19],其中每一个xi都是单自由度的,同时受到高斯色噪声和周期信号的共同作用,可用如下随机微分方程表示:

其中i=1,2,···,N;r是非对称性系数;N是系统尺度;θ定义为振荡器之间相互作用的耦合参数;ηi(t)是自关联时间为τ、噪声强度为D的高斯色噪声,且满足性质

周期信号S(t)=Acos(ωt),A是信号幅值,ω是信号频率.

将系统(1)看作一个整体,定义xi的全局变量阶波动矩

对于(1)式分别运用平均场理论[20]和 It随机微分法则[21]降维可得关于X与Mk(t)的随机微分方程为

由于方程(2)和方程(3)具有non-Markovian,基于统一色噪声近似原理[22,23],简化可得如下模型:

其中c(X)=X −M3−3M2X −3M1X2−X3+r+S(t);c′(X) 是关于X的导数;ξ(t)为高斯白噪声,且满足性质

d′(X)是关于X的导数;ζ(t)为高斯白噪声,且满足〈ζ(t)〉=0,〈ζ(t)ζ(t′)〉=2Dδ(t −t′) .

进一步,对(4)式与(5)式的非线性函数进行等效线性化,令

将(4)式和(5)式在X=0 处泰勒展开,得到近似模型:

依据Kn与Mn的关系,可得X和K2的随机微分方程:

运用高斯近似[24]和役使原理[25],化简(8)式与(9)式得到Langevin 方程:

令V ′(X)=0,计算得到方程(10)的两个稳定点为

一个不稳定点为

3 信噪比

随机共振是一种噪声对于微弱信号起到协助并促进输出作用的非线性现象.目前,衡量随机共振的测度指标主要有信噪比、信噪比增益、驻留时间分布、互相关系数、统计复杂度等.对于信噪比这一指标倾向于体现出输入或输出信号的特性,故本文采用信噪比来反映系统发生随机共振的效果.信噪比 SNR 定义为功率谱中信号特征频率处的幅值与噪声之间的比值,公式如下:

式中,SS(ω)和SN(ω) 分别表示信号和噪声功率谱密度.

接下来推导系统(10)的信噪比表达式.

利用Novikov 定理[26]等经典理论,得到方程(10)的近似FPK 方程如下:

根据平均首通时间的概念和最速下降法[27,28],可得粒子分别由X1和X2所在势阱的逃逸速率±为

运用两态模型理论[29],关于±小参数Acos(ωt)展开取到A的一次项为

在绝热近似条件[30]下,两势阱的总概率量n±满足如下方程:

由于绝热近似要求振幅A ≪1,略掉A的二次项之后,得到信噪比表达式为

4 随机共振

接下来,基于信噪比理论表达式(15)对高斯色噪声和周期信号共同作用下耦合网络系统随机共振行为随色噪声参数、系统参数和周期信号等参数的变化情况进行详细讨论.

4.1 随机共振的产生

信噪比 SNR 作为高斯色噪声强度D的函数,其演化情形如图1 所示,其他参数固定为N=3,θ=2,τ=0.15,A=0.01,r=0.01 时,从 图1 可以发现,随着噪声强度D从0 逐渐增大到1,SNR曲线先逐渐增大后减小,出现了单峰状态,由此表明系统产生了随机共振现象.

图1 SNR 关于噪声强度D的演化图Fig.1.Evolution of SNR with noise intensity D.

4.2 高斯色噪声对随机共振的影响

本小节研究高斯色噪声自关联时间τ和噪声强度D对系统(10)随机共振响应的影响.图2 描述了 SNR 作为系统尺度N的函数随着自关联时间τ变化的演化情况.从图2 可以得出,当其他参数选取为θ=3,D=0.3,A=0.01,r=0.02 时,每一条 SNR 曲线随着N的增加都呈现出非单调的演化趋势,即在某个N值处产生明显的峰值,意味着系统出现了尺度随机共振现象;进一步,随着τ从0.05 逐渐增大到0.4,可以发现 SNR 曲线的峰值逐渐增大,且位置向右发生偏移,峰值对应的系统尺度N也从4 变化到6,说明τ的增大能够促进尺度随机共振的产生.

