周德，王灿，雒明波，王宁波，周天睿，黄方林

(1.中南大学土木工程学院，湖南长沙，410075；2.中铁第四勘察设计院集团有限公司，湖北武汉，430063)

静力荷载试验是评估桥梁承载能力最直接、可靠的方法，其将试验荷载停于预定加载位置测定结构静应变、位移来判断结构工作状态。但面对大量桥梁老化问题时，该方法在时效性、安全性、经济性等方面存在不足。桥梁静载试验通过桥梁弹性变形部分衡量结构承载力，以残余变形量判断其弹性状态，在试验过程中需考虑荷载的时间效应，该效应主要源于材料的黏弹性特性。从黏弹性角度研究混凝土桥梁静力试验变形特性，可为探索高效、经济的荷载试验形式提供理论支撑。目前关于材料黏弹性的影响因素及模型已有较多研究，广泛的黏弹性模型有广义Maxwell、广义Kelvin和Burgers等经典模型[1-4]。通过利用弹性元件和黏弹性元件不同组合方式可模拟任意特征黏弹性本构关系，并在各类材料中得到应用。采用元件组合方式描述混凝土材料本构关系时，通常组合形式复杂，模型参数难以确定。针对混凝土材料的徐变问题，国内外相关机构也提出了相应的经验预测模型，如欧洲混凝土委员会和国际预应力混凝土协会提出的CEB-FIP 系列模型、美国混凝土学会提出的ACI209 模型、国际材料与结构研究试验室联合会建议的B3 模型[5]，其中，B3模型详细考虑了混凝土配比情况。GARDNER等[6]以试验数据为基础，提出徐变特征的GL2000模型。

不少研究者致力于黏弹性材料本构模型改进及新型本构关系研究[7-9]。RIBEIRO 等[10]用分数式微积分模拟混凝土和聚合物蠕变。ZHANG等[11]采用分数阶导数模型分析了混凝土徐变和阻尼之间的关系，该模型仅需较少参数即可达到一定的模拟精度。陈梦成等[12]采用Gamma 随机过程研究混凝土长期徐变，基于随机有限元和统计方法，模拟结构性能退化过程。陈旭等[13]基于GL2000模型提供了一种预测混凝土收缩徐变的简便方法，认为GL2000 模型可引入自收缩影响因素进行改进。结合既有本构模型开展应用类研究也是目前普遍的做法。MEI 等[1]采用广义Maxwell 和广义Kelvin模型模拟混凝土徐变，建立了钢筋混凝土结构静态和动态性能的联系。张戎令等[14]据ACI209 徐变模型推导出考虑温度变化的钢管混凝土热徐变计算公式，并通过试验验证其正确性。占玉林等[15]基于CEB-FIP 徐变模型，并引入温度控制参数，对大跨度钢管混凝土拱桥长期徐变效应进行了研究。PENG 等[16]结合B3 模型研究了FRP-混凝土复合桥面力学性能，发现在短期和长期荷载作用下，其有限元计算与实验结果均较吻合。黄永辉等[17]对不同含钢率的高强钢管-混凝土轴压短柱长期收缩和徐变变形进行测试，并与采用ACI209，MC90和MC2010[18]等徐变模型得到的计算结果进行对比。张怡雪等[19]研究了不同加载龄期下的徐变发展规律，并结合某实际工程对比分析箱梁混凝土徐变变形的预拱度与设计值的差异。上述基于既有本构关系的结构徐变影响研究中，主要从荷载类型、结构或材料组成以及本构关系选取等方面对荷载效应进行理论计算与实验研究，多数研究集中于结构长期徐变问题。本文将黏弹性本构模型应用于混凝土桥梁荷载试验，研究混凝土桥梁结构在外荷载作用下的短期黏弹性[20]力学行为。结合黏弹性基本理论，分析桥梁结构在不同荷载作用下的徐变行为，提出混凝土桥梁黏弹性变形分步式数值计算方法。基于数值仿真计算研究黏弹性本构模型及黏性与弹性材料体积比等因素对黏弹性特征的影响，并对比同等荷载静力试验与移动荷载试验下桥梁结构黏弹性荷载效应。结合实际桥梁开展试验，实测混凝土桥梁结构短期徐变规律及变形恢复特点。

