刘红岩

(1.中国地质大学（北京） 工程技术学院，北京，100083；2.自然资源部深部地质钻探技术重点实验室，北京，100083)

近年来，我国西部乃至世界范围内的山区地质灾害频发，其中崩塌落石灾害在所有地质灾害中的占比高达17%，已成为继滑坡之后的第二大地质灾害[1-2]。崩塌落石具有发生突然、可预见性差、速度快、能量高、破坏范围广、运动路线复杂及监测预警困难等特点，因而对公路、铁路等基础设施造成了严重威胁。近年来，在强震区如2008年汶川震区和2013年芦山震区出现的一些强震诱发的高位危岩崩塌落石现象，学者提出了一种新型的被动拦石方案，即在抗滑桩板结构基础上增加缓冲层而成的复式结构，其具有占地小、拦截性能好和易于施工等优点，对于防护高冲击能量的落石具有突出优点，在实际应用中取得了良好效果[3-4]。

由于该拦石结构出现时间相对较短，因此对其开展的研究也较少，目前主要针对其他类似的墙体防护结构在试验、理论研究和数值模拟等3个方面开展研究。

1)在试验研究方面。HEARN 等[5]开展了加筋防护挡墙的落石冲击试验，发现加筋防护挡墙可以有效拦截落石，但是由于试验时落石的冲击动能达到1 410 kJ，挡墙正面出现了0.3～0.8 m 的凸出变形；PEILA等[6]也开展了大比例加筋土拦石墙结构模型的抗冲击性能现场试验，所采用的落石为质量达9 000 kg的混凝土块，以30 m/s的速度冲击墙体，发现虽然落石冲击会造成墙体产生一定的变形，但其仍是一种有效的落石冲击防护结构；YONG等[7]基于位移模型提出了悬臂式钢筋混凝土挡墙在落石冲击下的挠度解析解模型，采用大尺度的卵石冲击模型试验，测试钢筋混凝土挡墙的动态响应，从而验证了模型的合理性。

2)在理论研究方面。目前落石对钢筋混凝土结构的冲击力计算主要是基于Hertz接触理论，但是该理论是以弹性力学为基础，而在落石冲击下钢筋混凝土结构通常会出现塑性特性。为此，何思明等[8]视构筑物为理想弹塑性体，对Hertz 接触理论进行了修正，提出了考虑材料弹塑性变形的泥石流大块石冲击力计算公式；陈颖骐等[9]基于Hertz 弹性碰撞理论和Thornton 弹塑性假设，考虑构造物材料特性、冲击物相对尺寸和结构变位等因素，建立了落石对构造物的冲击力修正方程，并将其应用于锚索抗滑桩的冲击计算。不少学者综合考虑Hertz接触理论与钢筋混凝土结构的力学性质，提出了落石冲击下钢筋混凝土结构动力响应计算方法，如OLSSON 等[10-11]基于Hertz 接触理论和各向异性复合板的冲击压痕理论，建立了小质量冲击下各向异性复合板动态响应计算模型；ZHENG 等[12]考虑冲击作用下层状复合板的塑性变形及损伤效应，基于Hertz接触理论和冲击作用下板的永久压痕理论，建立了相应的冲击力计算公式；王东坡等[13]在此基础上，研究了落石冲击下钢筋混凝土板的弹塑性动力响应。

3)在数值模拟方面。胡卸文等[3]采用ABAQUS 软件模拟了落石冲击下桩板拦石墙的动力响应，得到桩板拦石墙的动力响应全过程，即弹性压入阶段、塑性压入阶段和卸荷回弹阶段，这与弹塑性理论分析结果吻合；YAN 等[14]采用ANSYS/LS-DYNA 软件模拟研究了椭圆形落石冲击下钢筋混凝土板的动态响应，认为落石形状和冲击角度影响到钢筋混凝土板受到的冲击力及动态响应；邓力源等[15]采用ANSYS/LS-DYNA 软件模拟了落石冲击下废旧轮胎的耗能性，认为废旧轮胎吸能作用明显，可以有效减缓落石对刚性拦石墙的冲击作用，进而提高其防护能力。ZHONG等[16]通过试验及数值模拟研究了上覆缓冲层的钢筋混凝土板在不同能级落石冲击下的混凝土板动态损伤，发现混凝土抗压强度对其损伤程度影响最大，而钢筋屈服强度的影响最小。