图2 SNR 作为系统尺度N的函数关于不同自关联时间τ的关系图Fig.2.Relationship of SNR as a function of system scale N with different correlation time τ .

图3 给出了 SNR 在不同系统尺度N的条件下,随着输入噪声强度D的改变而产生的不同输出情况.从图3(a)可以观察到,针对每一个噪声强度D,SNR曲线伴随着N的增加都呈现出单峰状,说明原始系统出现了 SR 现象.当其他参数为θ=3,τ=0.1,A=0.01,r=0.02 时,随 着D从0.17 变化到0.5,SNR的峰值逐渐增大,峰值所对应的N值向右移动,表明噪声强度D的增大能够增强 SR 现象.

为了比较高斯色噪声与高斯白噪声对于非对称耦合网络系统 SR 行为的影响,取定参数为θ=4,τ=0.1,A=0.01,r=0.03 时图3(b)给出两种噪声分别诱导下系统 SNR的演化图形,其中粉色曲线表示高斯色噪声作用下 SNR的演化图,蓝色曲线表示高斯白噪声作用下 SNR的演化图,从图3(b)可以看到D=0.3,D=0.5 时,高斯色噪声驱动下系统输出 SNR 数值均比高斯白噪声驱动下系统输出的SNR 数值要大.由此表明,在同一噪声强度D下高斯色噪声能够增强尺度随机共振现象.

图3 噪声强度D 对输出信噪比SNR的影响 (a) SNR 作为系统尺度N的函数关于D 变化的曲线;(b) 分别由高斯色噪声、高斯白噪声驱动下系统输出SNR的对比Fig.3.The influence of noise intensity D on the output SNR: (a) Curve of SNR as a function of the system scale N with the change of D;(b) comparison of system output SNR driven by Gaussian colored noises and Gaussian white noises respectively.

4.3 系统参数对随机共振的影响

为了进一步考虑系统参数的改变对随机共振动力学行为的影响,下面给出了耦合系数、非对称性系数和系统尺度的SNR 演化趋势图,结果如图4—图6 所示.

图4(a)描述了系统输出 SNR 在不同系统尺度N条件下,随着耦合系数θ变化而发生的不同输出情况.可以看出,对给定的θ值,每条 SNR 曲线都呈现出开始随着D的增加而增加,之后随着D的增大而减小的非单调演化趋势,表明系统出现 SR 现象.另外,给定D=0.3,τ=0.1,A=0.01,r=0.02,当θ从1.85 逐渐增大到2.5 时,SNR 曲线的峰值逐渐变大,且输出 SNR的最大值所需N向N增加的方向移动,也就是说,θ的增加可促进系统 SR的产生;但是当θ再逐渐增大至28 时,观察到 SNR 曲线的峰值却在减小,且 SNR的最大值所对应的N向N减小的方向移动,即较大的θ抑制了系统产生 SR .换言之,选取合适的耦合系数θ能够使系统 SR 效应达到最佳效果.

图4 耦合系数 θ 对输出信噪比SNR的影响 (a) SNR 作为系统尺度N的函数关于 θ的变化曲线;(b) 分别由高斯色噪声、高斯白噪声驱动下系统输出SNR的对比Fig.4.The influence of coupling coefficient θ on the output SNR: (a) Curve of SNR as a function of the system scale N with the change of θ ;(b) comparison of system output SNR driven by Gaussian colored noises and Gaussian white noises respectively.