1 混凝土桥梁短期黏弹性变形机理

1.1 黏弹性本构模型

对具有黏弹性特征的材料通常需引入具有时间效应的系数来描述其本构模型，如徐变函数、徐变系数或徐变度等。一般采用多个弹性及黏弹性元件组合形式模拟黏弹性本构关系，经典的广义Maxwell和Kelvin黏弹性模型如图1所示。

图1 典型黏弹性模型Fig.1 Typical viscoelastic models

图1中，Ei为第i个弹性元件刚度，ηi为第i个黏性元件黏性系数[21]。不同的黏弹性模型由这2种元件组合而成。本构方程一般表达式为

式中：σ为应力；ε为应变；P和Q为微分算子，pk和qk为材料参数，m和n取值与弹性元件和黏性元件组合形式有关。基于该本构方程求解可得恒荷载σ0下，总应变ε(t)及徐变函数J(t)一般表达式为

式中：J(t)为徐变函数，描述材料变形随时间变化的性质；L-1表示Laplace 逆变换[21]；和为微分算子的象函数。对各种经典的黏弹性模型，可代入相应的参数计算。

上述黏性、弹性元件组合可描述任意材料本构模型，不同组合形式对应不同徐变函数。对于混凝土材料，采用黏性、弹性元件组合描述的思路过于复杂，实际研究混凝土材料黏弹性特征时，往往结合大量实验数据直接获取其徐变系数经验公式。常用的混凝土徐变模型有CEB-FIP 系列模型、ACI209 模型、GL2000 模型[6]、B3 模型[5]等，这些模型通过直接引入徐变系数φ(t)描述黏弹性现象，其蠕变应变εf(t)可描述为

徐变系数φ(t)与徐变函数J(t)之间的关系为

式中：E为材料的初始模量；φ(t)为模型徐变系数。上述几种模型的徐变系数与时间的关系如图2所示。从图2可见：不同模型在2 000 s内的徐变系数变化趋势基本一致，但变化量存在一定差异，其中B3 模型的变化量较大，ACI209 模型的变化量较小。

图2 混凝土材料徐变系数φ(t)与时间的关系Fig.2 Relationship between creep coefficient of concrete material φ(t)and time

1.2 基于黏弹性模型的变形计算

研究钢筋-混凝土组合梁变形随时间变化规律时，分别考虑混凝土和钢筋2种本构关系，推导组合结构的挠曲线时变方程。钢筋-混凝土任意截面微小梁段dx的平衡计算模型如图3所示。假定截面x处外力弯矩为M(x,t)，混凝土及钢筋这2 种材料同时发生弯曲变形。由于混凝土流变性较小，满足平截面假定，且变形过程中中性轴不变。假定混凝土和钢筋对中性轴惯性矩分别为Ic(x)和Is(x)，这2种材料的徐变函数分别为Jc(t)和Js(t)。

图3 截面平衡关系Fig.3 Section equilibrium relation

根据式(1)中本构关系，对全截面积分得混凝土及钢筋部分的挠曲线微分方程分别为

式中：Mc和Ms分别为混凝土和钢筋的外力弯矩；Pc和Qc为混凝土材料本构方程中的微分算子；Ps和Qs为钢筋材料本构方程中的微分算子；ωc和ωs分别为混凝土和钢筋的曲率。截面外力M由钢筋和混凝土平衡，并且两者挠曲线曲率相同，截面平衡方程和变形协调方程分别为：

