张楷源，李圣雨，杨羽中，彭 柱，尹来容

(1.长沙理工大学 汽车与机械工程学院，湖南 长沙 410114; 2.衡阳泰豪通信车辆有限公司，湖南 衡阳 421099；3.湖南九宫格智能科技有限公司，湖南 长沙 410205)

0 引 言

受加工误差、工作磨损、机械设计间隙配合等客观因素的影响，间隙不可避免的存在于机械结构中，并为系统带来冲击、混沌、精度下降等负面效应。移动副是机械系统中最为常见的运动副，存在于其中的间隙不可忽略。移动副间隙最早由Wilson和Fawcett关注，由于柴油机活塞与气缸套内壁之间存在间隙，因此导致了振动与噪声问题[1]。Farahanchi和Shaw[2]研究了不同间隙尺寸、轴承摩擦、曲柄转速和冲击参数对系统周期响应的影响。Flores[3]提出了一种含移动副间隙刚体多体系统建模方法。Zhuang和Wang[4,5]给出了基于经典库仑摩擦定律的移动副多刚体系统动力学的LCP(线性互补法)及HLCP(水平线性互补法)建模及数值方法，将移动副几何约束视为双边约束，有效捕捉到了滑块低速运动时的粘-滑转变现象。Wang等[6]将移动副中的滑块视为柔性体，由于柔性滑块与导轨接触状态和摩擦情况比较复杂，因此采用有限元建立了柔性滑块的力学模型，给出含移动副间隙机械系统动力学方程的数值算法。Wu等[7]聚焦于空间移动副特有的滑块和导向表面之间的不完整面接触的情况，以简化曲柄压力机模型为研究对象，采用变刚度接触力模型计算面接触力。Qian等[8]建立了带间隙移动副的三维模型，根据滑道与滑块接触段尖端的矢量关系，提出了一种区分碰撞过程中两个元素之间位置关系的接触检测方法。

笔者采用数学方法描述含间隙移动副中滑块与导轨之间发生的碰撞、分离、连续接触等非线性行为，并结合仿真结果，预测含移动副间隙机构动力学行为，定性分析移动副间隙对机械系统动态特性的影响。对于机械设计、机械性能改善、机械装备开发等具有指导意义。

1 移动副间隙数学模型

图1为移动副间隙模型，H为导轨上下边界的垂直距离、W为滑块宽度、L为滑块长度、c为间隙尺寸，其大小为c=(H-W)/2。

图1 移动副间隙模型

由于移动副间隙会导致滑块与导轨之间发生接触碰撞，因此建立有效的接触检测模型是研究的关键。图2为接触检测模型，将移动副间隙分为滑块1和导轨2两部分，P为导轨上表面一端点，A、B、C、D为滑块四个角点，设定单位法向量n=[0,1]T，单位水平向量t=[1,0]T。由于导轨为水平放置，单位法向量垂直于导轨。以滑块角点A的接触检测为例，存在几何关系为：

图2 接触检测

(1)

假设导轨上距离A最近的点为潜在接触点A′，存在几何关系为：

(2)

其中：

(3)

当角点A发生侵彻时存在关系为：

nTδ<0

(4)

侵彻值大小可表示为：

(5)

点A速度vA可表示为：

(6)

点A法向速度即为侵彻速度，其表达式为：

(7)

点A切向速度vTA可表示为：

vTA=(tTvA)t

(8)

2 接触力模型

滑块与导轨之间存在多种接触形式，为提升所建立模型的精度，需针对不同接触形式，采用适合的法向接触力模型来衡量法向接触力。对于角接触，由于接触区域很小，在滑块拐角处可视为存在一个小圆角，因此可视为球面与平面的接触，采用考虑能量耗散效应的L-N接触力模型[9]：

(9)

(10)

(11)

对于面接触，如图3所示，由于接触区域为矩形且有效尺寸相对于接触物体尺寸及表面相对曲率较大，因此不满足赫兹接触假设前提条件[10]。文中采用变刚度弹性接触力模型，接触刚度与接触面积有关[7]。以滑块上表面为例，当发生面接触时，有如下关系：

图3 面接触矩形接触区域

(12)

S=4ab

(13)

2a=Ls

(14)

式中：S为接触矩形区域面积；a和b为接触区域矩形的宽与长的一半；Ls为滑块厚度。

面接触力计算公式为：

Fn=Kδ

(15)

广义接触刚度K与接触面尺寸的变化相关，可由下式表示：

(16)

摩擦力作为一种复杂的作用力对系统的动态响应产生显著影响，选择合理的摩擦力模型至关重要。为充分考虑相对运动速度较低时摩擦力的高度非线性特点，采用Peter Brown提出的粘滞-滑移转变的连续摩擦力模型[11]，图4为其特性曲线，它的表达式如下：

图4 考虑粘-滑转变的连续摩擦力模型

(17)

式中：Ft为切向摩擦力；vr=‖vT‖/vt，vT为相对运动速度，vt是过渡速度，表示由粘滞阶段向滑移阶段开始转变的速度；μd和μs分别为动摩擦系数和静摩擦系数。