图4(b)分析了耦合系数对高斯色噪声和高斯白噪声分别诱导下系统 SR 行为的影响.固定其他参数为D=0.3,τ=0.1,A=0.01,r=0.03,无论耦合系数θ=3 还是θ=8,高斯色噪声激励下耦合网络系统输出 SNR 曲线数值均高于高斯白噪声下SNR值.由此表明,在相同耦合系数θ下,高斯色噪声能加强尺度随机共振现象.

图5 讨论了 SNR 作为系统尺度N的函数随着非对称性系数r变化的演化趋势.可以观察到,随着N的增大,每条 SNR 曲线都出现了共振峰,即系统出现了 SR 现象.当θ=3,D=0.3,τ=0.1,A=0.01时,随着r从0.03 变化到0.1 时,SNR 曲线峰值的高度明显上升.又注意到,在r=0.03 和r=0.05时 SNR 峰值对应系统尺度N=4,而r=0.07与r=0.1 处峰值对应的N=3 保持不变,换句话说,非对称性系数r对高斯色噪声作用下系统尺度随机共振的影响是缓慢变化的.

图5 SNR 作为系统尺度N的函数关于不同非对称性系数r的关系图Fig.5.Relationship of SNR as a function of system scale N with different asymmetric coefficient r.

系统信噪比 SNR 在不同噪声强度D条件下,随着系统尺度N变化而发生的不同输出情况如图6 所示.可以观察到,当N分别取4,8,12 和16 时,每条 SNR 曲线都出现了单峰,说明系统产生了 SR 现象.详细地说,选取参数为θ=2,r=0.02,τ=0.5,A=0.01 时,随着N从4 逐渐增加到16,系统输出 SNR 与N的增大成正比,当N取到16时,随机共振的效果更显著,这一结果表明增大系统尺度N能够促进系统的SR 现象.

图6 SNR 作为噪声强度D的函数关于不同系统尺度N的关系图Fig.6.Relationship of SNR as a function of noise intensity D with different system scale N.

4.4 周期信号对系统随机共振的影响

本节讨论余弦信号S(t)=Acos(ωt) 对耦合网络系统随机共振行为的影响.图7 给出了信噪比SNR作为系统尺度N的函数,当周期信号振幅A变化时的演化趋势.从图7 中可以得到,每条SNR曲线都有先增加后减小的变化趋势,都存在局部最大值,说明系统出现了 SR 现象.具体来看,当给定其他参数为θ=3,D=0.3,τ=0.1,r=0.02 时,A从0.02 逐步增大到0.15 时,SNR 曲线的峰值高度随之变高.这表明,信号振幅A的增大能够使系统 SR 效应更加强烈.

图7 SNR 作为系统尺度N的函数关于不同周期信号振幅A的关系图Fig.7.Relationship of SNR as a function of system scale N with different periodic signal amplitude A.

5 结论

本文研究了高斯色噪声与周期信号共同驱动下非对称双稳耦合网络系统的随机共振现象.由于采用的模型是N维系统,直接研究比较困难且具有较强的非线性,故先运用平均场理论和统一色噪声近似原理将高斯色噪声诱导下的non-Markovian模型进行降维近似,再通过等效线性化得到简化模型,之后根据高斯近似和役使原理化简得到等价的Langevin 方程,最后在绝热近似条件下,利用经典随机共振理论,推导出包含所有参数的输出信噪比函数关系式.

结果表明,在一定的参数范围内,系统出现了随机共振现象.高斯色噪声自关联时间、噪声强度的增加能够促进尺度随机共振的产生;非对称性参数的增大,抑制了随机共振效果;而选取合适的耦合系数使系统的输出响应达到最大.另外,信号幅值的改变不会影响系统产生随机共振的尺度.此外,还对比分析了在其他参数一致的前提下,高斯色噪声和高斯白噪声分别激励下系统的随机共振行为.研究发现,高斯色噪声作用下耦合网络系统输出信噪比的数值更大,高斯色噪声较高斯白噪声更有利于增强系统随机共振现象.