联立式(5)～(7)得

对式(8)微分方程进行Laplace变换[21]得

由式(9)对x进行2次积分，即可得到挠曲线时变方程：

式中：和分别为混凝土和钢筋徐变函数的象函数；M0为徐变荷载量。对多种材料组合的结构，可令

J(x,t)可视为梁体总体徐变函数，r为组成结构的材料种类数。当荷载变化即M(x,t)随时间变化时，由Boltzmann 线性叠加原理[21]可将式(10)写为遗传积分形式：

采用式(12)求解桥梁结构在荷载作用下的黏弹性变形时，要求组成桥梁结构的材料均具有式(1)所示本构关系，即材料本构模型由弹性和黏性元件组合而成。而采用经验公式描述材料(如混凝土)黏弹性时，采用式(11)无法获得结构的总体徐变函数。为此，本文提出一种针对黏弹性挠曲线变形的分步式数值计算方法。

在受力过程中，各多种黏弹性材料的受力及变形均随时间持续变化。在计算变形时，采用微分方法将时间离散化，时间节点分别为τ0，τ1，…，τi，考虑各离散微小时间段内材料受力不变，而变形仍持续变化。初始时刻以瞬时弹性变形为起点，计算τ0至τ1时间段内因材料徐变量不同导致的变形差异，由此换算出内力调整量，将调整后的内力用于下一时间节点的变形计算，以满足变形协调条件。依次计算各时间点的荷载效应，具体计算思路如下。

直接对式(5)进行Laplace 变换计算2 种材料的变形：

由于黏性不同，2种材料在共同变形过程中存在内力重分布。对于每一时间步τi，材料所受的变力看作由初始内力和内力调整量的叠加，根据Boltzmann线性叠加原理[21]可得t时刻的变形为

平衡及变形协调条件为：

式中：ΔMci和ΔMsi分别为混凝土和钢筋的内力调整量；Mt为t时刻外力荷载。在t=0 时，由式(14)，(15)和(16)计算得到初始值Mc0和Ms0；在t=τi时，将之前每一步荷载代入式(14)计算该时刻曲率ω″c(τi)和ω″s(τi)，由式(15)和(16)确定该时刻增加的外力ΔMci和ΔMsi，使得各材料同时满足变形协调和平衡方程。经计算，增加的荷载可表示为

计算每个时间步的ΔMci和ΔMci，代入式(14)得到梁体曲率随时间的变化，对x积分2次，代入边界条件即得到全梁的挠曲线方程。该方法可直接从徐变函数出发，根据平衡和变形协调关系计算每种材料的受力及变形，对分析桥梁结构黏弹性荷载效应具有较好适用性。

2 桥梁结构黏弹性荷载效应数值模拟研究

为分析桥梁结构考虑黏弹性本构时的荷载效应及随时间发展变化特征，以钢筋混凝土简支梁为例，计算不同荷载等级、加载时间等工况下不同材料组合比例桥梁模型的响应，研究分析黏弹性变形随时间的发展变化规律以及荷载卸除后的恢复规律，并与同等移动荷载加载模式下的桥梁动力响应进行比较。

2.1 模型参数及工况

以图4所示简支梁为计算模型，设计静载及移动荷载工况。桥梁长L=30 m，混凝土部分的惯性矩Ic=3.27 m4，截面积Ac=6.059 m2，周长u=30.41 m，弹性模量Ec=3.45×104MPa。混凝土材料分别采用现有规范中常用的CEB-FIP 系列模型、ACI209 模型、GL2000模型、B3模型模拟其徐变函数。钢材部分惯性矩Is=ζIc(其中，ζ为占比系数，一般钢筋混凝土桥梁ζ取值约为2%)。荷载采用集中力荷载，计算静载效应时集中力作用于桥梁跨中位置，根据规范规定[22]，加载时间不小于15 min，本文取值1 000 s。由于移动荷载通常以滤波后具有准静态特性的曲线作为评估桥梁的依据，故在模拟移动荷载作用时，不考虑桥梁振动的影响。