前人研究仍存在以下2个不足：

1)落石冲击下钢筋混凝土桩板墙的动态响应是一个明显的动力学过程，可分为3个阶段，即碰撞初期的弹性压缩阶段、墙体应力达到其极限屈服强度后的塑性变形阶段以及墙体达到其最大压缩变形后的弹性回弹阶段。尽管ZHENG等[12-13]的研究也是根据上述3个阶段进行的，但是在第2阶段即塑性变形阶段，他们均认为墙体弹性模量不变，这不符合实际情况。在塑性变形阶段，墙体弹性模量随着塑性变形增加而不断降低，这是因为材料的塑性变形过程，即为损伤过程，材料弹性模量也必然会随着塑性变形增加而逐渐降低。

2)前人研究多给出了钢筋混凝土桩板墙受到的冲击力随时间的变化曲线[7,12-15]，未给出冲击力随墙体变形的关系曲线，因而无法获得落石冲击下墙体的永久变形。

上述2个方面不足对桩板拦石墙的工程设计及运行期间的安全评估都会产生不利影响，如弹性模量降低将导致落石冲击力计算产生较大误差，同时忽略落石冲击对墙体造成的永久变形也将导致后期过高估计墙体的安全性，增大工程隐患。

为此，首先，考虑落石冲击对钢筋混凝土桩板墙造成的损伤，提出考虑损伤的Hertz 接触理论；其次，根据落石冲击下钢筋混凝土桩板墙的动态响应过程，提出落石冲击下钢筋混凝土桩板墙的动态损伤模型，并探讨模型参数确定方法；最后，通过算例研究模型的应用及其合理性。

1 Hertz弹性接触理论及其改进

Hertz接触问题如图1所示，假设2个球体的接触面为圆，Hertz 给出了在接触压应力p(r)的弹性完备解[17]。

接触压应力分布为

式中：p(r)为接触压应力；p为接触压力；a为接触圆的半径；r为垂直轴。最大接触压应力pmax位于r=0处

接触变形δ由2个部分组成：

式中：δ1和δ2分别为接触体1和接触体2的变形量。

接触变形量δ与接触面积之间有如下关系：

式中：R为等效半径，R1和R2分别为接触体1和接触体2的半径。

接触压力p、最大接触压应力pmax与接触变形δ之间的关系为

式中：E为等效弹性模量，E1和μ1分别为接触体1的弹性模量和泊松比，E2和μ2分别为接触体2的弹性模量和泊松比。

上述Hertz 接触理论仅适用于材料处于弹性变形阶段，而在实际工程中由其计算出的接触力往往偏大，这是因为当接触压应力达到材料屈服强度时，材料将产生塑性变形，此时经典的Hertz接触理论将不再适用。为此不少学者对其进行了改进，目前主要有2 类改进模型：Hertz 塑性接触理论和损伤接触理论。

Hertz 塑性接触理论认为当接触应力达到材料的屈服强度时，材料将发生塑性变形，如何思明等[8,18-19]提出了基于理想弹塑性模型的Hertz 塑性接触理论，由此计算得到的冲击力明显小于由经典Hertz接触理论计算得到的冲击力，也更加符合实际情况。然而，随着损伤力学发展，不少学者也开始将其引入Hertz 接触理论，如TRAVARES等[20-21]以Hertz 接触理论和连续介质损伤理论为基础，根据球形颗粒在冲击荷载下的荷载-变形响应特性构建了相应的冲击损伤理论模型：

