◇贾雪娟（江苏：南京市银龙花园学校）

数学学习的效果与教师提供的学习材料有着密切的关系，数学学习材料不单是现成的教材，更是教师站在学生的视角，通过研读理解教材，剖析数学知识间的内在关联、对数学知识进行整合的适合小学生数学学习的材料。它是实现数学学科本质与学习方式深度融合的载体。深度学习的课堂有一个很重要的因素就是历程，我们可以借力学材，让学生亲历学习过程，也让学习过程看得见。

一、呈现个性学习，让思维路径看得见

学生是课堂的主人，学习应该属于学生自己。但每个学生都是不同的个体，都有自己的学习特点，正如没有两片完全相同的树叶，天下也没有完全雷同的学生。怎样因材施教呈现他们的个性化学习呢？

案例1：在《认识100以内的数》的情境引入时，我拍摄了班级学生的座位图作为学习材料，让学生数一数教室里一共有多少人。

学生有的1 个1 个数，有的2 个2 个数，有的5个5个数，有的10个10个数，还有的多种方法一起数。最初的设计是呈现杂乱排列的23 根小棒，让学生用自己的方法数一数，但学生不感兴趣。为了进一步激发学生的兴趣，改为呈现杂乱摆放的23颗糖果，但学生基本上是一颗一颗数，因为糖果的摆放没有规律，一颗一颗数，学生觉得更简单。怎样让学生感受数数方法的多样性，特别是10 个10个数的方便性呢？我就想到了教室的座位，一大组正好有10 个人，而且座位的摆放规则，学生应该能想到很多种数法。果不其然，学生对这个问题非常感兴趣，个个开动脑筋，反馈时呈现出不同的数数方法。通过对比，学生也体会到10 个10 个数的便捷。这样有助于学生理解数的含义，为学习数的组成做好铺垫。

数学源于生活，用于生活，生活中的素材是宝贵的学习材料，经过合理的设计，学生可以借助生活中的学材呈现个性化的想法，也让自己的思维路径看得见。所以教师既要善于发掘儿童身边的“学材”，又要基于时代的特质，开发学材，为学生的学习服务，为数学教学服务。

二、多元表征，让概念形成过程看得见

数学学习领域，绝大多数的学习对象都可以用实物情境、教具模型、图形、图表、言语、书写符号这五种类型来表征。数学多元表征，可以多层次抽象数学概念，多视角归纳数学概念，多维度建构数学概念，让数学概念的形成过程看得见。

如何使用学材，让多元表征更有效呢？

（一）目标驱动，引领教材向学材转化

对于《认识100 以内的数》一课，各个版本的教材都运用了哪些学材？这些学材是如何作用于学生的？我对人教版、北师大版、苏教版这三个版本的教材进行了横向梳理，发现它们的相同点是：三个版本的教材都选取了小棒，因为小棒更能凸显数的层次性，更容易帮助学生借助操作看到“十进”，即“10 个一是1 个十”“10 个十是1 个百”。它们的不同点是：苏教版主要提供了计数器，计数器是学习和理解“位值”的很好学材，方便学生动手操作，尤其在学习多位数时，这个优势更为显著；北师大版提供了第纳斯木块，木块也凸显“十进”，虽然其结构与木棒相同，但是，第纳斯木块更能凸显数的结构，容易让学生头脑里形成一维、二维到三维的表象，也为后续大数的学习做好铺垫；人教版提供了下图这样的素材。

图片中的物品按每1 列有10 个或者每1 行有10个摆放，这样方便学生数数和理解数的组成。

还有10×10 的格子纸，如表示32（即3 行加2个），格子纸为学习百数表奠定基础，也是学习小数的一种重要工具。

生活中如果遇到数豆子、数珠子的问题，人们是怎样解决的呢？有一种数数的工具“数珠器”，如下图。它可以快速数出大量的珠子，具有实际应用价值。

但是，这些学材各自也有一些不足：小棒是10根打成一捆，不能让学生清楚地看出是10 个一；第纳斯木块更能凸显“形的直观”与“数”之间的关系，但学生动手操作麻烦；计数器半直观半抽象；格子纸涂色较慢；数珠器成本较高。教学中，我们可以尝试融合多样的学材，使表征多元化，但要避免华而不实，要让学习真正发生。

（二）优化学材，让数的概念逐步形成

学材具有多样性，也各有利弊，如何使用学材发挥它的优势，减少它的弊端呢？在传统学材的基础上，是否可以进一步优化学材？这些都是我们在教学中应该思考的问题。

案例2：在《认识100以内的数》教学中，最初给学生提供的学材有小棒、木块，让学生用喜欢的方式表示出23。有的学生摆木块，2竖条加3个，有的学生摆小棒，2 捆加3 根。再通过比较不同点与相同点，发现它们都表示2 个十，3 个一，这也是23 这个数的含义。学生借助小棒、木块，直观体会了数的含义，能不能在直观操作的基础上，丰盈学生的经验，让思维过程拾级而上呢？

