谢开仲梁栋谢松茂魏勇

1.广西大学土木建筑工程学院，南宁 530004；2.广西大学防灾减灾与工程安全重点实验室，南宁530004

静力非线性（Nonlinear Static Procedure）分析方法即Pushover方法，是基于性能设计新结构或者评估现有结构的一种方法，在结构抗震性能研究中广泛应用。Pushover方法最初发展于建筑结构［1-3］，尤其是高层建筑，该方法给出了强震作用下结构的目标位移，一般为顶层位移，可以快速评估高层建筑的抗震性能，不必进行复杂的非线性时程分析。由于Pushover方法只对单一方向进行抗震分析，学者们对水平多向耦合地震进行了研究［4-5］。与非线性时程分析方法相比，Pushover方法原理简单、实施方便，因此逐渐应用到桥梁结构中［6-7］。桥梁结构的侧向性能比较复杂，Pushover方法主要应用于桥墩性能的研究［8-9］。一般假设地震反应由桥梁结构的一阶振型控制，但高阶振型的影响不可忽视［10-12］。考虑高阶振型的影响时，结果精度得到一定的提高。对于拱结构，Pushover方法的评价指标不再是桥墩，而是主要的承力结构-拱肋，其空间性能尤为复杂。对于拱结构的Pushover方法已有学者进行了研究［13-14］，主要集中在石拱桥和单拱结构以及钢管混凝土拱桥，劲性骨架拱桥则少有研究。文献［15-16］采用非线性时程分析方法分析了行波效应对劲性骨架拱桥的抗震性能，而Pushover方法的适用性有待研究。

本文基于Pushover方法的基本原理，根据劲性骨架拱桥的受力形式以及动力性能，对一座铁路上承式钢筋混凝土劲性骨架拱桥进行静力非线性分析，采用不同的加载方式构建结构的能力谱曲线，并根据地震波记录建立需求谱曲线，求解结构的性能点，并与非线性时程分析结果进行对比，评估不同震级下结构的损伤状态。

1 基于Pushover的拱桥抗震评估方法

1.1 基本假设

Pushover方法假定：①结构的反应由第一振型控制；②结构沿高度的变形可由形状向量｛φ｝表示，且在整个地震反应过程中变形形状保持不变。

1.2 基于目标位移的能力谱法

能力谱法主要基于多自由度体系的动力方程，将其转化为单自由度体系的动力方程进行求解。核心是通过将Pushover方法获得的结构基底剪力合力-特征点位移关系曲线转换成结构的能力谱曲线，在同一坐标系下绘出能力谱曲线与地震动需求谱曲线，以图解或数值解析的方式来求解交点，检验结构的抗震性能。Pushover方法主要是获取结构的能力谱曲线，分析时需要确定一个控制节点来描述结构的位移响应，可以选择结构最大位移反应的节点位置。对于拱桥控制节点可选择拱顶质心节点。

水平荷载分布模式应使所求的位移大致反映结构在地震作用下真实的位移响应，从而最大程度地反映结构的地震破坏机理。工程中应用较多的有荷载均匀分布、倒三角分布、抛物线分布、一阶振型分布、等效基本振型分布、振型组合分布等分布模式。本文采用均匀分布、倒三角分布、一阶振型分布的加载模式，计算式分别为

将Pushover方法得到的曲线转换成能力谱曲线，并按照等能量原理进行双线性化，见图1。其中，Ay为等效屈服谱加速度；Dy为等效屈服谱位移；Du为极限谱位移。

图1 能力谱的等效双线性化

对于多自由度体系可按下式转换，即

式中：A和D分别为谱加速度和谱位移为第i振型参与质量；un为荷载作用下所选控制点的位移为第i振型的参与系数；φni为第i振型控制点的位移。

1.3 结构性能点的确定

对于结构性能点可以采用强度折减法进行求解，即通过建立Ry-μ-T关系，将弹性反应谱折减为弹塑性反应谱，对结构的非线性地震响应进行求解。其中，Ry为强度折减系数，μ为结构的延性比；T为结构的自振周期。Ry可按下式计算。

式中：Fi为结构i节点的侧向荷载；n为节点总数；wi为第i节点结构的重量；Vb为基底剪力合力；hi为基底与第i节点位置间的距离；ψ1i为主振型在第i节点处的振幅。

根据结构的周期以及延性比，计算得到地震动下结构的非线性反应谱，即地震动需求谱。谱位移D和谱加速度A计算式分别为

式中：Ae为弹性设计反应谱在（T，ξ）处的拟加速度，ξ为体系的阻尼比。

具体求解时可以假设μ=1，求得D和A，然后增大μ，不断迭代求得一系列点。连接各点使其与能力谱相交，交点即为性能点，见图2。图中0.5、1、2、5、10 s为地震动需求谱的周期线。