式中：d为球形颗粒直径；为有效刚度；D为球形颗粒的冲击损伤变量；K为初始刚度。将冲击损伤变量D定义为

式中：δc为球形颗粒发生冲击破坏时的压缩变形量，当δ=δc时，D=1；γ为冲击损伤指数。

由式(8)可知，球形颗粒的任何冲击接触变形都会导致损伤，然而根据Hertz接触理论和室内压痕试验可知：当球形颗粒接触变形量δ小于初始屈服变形量δy时，颗粒物质处于完全弹性接触状态，没有损伤产生，此时D=0。显然，式(8)无法描述颗粒处于完全弹性接触状态时的情形，这是该模型的缺陷。

由于自然界中的岩石和混凝土都是天然的损伤材料，其本身存在着大量微裂纹和微孔隙等细观缺陷，因此，颗粒之间的碰撞将不可避免地会导致微裂纹的萌生、扩展及汇聚，进而导致颗粒宏观物理力学性质的劣化，具体表现为颗粒弹性模量降低，直至最后发生破坏。因此可以用弹性模量的降低来定义损伤变量。

典型的颗粒碰撞荷载-接触变形曲线可分为4个阶段：初始碰撞阶段、弹性碰撞阶段、塑性损伤碰撞阶段和卸荷回弹阶段。

1)由于第1阶段较短，通常忽略。

2)在弹性接触阶段，颗粒之间的荷载-接触变形符合Hertz弹性接触理论，颗粒接触变形属于弹性变形，不会产生损伤。

3)当接触压力超过颗粒的初始屈服压力时，压力-接触变形曲线开始偏离Hertz 弹性接触理论曲线，颗粒材料开始出现损伤，即进入塑性损伤碰撞阶段。

4)当达到碰撞压力峰值即最大压缩变形量之后，就开始进入弹性卸荷回弹阶段，在此阶段变形为弹性，损伤保持不变。由此可将颗粒的损伤变量D定义为

其中：和E*分别为颗粒的有效弹性模量和初始弹性模量；δy、δm和δc分别为颗粒发生初始屈服时所对应的接触变形量、颗粒碰撞过程中的最大接触变形量及颗粒发生完全破坏(即D=1)时对应的变形量，三者之间应满足δy＜δm≤δc。

由此可得到考虑材料损伤的接触压力、最大接触压应力与接触变形之间的关系为

2 落石冲击下的钢筋混凝土桩板墙的动力响应

2.1 落石对钢筋混凝土桩板墙的冲击力

假设落石为以速度v0运动的质点，而钢筋混凝土桩板墙为静止的平面，建立如图2所示计算模型。

首先，可将冲击速度沿水平和垂直方向分解：

式中：v0，vx和vy分别为落石接触到钢筋混凝土桩板墙瞬时的总冲击速度、水平冲击速度和垂直冲击速度；θ为冲击角度。

由于对钢筋混凝土桩板墙造成冲击破坏的主要是水平冲击，因此这里仅考虑落石的水平冲击作用。根据牛顿第二定律，则有[8]

式中：m1和m2分别为钢筋混凝土桩板墙和落石的质量；v1为钢筋混凝土桩板墙的运动速度；Pr为落石对钢筋混凝土桩板墙的冲击力。

由式(12)可得

那么由式(5)和(13)可得

式中：m为等效质量，

对δ积分，可得

把式(16)代入式(5)即可求出落石产生的最大冲击力pr,max

由式(2)、(5)、(16)和(17)可得相应的最大落石冲击压力pr,max为

由第1节可知，当考虑由于冲击碰撞导致的材料损伤时，将式(9)代入式(17)，即可得到考虑损伤的落石最大冲击力pr,max为

2.2 钢筋混凝土桩板墙的动态响应

工程实践表明，落石冲击力将会对钢筋混凝土桩板墙造成一定损伤破坏。为此，采用考虑损伤的Hertz接触理论将更符合实际情况。

钢筋混凝土桩板墙在落石冲击下的冲击力-变形关系曲线可分为3个阶段[12-13]