图4 桥梁模型简图Fig.4 Diagram of bridge model

设置15 t，30 t 和45 t 共3 种质量等级研究荷载量对黏弹性变形的影响。为更直观探究结构中黏性与弹性材料体积比的影响，占比系数ζ分别为2%，20%，40%和60%。数值计算工况按“S-①-②”和“M-③”命名，其中，S和M分别代表静力试验和移动荷载试验，①代表弹性材料体积占比系数ζ，②代表荷载量，t，③代表移动荷载速度，m/s。

桥梁静载及移动荷载试验工况的典型响应如图5所示。从图5可见：在桥梁静载作用下，变形通常有4个阶段：1)初始变形阶段，变形随荷载的增加呈现线性快速增大，弹性变形占主导；2)徐变阶段，变形缓慢增加，体现材料黏弹性；3)弹性恢复阶段，随着荷载卸除完毕，弹性变形迅速恢复；4)恢复阶段，荷载完全卸除，其变形随时间缓慢恢复。桥梁移动荷载响应分加载变形阶段和恢复阶段，由于加载时间通常较小，其黏弹性效应不明显。

图5 静载及移动荷载典型响应Fig.5 Typical responses of static and moving loads

2.2 影响因素研究

2.2.1 本构模型

材料本构关系是决定梁体在荷载作用下变形规律的主要因素之一，由1.2节中方法计算静载工况下梁体黏弹性力学行为。以工况S-2-30 为例，基于上述4种徐变模型计算的桥梁跨中挠度时程曲线如图6所示。从图6可见：桥梁跨中挠度时程曲线在初始变形阶段完全一致；在徐变阶段，不同模型对应的变化趋势及幅度存在差异，卸载后瞬时弹性恢复，变形量随时间推移缓慢稳定，最终存在小部分残余；黏弹性材料在加载、卸载完成初期有明显的徐变和恢复变形，随后逐渐趋于平缓。不同本构关系下的各阶段变形量如表1所示。

图6 桥梁跨中挠度时程曲线Fig.6 Time history curves of mid span deflection of bridges

从表1可见：在桥梁结构不同本构关系下，初始变形与弹性恢复阶段时的变形基本相同，不同模型的徐变变形和恢复阶段变形存在一定差异。徐变变形与初始变形的比值定义为相对徐变，4种模型的相对徐变介于0.62%～6.86%，对于同一本构模型而言，1 000 s 产生的徐变量和恢复量基本相当。试验结果表明，GL2000 模型相较其他而言更符合实际[23]。

表1 静载工况S-2-30各阶段变形量Table 1 Deformation at each stage of static load condition S-2-30

2.2.2 黏性与弹性材料体积比

结构中黏性材料与弹性材料体积比是决定整体黏弹性行为的主要因素，以GL2000徐变模型为例，计算多种混凝土-钢材体积比在不同等级荷载下的变形规律。将各静载工况徐变阶段和恢复阶段的挠度除以初始挠度进行归一化，各工况比较结果如图7所示。图中S-2-15表示体积占比系数为2%，加载量为15 t 的静力试验工况，其他依次类推。

从图7可以看出：结构弹性材料体积比越大，其徐变导致的挠度增加则越小；而当体积占比相同时，荷载量的改变仅影响绝对挠度，不同荷载下响应归一化后的挠度曲线基本一致。另一方面，结构徐变在短期内并未完全恢复。从图7(b)可见：徐变所致的挠度增加量在卸载后1 000 s 时基本恢复至稳定，但仍存在少量残余变形；结构整体黏弹性不同，则残余量不同，且变形恢复程度及恢复时间也存在细微差异。

图7 静载工况下桥梁在不同阶段的挠度Fig.7 Deflection of bridge at different stages under static load

