刘建，乔兰，李庆文，赵国彦

(1.北京科技大学土木与资源工程学院，北京，100083；2.中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙，410083)

岩石内部包含大量的节理、裂隙和孔洞等缺陷。在外部载荷作用下，这些缺陷的扩展及贯通是岩体工程失稳的主要内因。相对于纯I型断裂和纯II型断裂，岩石类脆性材料经常发生I/II复合型断裂。为预测复合型裂纹的起裂方向及扩展条件，国内外学者从不同角度建立了相应的断裂准则。其中，三大经典的断裂准则包括最大周向应力(the maximum tangential stress，MTS)准则[1]、最小应变能密度因子(the minimum strain energy density，SED)准则[2]和最大能量释放率(the maximum energy release rate，MERR)准则[3]。此外，KAUNG[4]又提出基于应变的最大周向应变(maximum tangential strain，MTSN)准则。但是，上述传统断裂准则的预测结果与岩石类脆性及准脆性材料的断裂试验结果存在较大偏差，这是由于传统断裂准则仅考虑Williams应力展开式中的奇异项，忽略常数项及O(r1/2)高阶项[5-8]。大量研究表明，裂纹尖端应力场展开式中的常数项(T应力)对裂纹的扩展同样具有重要影响，这与临界裂纹(又称为断裂过程区，即fracture process zone，简称FPZ)的尺寸Rc有关，Rc越大，非奇异应力项的影响也就越大[9-10]。岩石类材料的临界裂纹尺寸相对于其他材料而言更大，例如Harsin大理岩的Rc为3.00 mm[11]，福建花岗岩的Rc为1.54 mm[12]，集宁锈岩的Rc为3.20 mm[13]，而普通钠钙玻璃的Rc为0.23 mm[14]，有机玻璃(PMMA)材料的Rc小于0.10 mm[15]，因此，有必要考虑T应力对裂纹扩展的影响。此外，经典的最大周向应力准则及最大能量释放率准则认为材料破裂与材料参数(泊松比)无关，且与平面问题的平面应力及平面应变条件无关[9]。

为此，SMITH 等[16]提出了考虑T应力的广义最大周向应力(generalized maximum tangential stress，GMTS)准则，ALIHA 等[11-14]依托大量准脆性材料的I/II复合型断裂试验数据验证了该准则的有效性；AYATOLLAHI 等[15]及MOGHADDAM等[17]分别提出了考虑T应力的广义最小应变能密度因子(generalized strain energy density，GSED)准则和广义平均最小应变能密度因子(generalized averaged strain energy density，GASED) 准则；MIRSAYAR 等[18]提出了扩展的最大周向应变(extended maximum tangential strain，EMTSN)准则；HOU 等[19]提出了考虑T应力的广义最大能量释放率(generalized maximum energy release rate，GMERR)准则并对其有效性进行了验证。KOO等[20]提出了最大切向应变能密度因子(maximum tangential strain energy density，MTSED)准则，该准则假定当裂纹尖端某一方向的最大切向应变能密度达到临界值时，裂纹开始沿该方向扩展。近来，AYATOLLAHI 等[21]提出了针对I/II/III 复合型裂纹的MTSED 准则，但其仍未考虑T应力的影响。

本文首先推导了考虑T应力的I/II 型裂纹广义最大切向应变能密度(the generalized maximum tangential strain energy density，GMTSED)断裂准则；然后，基于中心直裂纹巴西圆盘(the centrally cracked Brazilian disc，CCBD)复合断裂试验结果对该准则的有效性进行验证；最后，与上述传统及修正的断裂准则进行对比分析。

1 考虑T应力的MTSED准则

考虑T应力的裂纹尖端应力场展开式为

其中：

r和θ为裂纹尖端极坐标，如图1所示；σrr，σθθ和σrθ分别为径向应力、周向应力及剪应力；KI和KII分别为I 型和II 型应力强度因子；T表示应力；O(r1/2)表示高阶项。

根据Hooke定律，裂纹尖端周向应变为

式中：εθθ为周向应变；E和v分别为弹性模量及泊松比；k为材料常数，对于平面应力情况，k=1/(1+v)，而对于平面应变，k=1-v。则裂纹尖端切向应变能密度因子S为