1)阶段I：碰撞初期的弹性加载阶段。

在碰撞初期，由于落石对钢筋混凝土桩板墙的冲击力较小，相应地墙体的变形也较小，因此墙体仍处于弹性变形状态，二者之间的接触力满足弹性Hertz接触理论，即

2)阶段Ⅱ：混凝土桩板墙的塑性损伤加载阶段。

随着冲击过程，接触冲击力及墙体变形均不断增加，当接触冲击力超过墙体的屈服强度时，将会导致其产生塑性变形，出现损伤，此时接触冲击力应满足考虑损伤的Hertz接触理论，即

3)阶段Ⅲ：卸载阶段。

当钢筋混凝土桩板墙达到压缩最大变形时，落石冲击速度减小为0，墙体积累的弹性变形能将发生回弹释放。在此阶段，墙体不会产生新损伤，而已有的损伤也不会恢复，因此，此阶段的墙体弹性模量为其产生峰值变形时的弹性模量，其接触冲击力与变形的关系为

式中：Dm为与钢筋混凝土桩板墙卸载前最大变形值δm所对应的损伤。

当卸荷完成后，接触应力应为零，此时可求出对应的墙体残余变形量δ0，即为落石冲击对钢筋混凝土桩板墙造成的塑性变形。

2.3 模型中待定常数确定方法

由式(20)～(22)可知，分析钢筋混凝土桩板墙在落石冲击下的动力响应时，必须确定待定常数δy和δm。

1)δy确定方法

钢筋混凝土桩板墙初始屈服时的变形δy所对应的应力为其初始屈服强度σpy，这可以通过材料力学试验测得。VU 等[22-23]以Hertz 接触理论为基础，认为当材料满足Von Mises 屈服准则时，落石对钢筋混凝土桩板墙的接触力py与其屈服强度σpy之间满足

式中：E0和μ0分别为材料的弹性模量和泊松比；Ay为与泊松比μ0有关的材料常数，当μ0为0.3 和0.4时，Ay分别为1.61和1.74。

由于材料的初始屈服点为弹性段和塑性损伤段的交界点，因此，其同时属于弹性段和塑性损伤段，所以其应同时满足式(5)中的第2 式和式(23)，若已知材料的屈服强度σpy，即可求出此时对应的变形量δy。

2)δm确定方法

钢筋混凝土桩板墙的最大冲击力和最大冲击变形同时出现，因此由式(19)和(21)可得

由此可得一个关于δm的方程(其中δc为材料发生完全破坏时的冲击变形量，可以通过试验测得)，通过迭代求解该方程即可得到δm。

3 算例分析

落石冲击钢筋混凝土桩板墙计算模型如图2所示。落石计算参数如下：形状为球形，半径为1.0 m，密度为2 500 kg/m3，弹性模量为20 GPa，泊松比为0.2，v0为5 m/s，θ为30°。取2 个相邻桩体间的钢筋混凝土桩板墙为一个独立的研究对象，其计算参数如下：形状为长方体，长×宽×高为3.0 m×3.0 m×0.3 m，弹性模量为10 GPa，泊松比为0.3，密度为2 600 kg/m3，屈服强度σpy为150 MPa，δc=30 mm，γ=4。

3.1 计算流程

1)阶段I：碰撞初期的弹性加载阶段。

首先，由式(5)及(23)和上述计算参数，可得δy=2.43 mm，对应的最大弹性冲击力为1.15 MN，即钢筋混凝土桩板墙在落石冲击下的变形由0 mm增加到2.43 mm 时，对应的接触冲击力相应地由0 MN线性增加到1.15 MN。

2)阶段Ⅱ：碰撞中期的塑性损伤加载阶段。

根据式(19)，(21)和(24)求得钢筋混凝土桩板墙的冲击变形最大值δm=7.91 mm。在δy～δm之间取若干值，然后代入式(21)即可求得接触冲击力p(δ)，然后利用这些点即可绘制得到混凝土桩板墙的塑性损伤加载曲线。

