红兰,戈君,双山,刘达权

(呼伦贝尔学院物理与电子信息学院,内蒙古 呼伦贝尔 021008)

0 引言

研究人员应用电子的电荷特性开创了微电子学,使各种基于电荷特性的半导体微电子器件走进人们的日常生活[1,2]。近年来自旋电子学已成为物理学中最热门的研究领域之一,具有广阔的应用前景。目前,研究自旋电子学的一个重要分支是在半导体量子阱、量子点、量子线或半导体异质结等介观系统模型上研究Rashba自旋轨道耦合效应,它可以应用在自旋三极管、自旋过滤器、以及自旋波导等电子器件中。1990年,Datta和Das[3]首次提出基于控制电子自旋的晶体管理论,自Datta的文章发表以来,许多学者对低维量子系统中的Rashba效应进行了实验[4,5]和理论[6,7]研究。如:Qiu等[8]实验研究了具有倒置能带结构的HgTe/HgCdTe量子阱Shubnikov De Haas震荡中的拍频现象,发现在量子阱中电子存在强烈的Rashba自旋分裂。Zhang等[9]从实验和理论上证明了无论是对称还是非对称掺杂HgTe量子阱,均不存在磁致子带间散射,原因是HgTe量子阱中导带的严重非抛物性导致子带电子非常复杂的能带结构和异常的不规则Landau能级分布,从而抑制了磁致子间的散射,所以HgTe量子阱中的拍频现象只能是由于Rashba自旋分裂引起的。Li等[10]采用有效质量包络函数理论研究了GaAs/GaAlAs量子阱中含氢施主杂质的Rashba自旋轨道分裂。Stanley等[11]利用Kane的8带k·p理论和包络函数近似,导出了Ⅲ-V族半导体量子阱结构的紧束缚态哈密顿量,精确地模拟了能带结构和自旋-轨道耦合,计算了最低导带中的Rashba自旋分裂。Jin等[12]研究了生长方向和电子密度不同的非对称量子阱中的Rashba自旋分裂,在高度不对称量子阱中强Rashba效应为自旋电子器件提供了潜在的应用价值。由于Rashba自旋-轨道相互作用,能级分裂成自旋向上和自旋向下态两个分支。Xu等[13]研究了PbTe/PbSrTe半导体非对称量子阱中的Rashba效应,得到Ⅳ-Ⅵ族半导体非对称量子阱结构比Ⅲ-V族半导体具有更大的Rashba自旋分裂能,这一特点使得它在自旋电子器件领域具有潜在的应用价值。然而,外加磁场也能使能量发生分裂,由外加磁场导致的能量分裂是Zeeman分裂。因此,由Rashba自旋轨道分裂引起的能量分裂并不是一个简单的分裂,有时会掺杂Zeeman分裂,如何区分这两种效应在能量分裂中的贡献还存在一定的争议。在弱磁场下,Zeeman效应的影响往往被忽略,而在强磁场中必须考虑Zeeman分裂。如:外磁场下,Lipparini等[14]利用哈密顿量的精确解析解研究了量子阱中的Rashba效应、Dresselhaus效应和Zeeman效应,并对各种效应对朗道能级分裂的贡献做了分析。

不难发现,研究者对量子阱中电子的Rashba效应已做了大量研究工作,但很少有人在极化子领域对其做过研究。本文将研究外磁场下非对称量子阱中极化子的Rashba效应和Zeeman效应,并在强弱磁场下分别对Rashba效应和Zeeman效应在能量分裂中所占的主导地位进行研究。

1 理论模型

由两种材料构成的非对称量子阱中的电子与体纵光学声子场发生相互作用,沿着Z方向施加一个矢势为A=(-By/2,Bx/2)的磁场B。体系中电子-声子相互作用的哈密顿量可表示为

式中

且β2=2eB/c,m是电子带质量,r是电子位置矢量,(ak)是波矢为k的体纵光学声子的产生(湮灭)算符,ωLO是体纵光学声子频率,V和α分别代表晶体的体积和电子-声子耦合强度,σ为电子的泡利矩阵算符,αR为Rashba自旋-轨道耦合常量,g为电子的朗德因子,μB为玻尔磁子。

受限势为

式中:V0是阱深,R表示阱宽。引入幺正变换算符

式中fk和fk*为变分参量,可由能量分别对fk*和fk求变分并取极小值求得。对(1)式进行幺正变换,变换后的哈密顿量为

选取非对称量子阱中磁极化子基态尝试波函数为

式中ωc=eB/(mc)定义为磁场回旋共振频率,η=mg/(2m0),m0是裸电子质量,玻尔磁子μB=eħ/(2m0c)。

由变分法得到

将fk和fk*代入能量期望值的表达式,得到

2 数值计算

为了更清楚地表示Rashba效应和Zeeman效应对磁极化子性质的影响,对非对称量子阱中磁极化子的基态能量进行了数值计算。为了简单,计算过程中取极化子单位(ħ=ωLO=2m=1),分别讨论了磁极化子基态能量与波矢、阱宽、磁场回旋共振频率及阱深的关系。在强、弱磁场下,分别对Rashba效应和Zeeman效应在能量分裂中所占的主导地位进行了对比。在所有图中E0代表磁极化子零自旋分裂能,ER代表Rashba自旋-轨道分裂能,EZ代表Zeeman分裂能。