其中：

式中：G为剪切模量；a为半裂纹长度；B和α为量纲一参数；Keff为有效应力强度因子。根据MTSED 准则[20]，裂纹起始扩展方向θ0可由下式确定：

将式(4)代入式(7)得到

其中：

随外部载荷增加，当沿θ0方向且距离裂纹尖端Rc处切向应变能密度因子达到临界值Scr时，裂纹开始扩展，即起始扩展条件为

式中：Scr与Rc均为表征材料属性的参数。对于纯I型断裂，将式(4)代入式(10)，并且注意到KII=0，θ0=0，r=Rc，则

式中：KIc为材料的I型断裂韧度。将式(4)及(11)代入式(10)，则起始扩展条件变为

至此，GMTSED 准则的起始扩展方向及起始扩展条件均已确定。在式(4)中，若令T=0，则GMTSED准则退化为MTSED准则。此外，通过式(3)可见，若令泊松比v=0，则GMTSED 准则变为GMTS 准则，即可以将GMTS 准则视为GMTSED准则在v=0时的一种特殊形式。

2 中心直裂纹巴西圆盘的断裂参数

图2所示为中心直裂纹巴西圆盘加载示意图。中心直裂纹巴西圆盘的I 型、II 型应力强度因子及T应力具有如下形式：

式中：P为施加的外部载荷；R为圆盘半径；W为圆盘厚度；ρ=a/R，为裂纹的相对长度；YI，YII及T*为几何参数。DONG等[22-23]分别运用权函数方法推导了不同β(裂纹面与加载方向的夹角)下YI，YII及T*的解析解：

式中：f1i，f2i及gi为与ρ相关的参数；A1i，A2i及A3i为与β相关的参数(i=1，2，3，…，n)，具体形式参见文献[22-23]。HUA 等[23]指出当n取100 时，YI，YII及T*的计算结果已非常精确，因此，本文的所有计算中，项数n均取100。此外，对于CCBD试样，DONG[24]建议ρ取0.4～0.6。

图3所示为不同加载角度β下，几何参数YI，YII及T*的计算结果。由图3可知，当β=0 时，CCBD试样发生纯I型断裂；随着加载角度β增大，I 型几何参数YI逐渐减小，II 型几何参数YII逐渐增大，直至达到某一角度后，CCBD试样发生纯II型断裂；当ρ=0.3，0.4，0.5 和0.6 时，CCBD 试样发生纯II 断裂的加载角度分别为27.2°，25.3°，22.9°和20.2°。值得注意的是，随β变化，T*一直小于0，即T一直为负值。

3 理论分析与试验验证

3.1 理论分析

由式(13)可得：

令

式中：Me为表征在复合型断裂中I型或II型断裂贡献比例的参数，Me=1，对应于纯I 型断裂，Me=0，对应于纯II 型断裂；η为自定义的角度参量，当η从0增加到π/2时，断裂模式由纯I型断裂发展到纯II 型断裂；对于任意的I/II 复合型断裂，均有唯一的η与其对应。运用式(7)和(8)并结合式(18)可求得不同复合断裂模式下的起裂扩展方向，同时，运用式(16)～(17)可获得在KI/KIc-KII/KIc空间内的起始扩展条件。

当v=0.35时，2种平面条件下T应力(为方便分析，一般以Bα表征T应力[15-16])对起始扩展角及起始扩展条件的影响如图4所示，图中ss和sn分别表示平面应力与平面应变条件。由图4(a)可知，当T应力逐渐减小时(考虑正负号)，裂纹起始扩展角(绝对值)也逐渐减小；相对于T=0 时的裂纹扩展角，正的T应力会增大其扩展角，而负的T应力则会减小其扩展角；对于起始扩展条件来说，随着T应力减小，KII/KIc逐渐增大，并且在纯II 型断裂时，T应力对KII/KIc的影响最大(此时，KII/KIc变为KIIc/KIc)。

图5所示为泊松比对裂纹起始扩展角及起始扩展条件的影响。由图5可见：随泊松比v增大，裂纹起始扩展角逐渐减小，同时KII/KIc也逐渐减小；并且与T应力的影响类似，在纯II型断裂时，泊松比v对KII/KIc的影响最大。此外，当T应力及泊松比相同时，2种平面条件下裂纹起始扩展角比较接近，但KI/KIc-KII/KIc曲线相差较大。

图6所示为2种平面条件下T应力对纯I型裂纹起始扩展角的影响。由图6可知，当T应力为负时，纯I型断裂裂纹起裂角度始终等于0°，即初始裂纹沿原裂纹所在平面扩展；而当T应力大于某一临界数值时，裂纹起裂角度随T应力增加而逐渐增大，并逐渐趋近于90°。AYATOLLAHI等[25]通过室内试验证实了纯I型断裂非共面起始扩展裂纹的存在。此外，当裂纹起始扩展角不为0°时，随泊松比增加，裂纹起裂角度也小幅增加，尤其当Bα小于1.0时比较明显。