3)阶段Ⅲ：碰撞后期的弹性卸载阶段。

首先，由钢筋混凝土桩板墙的冲击变形最大值δm=7.91 mm，可求得对应的最大损伤Dm=0.001 56。代入式(22)，另设接触冲击力p(δ)=0，可求得对应的永久变形量δ0=3.15 mm。在δm～δ0之间取若干值，利用式(22)可求得相应的接触冲击力p(δ)，然后利用这些点即可绘制得到钢筋混凝土桩板墙的弹性卸载曲线。

3.2 计算结果

落石与钢筋混凝土桩板墙的冲击力、损伤与变形的关系曲线如图3所示，由图3可见：冲击力-变形曲线可分为3段：弹性加载阶段、塑性损伤加载阶段和弹性卸载阶段。在弹性加载阶段，钢筋混凝土桩板墙发生弹性变形，落石对钢筋混凝土桩板墙的冲击力与钢筋混凝土桩板墙的变形满足线性关系；当冲击力增大到钢筋混凝土桩板墙的屈服强度时，钢筋混凝土桩板墙开始进入塑性损伤变形阶段。从曲线斜率上来看，塑性损伤加载阶段的斜率大于弹性加载阶段的斜率，这是由于钢筋混凝土在进入塑性后，会出现一个塑性强化阶段。在达到峰值冲击力之后，落石冲击速度减小为零，而后钢筋混凝土桩板墙开始发生卸荷回弹，钢筋混凝土桩板墙的弹性变形开始恢复，落石冲击力与总变形量均逐渐减小。当落石冲击力减小为零时，对应的变形量即为钢筋混凝土桩板墙的永久变形量(残余的塑性变形量)。

由损伤-变形曲线可以看出，在该算例中仅在阶段Ⅱ有损伤产生，且最大损伤变量仅为0.001 5，即损伤较小，因此，可以看出阶段Ⅱ的曲线也近似线性关系。另外需要说明的是，由式(9)的损伤变量定义看出，损伤变量与δc和γ密切相关，因此，钢筋混凝土桩板墙损伤演化规律的精确描述在很大程度上依赖于这2个损伤常数的准确测定。

4 参数敏感性分析

落石冲击下钢筋混凝土桩板墙的动态响应不仅与其本身的物理力学性质有关，而且还在很大程度上受落石参数的影响。为此，采用参数敏感性分析研究落石及钢筋混凝土计算参数对结果的影响。

4.1 落石速度

取落石速度分别为2，3，4 和5 m/s，其余参数均不变，钢筋混凝土板桩墙的冲击力-变形曲线如图4所示。由图4可见：

1)随着落石冲击速度增加，钢筋混凝土桩板墙产生的最大冲击变形则由3.17 mm 逐渐增加到7.91 mm，相应地最大冲击力也由1.67 MN 逐渐增加到5.03 MN，这说明落石冲击速度越大，其对钢筋混凝土桩板墙造成的冲击力就越大，相应地产生的最大冲击变形也就越大。

2)随着落石冲击速度增加，钢筋混凝土桩板墙的残余变形则由0.25 mm 逐渐增加到3.15 mm，即残余变形也越来越大，这说明落石冲击速度越大，钢筋混凝土桩板墙的塑性变形就越显著，即对其造成的总体损伤就越严重。

3)落石冲击速度并未改变曲线的线性段，这是因为线性段是由材料的屈服强度和Hertz弹性接触理论共同决定，不受落石冲击速度的影响。

4.2 落石半径

取落石半径分别为0.25，0.50，0.75和1.00 m，相应的落石质量分别为163.5，1 308.3，4 415.6 和10 466.7 kg，其余参数均不变，钢筋混凝土板桩墙的冲击力-变形曲线如图5所示。由图5可见：