我启发学生思考：除了小棒，我们还能借助其他学材去探索100 以内甚至更大的数吗？引出可以用圆片来代替小棒，1 个红圆片表示1 个一，10根小棒可以捆一捆，可是圆片不方便捆起来，又该怎么办呢？可以用1 个绿圆片表示1 个十，10 个绿圆片就是100，可以用1个蓝圆片表示1个百。2个绿圆片和3 个红圆片合起来就表示23。学生会发现这样的摆放和计数器很像，有助于学生理解计数器的原理，也为下节课深入研究计数器的学习做了铺垫。

课后我也进行了反思，用颜色区分“数值”比较抽象，为了更直观，可以用1个小圆片表示1个一，1个稍大点的圆片表示1个十，1个更大的圆片表示1个百。再摆出23，摆出的圆片有的大有的小，说明表示的数值不同。为了更简单地表示不同的数值，可以用颜色和大小都一样的圆片，但要标清楚每个圆片的数值，也就是数位，即计数器的原理。

了解学情后，你会发现学生是有能力更深入学习的，所以我们提供的学材要让学生的思维过程富有张力，从已有的经验生长出新的经验，推动学生的思维由浅入深不断进阶，让数的概念逐步形成。我们发现优化学习材料有利于培养学生的数学意识，增强学生的数学学习才能，更有利于学生的发展。

三、凸显数形结合，让概念内涵看得见

概括而言，小学数学教学研究的对象就是数和形。数与形的相互转化、结合既是数学的重要思想，也是一种很好的教学方法。以形助数，以数辅形，可以达到逻辑思维与形象思维的完美统一。

在认识数的教学中，我们让数的概念与小棒图、木块图、计数器图等图形有机结合，让学生对数的概念形成清晰的表象。在教学中，我们除了让学生摆一摆，还可以让学生试着画一画，提供画图的学习材料，让学生由直观思维向抽象思维进一步过渡。

在数学课上，我经常会让学生画一画数的组成、概念的含义、题中的信息、解题思路等。经过平时的画图练习，学生已经养成一种习惯，觉得学数学没有那么难，而且很有意思。画图是直观思维和抽象思维之间的桥梁，是学生学习能力的进一步提升。在课堂上给学生提供画图的机会，可以让概念内涵看得见。

四、注重脉络建构，让知识体系看得见

数学知识不是孤立存在的，它们之间有着密切的联系，每一个新知识点都是已有知识点的拓展和延续。在小学数学教学中，秉持这样的一种“关系”数学观，有助于“整体”教学，让学习方法得以同化和顺应，让知识体系看得见。

学生认识数是一个循序渐进的过程，从认识10以内的数到认识20以内的数到认识100以内的数到认识万以内的数再到认识多位数。认识数的方法也由具体向抽象过渡，最初是数生活中的实物，到数圆片、小棒，到计数器，再到算盘。数的方法也由1个1个数，提升到10个10个数、100 个100 个数、1000 个1000 个数……但是学习的方法是相通的，它们之间都是“十进制”，学生可以利用学材建立一个“十进制”数学模型，10 个几是1 个几，让学习资源结构化呈现。

小学阶段的数学建模不同于其他阶段，其主要目的并不是让学生自己建构新的模型，更重要的是让学生体验建模的过程，在教师的引导下自主探究相关问题，由具体到抽象、由个别到一般，形成模型。在形成模型的基础上再次应用模型，加深对模型的理解。学生从认识20 以内的数到认识亿以内的数就是这样的一个过程。所以，在教学中，教师要有建模意识，在这个过程中，学材就是拐杖，教师要充分发挥学材的作用。

案例3：除了利用学材建立数学模型可以让数结构化呈现，数轴也是能够让数结构化呈现的一种学材。在《认识11～20》这节课的教学中，我让学生在数轴上找到11～20 各数的位置。有的学生先找到11，然后一个一个地往后找；有的学生先找到20，再找15，在找数的位置过程中，对0～20 各数之间的关系有了更深的了解。

在认识更大一些的数时，可以继续延长数轴，在数轴上找到它们对应的位置。利用数轴可以将数有序地表示在一条有方向的线上。这对于整个数体系的建立具有重要的作用。

课堂中应关注学生思维的发展，以学生自主探索为主线，设计有效的数学学习活动，让学生的学习真正发生。学材凸显出学生学习的主体性，借助学材，可以设计多元的、有层次的活动，让学生自主探究，还给学生思维的空间，激发学生思维的动力，让学生的数学思维“活起来”。通过摆一摆、拨一拨、画一画、说一说、写一写等途径，调动学生多种感官参与学习，动态、直观、清晰、深刻地展现学生的思维，从而让学生的数学学习历程真正“看得见”。