图7所示为T应力对纯II型裂纹起始扩展角的影响。由图7可见，随T应力增加，裂纹起裂角度逐渐增大，尤其当|Bα|＜1时，增大较快，最终裂纹起裂角度也逐渐趋近于90°。泊松比对纯II型断裂裂纹起始扩展角的影响与纯I型断裂相反，即泊松比越大，裂纹起裂角度相应减小，尤其当|Bα|＜1.0时比较明显；而当|Bα|＞1.0时，泊松比对裂纹起裂角度的影响逐渐减弱。

3.2 试验验证

将式(14)代入式(8)及式(16)～(17)，可得：

并且有

发生纯I型断裂时的几何参数YI及T*分别记为YI0和TI*。此外，断裂过程区尺寸Rc可由下式确定[11-13]：

式中：σt为材料的单轴抗拉强度。对于任意的I/II复合型断裂，通过式(19)可求得裂纹起始扩展方向θ0，将其代入式(5)可求得参数A1～A6，进而再通过式(20)～(21)可求得KI/KIc及KII/KIc。

ALIHA 等[26-27]采用Guiting 石灰岩CCBD 试样研究I/II复合型断裂的尺寸效应及形状效应，直径2R为100 mm、厚度W为40 mm、裂纹长度2a为30 mm 的CCBD 试样复合断裂试验结果如图8和图9所示。Guiting 石灰岩纯I 型断裂韧度为0.24 MPa·m0.5，抗拉强度为2.0 MPa，则根据式(24)，其断裂过程区半径Rc为2.3 mm。此外，Guiting石灰岩的典型泊松比为0.2[28]。根据上述参数，图8和图9同时给出了6 种断裂准则预测的裂纹起始扩展角及起始扩展条件。由图8和图9可知，考虑T应力的GMTSED，EMTSN 和GMTS 准则预测结果与试验结果比较吻合，而传统的MTSED，MTSN和MTS准则预测结果与试验结果相差较大。此外，GMTSED 准则的预测结果介于EMTSN 及GMTS 准则预测结果之间。当I 型断裂占主导时，GMTSED，EMTSN和GMTS准则的预测结果几乎重合，而当II型断裂占主导时，3种断裂准则预测结果之间的差距逐渐增大。

此外，ALIHA 等[11-13,29]分别采用4 种岩石CCBD 试样对I/II 复合型断裂进行了试验研究。表1所示为4 种岩石的物理力学参数及CCBD 试样的几何尺寸，除集宁锈岩的泊松比取经验值之外，其他数据均取自相应文献，图10所示为4 种岩石的I/II复合型断裂试验结果，图10同时给出了平面应力条件下GMTSED，MTSED，EMTSN 和GMTS 准则的预测结果。由图10可知，考虑T应力的GMTSED 准则预测结果仍然与试验结果比较吻合，并且GMTSED 准则的预测结果仍然介于EMTSN 准则及GMTS 准则预测结果之间。GMTS准则预测结果与材料泊松比无关，而GMTSED 准则及EMTSN 准则预测结果与材料泊松比有关。ALIHA 等[30]指出泊松比对裂纹尖端断裂参数具有重要影响，因此，GMTSED及EMTSN准则更能表征材料的断裂特征。表2所示为10 种断裂准则预测的上述4 种岩石纯II 型断裂韧度与纯I 型断裂韧度之比。从表2可见：除砂岩外，其他3 种岩石GMTSED 准则的计算结果与试验结果最为接近，这进一步验证了GMTSED准则的有效性。

表2 基于不同断裂准则的KIIc/KIc预测结果Table 2 Prediction results of KIIc/KIc based on different fracture criteria

表1 4种岩石CCBD试样的几何尺寸及相关物理力学参数Table 1 Summary of geometric dimensions and mechanical parameters for four rocks of CCBD specimens

4 结论

1)在传统最大切向应变能密度断裂准则的基础上，考虑裂纹尖端应力场中的常数项，建立了考虑T应力的I/II 复合型裂纹广义最大切向应变能密度断裂准则。

2)随T应力增大，裂纹起始扩展角逐渐增大，而KII/KIc逐渐减小；随泊松比增大，裂纹起始扩展角及KII/KIc同时减小；在纯II 型断裂时，T应力及泊松比对KII/KIc的影响最显著。

3)广义最大切向应变能密度断裂准则预测结果与CCBD 试样I/II 复合型断裂试验结果十分吻合，验证了该准则的有效性，同时也说明T应力对岩石断裂具有显著的影响。