1)随着落石半径增加，其质量也相应增加，进而导致其对钢筋混凝土桩板墙产生的最大冲击变形也由3.22 mm 逐渐增加到7.91 mm，相应地最大冲击力也由0.54 MN逐渐增加到5.03 MN，这说明落石半径越大，其对钢筋混凝土桩板墙造成的冲击力就越大，相应地产生的最大冲击变形也就越大。

2)随着落石半径增加，钢筋混凝土桩板墙的残余变形则由1.71 mm 逐渐增加到3.15 mm，即残余变形量总体上增加，但是当落石半径增加到一定程度后，就出现了反常，如落石半径为0.75 m时的残余变形量反而大于落石半径为1.00 m 时的残余变形量，这说明随着落石质量增加，落石对钢筋混凝土桩板墙的冲击损伤也将越来越严重，而这里假定钢筋混凝土桩板墙的损伤演化规律，即式(9)中的δc和γ这2个损伤参数不变，因此，带来一定误差。

4.3 钢筋混凝土桩板墙的损伤参数

在本文的损伤模型中，主要有δc和γ这2 个损伤参数，它们对计算结果的影响如图6所示，由图6可见：

1)随着δc增加，钢筋混凝土桩板墙的冲击力-变形曲线有一定的变化，但是其变化幅度较小，即当δc由15 mm 逐渐增加到30 mm 时，钢筋混凝土桩板墙产生的最大冲击变形也仅由8.06 mm 逐渐降低到7.89 mm，相应地最大冲击力也仅由4.947 MN 逐渐增加到5.024 MN；同时钢筋混凝土桩板墙的残余变形也仅由3.24 mm 分别降低到3.10 mm，这说明δc增加对钢筋混凝土桩板墙造成的冲击响应的影响较小，几乎可以忽略不计，另外，这4条曲线也基本重合，这说明δc对计算结果的影响不大。

2)随着γ增加，钢筋混凝土桩板墙的冲击力-变形曲线的变化幅度迅速降低，即当γ由1 逐渐增加到4时，钢筋混凝土桩板墙产生的最大冲击变形也由9.18 mm 逐渐降低到7.89 mm，相应地最大冲击力也由4.494 MN 逐渐增加到5.024 MN；钢 筋混凝土桩板墙的残余变形也由4.05 mm降低到3.10 mm，这说明γ增加对钢筋混凝土桩板墙造成的冲击响应的影响先迅速增加，而后增加幅度迅速降低。

由图6(b)也可以看出，当γ由1增加到2时，变化幅度最为显著，而后变化幅度则迅速减小。这是由于γ为损伤指数。而由式(9)可知，损伤变量函数的底数小于1，因为在本算例中损伤底数很小，当γ=1时，损伤相对较大，因此对应的钢筋混凝土损伤也较大，曲线塑性段的斜率明显减小，残余变形也最大。而随着γ增加，损伤的变化就相对较小，当γ为2，3 和4 时，对应的3 条曲线相差不大，基本重合。

对比δc和γ2 个损伤参数对计算结果的影响可以发现，γ对计算结果的影响更为显著，尤其是当γ＜2时。因此，在钢筋混凝土损伤试验中更应准确获得γ值。

5 结论

1)在弹性Hertz接触理论的基础上，考虑由碰撞引起的材料损伤，提出了考虑材料损伤的Hertz接触理论。

2)基于冲量定理推导了落石冲击钢筋混凝土桩板墙的最大冲击力计算公式，考虑由于冲击碰撞导致的材料损伤，建立了考虑材料损伤的落石最大冲击力计算方法。

3)将落石冲击下钢筋混凝土桩板墙的动态响应分为3个阶段：弹性加载阶段、塑性损伤加载阶段和弹性卸载阶段。冲击速度与落石半径对钢筋混凝土桩板墙的动态力学响应影响较大，而钢筋混凝土桩板墙的损伤参数对计算结果影响较小，但是当γ较小时，其影响较显著。

4)由本方法计算得到的落石冲击力将更符合实际情况，同时还可以获得落石冲击对钢筋混凝土桩板墙造成的损伤及永久变形。