当磁场回旋共振频率分别取值为ωc=5和ωc=25时,图1、图2体现了磁极化子基态能量E与波矢k之间的函数关系。由图1、2可以看出,E随k增加呈抛物线性增加,比较k2和k对(9)式的贡献,从两图曲线的走向可知k2比k对E的贡献大。

图1 当ωc=5时,磁极化子基态能量E与波矢k之间的关系Fig.1 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the wave vector k for fixed ωc=5

图2 当ωc=25时,磁极化子基态能量E与波矢k之间的关系曲线Fig.2 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the wave vector k for fixed ωc=25

当ωc=5和ωc=25时,图3、4展示了E随阱宽R的变化。由图3、4可以看出,E是R的减函数,当R取值较小时,随着R的减小,E增加较显著。由于受限势限制电子的运动,电子的运动范围随着受限势的增大而减小,然而电子热运动能量和电子-声子相互作用能随着粒子运动范围的减小而增加。因此,E会随R的减小而增大。此现象进一步说明量子限制效应依赖于阱宽,也就是说阱宽越小量子限制效应越显著。

图3 当ωc=5时,磁极化子基态能量E与阱宽R之间的关系Fig.3 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the well width R for fixed ωc=5

图5展示了E随ωc的变化,可以看出E随ωc的增大呈抛物线性增加。因为电子波函数的极大值位于量子阱中,而波函数有很大的重叠,磁场越强波函数变得越局域,电子波函数的重叠积分增加,所以会有上述结论。

图5 磁极化子基态能量E与磁场回旋共振频率ωc之间的关系Fig.5 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the magnetic field resonance cyclotron frequency ωc

当ωc=5和ωc=25时,图6、7分别描绘了E与阱深V0之间的关系曲线。由图6、7可见,E是V0的减函数,这是由(9)式中的第三项决定的,V0对E的贡献为负。

由图1～7可以看出,磁极化子基态能量分裂成几支。由于电子既具有自旋磁矩又具有轨道磁矩,磁矩的方向和空间取向都是量子化的,因此在磁场下能级发生分裂,由磁场引起的能级分裂是Zeeman分裂。半导体中电子的自旋性质不仅与其自身的磁矩有关,还与其轨道运动有关。如果晶体的反演对称性被破坏,在不受外加磁场影响的情况下能量也会发生分裂。在窄禁带半导体中,Rashba分裂主要是由结构反演不对称引起的,自旋-轨道耦合引起的Rashba分裂更明显。由图1、图3和图6可以看出,当磁场较弱时,在能量分裂中Rashba效应占主导位置。然而,在强磁场下,由图2、图4和图7可知Zeeman效应在能量分裂中占主导位置。在图1和图2中,Rashba自旋-轨道分裂能距随着波矢的增加而增大,而Zeeman分裂能距随着波矢的增加基本保持不变。从表达式和知,Rashba自旋-轨道分裂不仅与波矢有关,而且还与磁场回旋共振频率有关,而Zeeman分裂只与磁场回旋共振频率有关。图3和图4体现出随着阱宽的增大能距变大,当阱宽达到某个值时,能距随着阱宽的增大变化不再明显,说明能量分裂达到了饱和态。

图4 当ωc=25时,磁极化子基态能量E与阱宽R之间的关系Fig.4 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the well width R for fixed ωc=25

图6 当ωc=5时,磁极化子基态能量E与阱深V0之间的关系Fig.6 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the well depth V0 for fixed ωc=5

由图5可见,当ωc=0时,Zeeman分裂是零,然而在零磁场下Rashba分裂依然存在,这是因为自旋-轨道耦合导致电子的零场分裂。当磁场回旋共振频率取较小值时,Rashba自旋-轨道分裂比Zeeman分裂明显,Rashba效应在分裂中占主导位置,随着磁场回旋共振频率的增大,Zeeman分裂能距增大较明显,而Rashba自旋轨道分裂能距基本保持不变。当Zeeman分裂能等于零场自旋分裂能时,自旋分裂能并不等于零场自旋分裂能,而是整个磁场中自旋分裂能的平均值。在强磁场作用下,电子自旋与轨道运动之间存在相互作用能,与外加磁场产生的附加能相比,自旋-轨道相互作用能可以忽略,Zeeman效应占主导地位。从图6和图7可以看出,随着阱深的变化Rashba自旋轨道分裂能距和Zeeman分裂能距都保持不变,从表达式和可知Rashba自旋轨道分裂和Zeeman分裂都与阱深无关,所以阱深对能量分裂没有影响。由(9)式的第四项可知声子对磁极化子能量的贡献为负,声子的存在降低了粒子的总能量,所以极化子态比裸电子态更稳定,极化子能量分裂也更稳定。

图7 当ωc=25时,磁极化子基态能量E与阱深V0之间的关系Fig.7 Relation of magnetopoloran ground state energy E with the well depth V0 for fixed ωc=25

3 结论

采用Pekar变分法[15]研究了非对称量子阱中磁极化子的性质,理论推导得到磁极化子基态能量的表达式,深入讨论了磁极化子基态能量与波矢、阱宽、磁场回旋共振频率、阱深之间的关系。通过研究得到以下结论:零场下Zeeman分裂是零,而Rashba自旋-轨道耦合作用导致极化子发生零场自旋分裂;在弱磁场下,Rashba效应在能量分裂中占据主导地位;在强磁场下,Zeeman效应在分裂中起主导作用。声子对极化子能量的贡献为负,声子的存在降低了粒子的总能量,所以极化子态比裸电子态更稳定,极化子能量分裂也更稳定。