图2 性能点求解图示

1.4 结构抗震性能评估

通过损伤指数（Damage Metrics，DM）来评价结构或者构件在地震作用下的损伤情况。采用位移作为损伤模型指标建立的损伤模型主要有四种：延性地震损伤模型、刚度退化地震损伤模型、累计滞回耗能地震损伤模型和双参数地震损伤模型。本文采用刚度退化地震损伤模型进行抗震性能评估，如图3所示。

图3 刚度退化地震损伤模型

该模型损伤指数ηDM按下式计算：

式中：Kr为性能点处的割线刚度，反应损伤积累后的退化刚度，Kr=Ap/Dp，Ap·为结构性能点对应的拟加速度，Dp为结构性能点对应的拟位移；K0为能力谱曲线的初始刚度，即弹性阶段的刚度，K0=Ay/Dy，Ay和Dy均由双线性化的能力谱曲线确定。

结构在遭受不同强度地震时发生的破坏情况有所差异，有必要确定具体的标准来判断结构的损伤情况，从而评估其损伤程度。根据钢筋混凝土框架结构震害等级与损伤指数的关系，确定劲性骨架拱桥损伤指数，见表1。

表1 劲性骨架拱桥震害等级与损伤指数的关系

2 工程实例

2.1 桥梁概况

一座客运高速铁路大桥设计方案为上承式钢管混凝土劲性骨架拱桥，主拱形式为提篮拱，计算跨径600 m，矢高150 m，拱脚宽40 m，拱顶宽16 m。主拱圈采用分离式双箱拱，拱脚处单个箱拱宽9 m，拱顶处单个箱拱宽6 m，两拱箱间设横向连接。弦杆钢管采用Q460钢，直径1 m，钢管厚32 mm，管内灌注C80自密实混凝土，外包混凝土采用C70混凝土。拱上共有9个立柱和2个过渡墩。上部结构为8×56 m的Ⅰ型钢结合梁+2×89 m T构。桥梁结构的三视图见图4。

图4 桥梁三视图（单位：m）

2.2 有限元模型

基于有限元软件ANSYS建立空间有限元模型，拱肋弦杆、腹杆、横联、横向联系、立柱、盖梁、主梁均采用考虑剪切变形的梁单元beam188模拟，其中弦杆采用复合材料截面模拟。外包混凝土采用shell181单元模拟，板单元与梁单元共节点，基座采用solid186单元模拟，二期恒载通过mass21单元添加。纵桥向为x轴，横桥向为y轴，竖桥向为z轴。全桥共节点1 835个，梁单元4 824个，板单元1 400个，实体单元26个、质点单元160个。拱脚与交界墩底部约束全部自由度，立柱基座底部与拱圈共节点，立柱与立柱基座耦合全部自由度，盖梁与立柱共节点，主梁与盖梁间耦合竖向和横向自由度。通过模态分析研究动力特性，采用子空间法提取振型。结构前六阶振型及对应频率见图5。

图5 结构前6阶振型及对应频率

由图5可知，桥梁的前六阶频率均较小且较接近，结构自振频率为0.271 Hz，自振周期较大。一阶振型属于主梁和主拱对称侧弯，表明结构的侧向刚度较小。由于大跨度拱桥宽跨比较小，极易发生侧倾失稳，特别是在地震发生时其横向振动是主导桥梁破坏的主要形式。二阶振型属于主梁与主拱反对称竖弯，表明竖向刚度比横向刚度大。前六阶振型有四阶振型表现为横向侧倾或横向弯扭组合，因此应更加关注大跨度拱桥横向稳定性。

2.3 基于Pushover的抗震分析

2.3.1 材料的本构关系

1）在分析劲性骨架混凝土拱桥的稳定性时，考虑钢管对核心混凝土的套箍作用。核心混凝土的本构关系可参考文献［17］的研究结果。

2）钢管视为理想弹塑性材料，采用双线性等向强化模型模拟。

3）普通混凝土采用多线性等向强化模型模拟。混凝土应力σc的计算式为当εc≤ε0时

式中：εc为混凝土应力；fc为混凝土强度设计值；ε0为混凝土峰值应变，取0.002；εcu为混凝土极限压应变，取0.003 3；n为系数，取2。

2.3.2 能力谱分析

由于桥梁结构的第一阶振型为横向振动，故只考虑横向一阶振型，计算桥梁的抗震性能。根据振型选择不同的加载方式，取位移最大的拱顶质心节点为位移控制节点，得到基底剪力-位移曲线以及能力谱曲线，见图6。