3 含移动副间隙曲柄滑块机构多体动力学建模

图5为含移动副间隙的曲柄滑块机构，曲柄长度L1=0.05 m、质量m1=0.3 kg、转动惯量J1=0.000 1 kg·m2；连杆长度L2=0.12 m，质量m2=0.21 kg，转动惯量J2=0.000 25 kg·m2；滑块长度L=0.05 m、滑块宽度W=0.05 m、滑块厚度Ls=0.05 m、质量m3=0.14 kg、转动惯量J3=0.000 1 kg·m2；恢复系数e=0.9、弹性模量Ek=207 GPa、泊松比vk=0.3。

图5 含移动副间隙曲柄滑块机

平面多体系统独立位置约束方程组形式为：

φ(q,t)=0

(18)

式中：t是显式时间变量，方程组的数量等于系统中存在的独立约束的个数。

上述方程组对时间求一阶导，可得系统速度约束方程为：

(19)

上述方程组对时间继续求导得到系统加速度约束方程为：

(20)

根据第一类拉格朗日方程可得到表达式为：

(21)

式中：M为广义质量矩阵；λ为拉格朗日乘子数组；Q为外力数组。

通过联立式(19)、(20)，得到多体动力学增广方程式为：

(22)

4 仿真分析与结果讨论

采用MATLAB内置的ode45变步长积分算法求解系统微分方程组，可以在保证精度的同时有效避免因步长过小而导致积分效率低的问题。

为探究间隙尺寸对含移动副间隙曲柄滑块系统的影响，分别对不同间隙尺寸的系统进行仿真，曲柄输入速度均为500 r/min，选取同一时间区间数据绘制曲线图。如图6所示，随着间隙尺寸逐渐减小，滑块质心加速度曲线波动峰值逐渐减小，这说明间隙尺寸的减小会显著降低滑块碰撞接触力的大小，因为较小的间隙可以限制驱动力或外力对滑块非理想运动方向做功，从而限制了滑块在碰撞方向获得动能的能力。通过进一步观察发现，随着间隙尺寸的减小，滑块质心加速度曲线由碰撞导致的波动由大幅值低频率向小幅值高频率转变，这说明较小的间隙尺寸会导致高频率的微小碰撞，据此可以推断小尺寸间隙有助于增加滑块与导轨的接触频率。

图6 不同间隙尺寸滑块质心X方向加速度曲线

衡量系统动态行为的一个重要指标是系统运动的周期性，图7展示了不同间隙尺寸下滑块质心Poincaré图，包含了系统稳定后的三个连续驱动周期。通过观察发现随着间隙尺寸减小，局部峰值发生位置随驱动周期由分散转变为聚集直到重叠，这说明在驱动速度等其他参数不变的前提下系统响应随间隙尺寸减小而逐渐呈现周期性。

图7 不同间隙尺寸滑块质心Poincaré图

驱动速度作为系统的关键要素对系统性能产生不可忽视的影响，为探究驱动速度与系统运动特性的关系，分别在曲柄处施加不同大小的匀速驱动，截取并记录系统在稳定运行后的两个周期，图8展示了曲柄不同转速下滑块质心X方向加速度曲线。加速度局部峰值随转速降低而减小，而峰值发生频率随转速降低而增加，这说明当曲柄转速降低时，滑块处发生的非线性行为由剧烈而稀疏的碰撞转变为微小而密集接触。进一步观察，发现当驱动速度为低速时(100 r/min)，加速度曲线中波动方向始终与滑块运动方向相反，这说明滑块在低速运动时受重力作用只与导轨下表面发生接触，摩擦力成为影响系统运动特性的主要因素。图9为曲柄不同转速下滑块质心Poincaré对比图。

图8 不同驱动速度滑块质心X方向加速度曲线

图9 不同驱动速度滑块质心Poincaré图

通过观察发现曲柄转速在1 500 r/min、1 000 r/min、500 r/min三种状况下局部峰值散布程度并没有较为明显区别，当曲柄转速为100 r/min时，局部峰值的出现呈现明显的均匀散步，并且三个驱动周期峰值发生位置具有重叠的趋势。这说明系统低驱动转速下更趋向于周期性响应。

5 结 论

文中建立了移动副间隙的数学模型，针对不同接触形式采用合理的接触力模型描述滑块与导轨间的接触行为。将所建立的间隙模型引入曲柄滑块机构多体动力学模型中，并开展了仿真分析，结论如下。

(1) 文中所建立的间隙模型是有效的，能够准确捕捉含间隙系统的复杂的动力学行为。

(2) 较小的间隙尺寸有助于减轻系统的混沌程度，缓解冲击的剧烈程度，但间隙尺寸过小将导致高频振荡。驱动速度对于滑块与导轨间的接触行为产生显著影响，较低的驱动速度有助于获得周期性响应。

(3) 在工程实际中需要充分考虑移动副间隙的影响，可以通过合理限制间隙尺寸与驱动速度来改善含间隙机械系统动态特性。