图6 基底剪力-位移曲线以及能力谱曲线

由图6（a）可知：①随着荷载的增加拱顶位移逐渐增大，结构逐渐从线性阶段到达弹塑性阶段。拱顶位移达到1.80 m时，桥梁结构逐渐从线性阶段进入屈服阶段，荷载-位移曲线表现为非线性。在拱顶位移达到6.0 m时基底剪力达到极值，而拱顶位移迅速增大，表现出大变形的特征，桥梁结构失去原有的稳定，逐渐破坏倒塌。②三种加载方式的基底剪力极值相差较大，一阶振型加载、倒三角加载、均布加载时基底剪力极值分别为4.0×105、6.2×105、7.9×105kN。③为模拟地震作用下真实的位移响应，采用振型和地震动惯性力作为不同的假设条件，得到的基底剪力及能力谱不同。因此对于大跨度拱桥应同时考虑结构的地震动惯性力和振型，不能直接以基底剪力作为地震评估的依据。

由图6（b）可知，三种加载方式得到的谱加速度不同，均布加载、倒三角加载、一阶振型加载的谱加速度逐渐减小。然而地震作用下的结构响应未知，仅依据能力谱曲线无法判断三种加载方式对大跨度拱桥抗震性能评估的优劣。

2.3.3 结构性能点的求解

地震波记录选取E1波次方向并调整至0.8g，其地震波记录以及拟合反应谱见图7。

图7 E1地震波记录及反应谱

根据式（6）、式（7）将图7（b）中的拟合反应谱进行转化得到图8。图中保留了部分地震需求谱，虚线表示迭代过程，a-b连线与双线性能力谱的交点即为结构性能点。可知，三种加载方式作用下结构性能点的谱位移（图8中性能点的横坐标）比较接近。

图8 结构性能点的求解

结构性能点计算结果见表2，其中基底剪力和拱顶位移，通过得到的性能点按式（4）进行计算。可知，三种加载方式下结构达到目标拱顶位移施加的基底剪力相差较大，均布加载为一阶振型加载时的两倍。一阶振型加载结构的基底剪力最小，为三种加载方式中最不利荷载分布形式。不同加载方式下结构的拱顶位移比较接近，误差在10.8%以内，地震作用下结构的峰值位移在3.2 m左右。

表2 结构性能点计算结果

为了验证能力谱结果的准确性，采用相同地震波对结构进行非线性时程分析，取反应最剧烈的前15 s，结构阻尼采用Rayleigh阻尼，采用质量参与系数较大的第一、四阶振型计算比例系数。计算结果对比见图9。可知，两种方法中结构的拱肋线形基本一致。①从拱脚至L/8截面，倒三角加载方式与时程分析的横向位移几乎重叠，一阶振型加载和均布加载与时程分析有所偏差，但仍在合理范围内。②从L/8截面至拱顶则是一阶振型加载与时程分析比较接近，均布加载和倒三角加载比时程分析的结果大10%左右。③对于拱肋的应力，在拱脚位置三种加载方式均与时程分析一致，拱肋其他位置如L/2、L/8截面，一阶振型与时程分析结果更接近，而均布加载和倒三角加载模式有较大的误差。④结构的应力突变位置和屈服位置可以用三种加载方式来评估。比如三种加载方式和时程分析结果显示在0、L/8、7L/8和L截面达到屈服。一阶振型加载方式与结构地震的反应更接近，评估结果更准确，验证了Pushover方法应用于大跨度劲性骨架拱桥抗震性能评估中的可行性。

图9 能力谱分析与时程分析结果对比

2.3.4 结构抗震性能评估

采用刚度退化地震损伤模型计算结构的损伤指数，对桥梁结果的地震损伤进行评估。性能点求解采用一阶振型加载方式，损伤评估结果见表3。

表3 不同地震强度损伤评估结果

由表3可知：结构的抗震能力较强，0.3g、0.4g地震作用下桥梁结构均基本完好；0.8g地震作用下桥梁发生了轻微破坏；1.6g、2.0g地震作用下发生中等破坏，主要承重结构进入弹塑性阶段，结构处于危险状态；4.0g时桥梁遭受严重破坏，危害较大。

3 结论

1）大跨度拱桥Pushover分析中，一阶振型加载方式的性能点求解更准确，倒三角加载次之，均布加载方式误差最大，但三种加载方式的偏差在10%以内。

2）Pushover分析与非线性时程分析的应力突变位置和屈服位置比较接近，验证了Pushover方法应用于大跨度劲性骨架拱桥抗震性能评估的可行性。

3）在8度、9度地震作用下结构基本完好，0.8g地震作用下结构发生轻微破坏，1.6g、2.0g地震作用下发生中等破坏，4.0g时遭受严重破坏。

本文研究结果表明，拱桥在地震作用下高阶振型的影响显著，纵向、竖向地震作用不可忽视，Pushover方法的应用有待进一步研究。