2.3 静载与移动荷载作用下的变形比较

仍选用GL2000徐变模型，以本文方法计算移动荷载工况下挠度时程曲线，并与弹性解析解(不考虑黏弹性效应)进行对比，如图8(a)所示，图中M-1 表示速度为1 m/s 的移动荷载工况，其他依次类推。从图8(a)可看出梁体在移动荷载作用下受载时间较短，变形与弹性解析解较一致，证实了本文1.2节中计算方法的正确性。另一方面，荷载移动出桥瞬时剩余变形量较小，并于短时间内几乎完全恢复，其残余量可忽略不计。不同速度下挠度峰值比较如图8(b)所示，可见黏弹性数值解与弹性解析解相对差在1%以内；荷载移动速度越低，作用于桥上时间越长，其相应的挠度峰值越大。

对静载试验工况S-2-30 与同等质量的移动荷载工况M-1作用下结构变形进行比较，结果如图9所示。从图9可见：桥梁静载试验规范规定实测变形为加载达到稳定时的挠度减去卸载后达到稳定时的挠度，实际是用结构的总挠度减去卸载后挠度稳定时的残余量，其包含了弹性变形ω弹和卸载后部分恢复变形ω恢复，即图9(a)中ωs，满足ωs=ω弹+ω恢复。移动荷载试验测点最大挠度记为ωm，如图9(b)所示。当移动速度较快荷载在桥上作用时间短时，ωm可认为全是弹性变形，即ωm=ω弹；当移动荷载速度较低趋于准静态时，该荷载在桥上作用时间内仍发生一定徐变变形，速度越低，对应的挠度峰值越大(见图8(b))。

图8 移动荷载工况下桥梁跨中挠度响应Fig.8 Mid span deflection response of bridge under moving load

图9 静载与移动荷载测点挠度比较Fig.9 Comparison of normalized static load and moving load effects

静力荷载效应与移动荷载效应比较如表2所示。从表2可见：总体而言，静力加载的挠度变化ωs与移动荷载加载的挠度最大值ωm基本接近，表明静力荷载试验中徐变影响不大；对于准静态移动荷载工况，ωm与ωs更接近；而相对于移动速度较快、作用时间短的工况，ωm则与ω弹较接近。

表2 跨中挠度响应比较Table 2 Comparison of mid span deflection response

3 实桥荷载试验研究

为了进一步验证理论方法及数值分析的正确性，开展实桥静载和移动荷载试验，对比桥梁静力荷载效应与移动荷载效应。

3.1 试验概况

试验桥梁选定为浙江省宁波市某绕城高架桥，桥体为6跨预应力混凝土连续箱梁，每跨30 m，截面如图10(b)所示。以第2 跨作为试验桥跨(如图10(a)所示)，挠度测量点分别布置在试验跨1/4，1/2和3/4截面处，每个截面从左至右在梁底均匀设置3 个挠度测点。其中，1/2 跨度的挠度测点分别记为D1/2-1，D1/2-2和D1/2-3，其他测点表示与此类似，如图10(c)所示。

图10 测试梁体概况Fig.10 Overview of test beam

在静载试验中，选定6辆载车作为加载车。每辆卡车的总重力为350 kN，其中前轴重力为60 kN，中、后轴重力均为145 kN。前轴与中轴距为385 cm，中轴与后轴距为135 cm。静载分3 级加载：第1 级施加①，②和③号车，第2 级施加④和⑤号车，第3级施加⑥号车，如图11所示。进行移动荷载试验时，采用1 辆试验车分别以10 km/h和20 km/h速度通过桥面中间车道。

图11 车道加载布置Fig.11 Lane loading layout

3.2 挠度测试及结果分析

在测试跨度下方搭设临时工作平台，用于传感器安装和数据采集，如图12(a)所示。采用HBM数据采集系统(MGCPlus)记录静载和移动荷载的位移。静态试验的采样频率为1 Hz，移动荷载试验的采样频率为50 Hz。试验采用HBMWA-50 位移传感器，测量范围为50 mm，精度为0.01 mm。

图12 现场布置图Fig.12 Site layout

分别记录静载和移动荷载试验时测量点的挠度。其中测点D1/2-2的实测挠度见图13(a)。从图13(a)可见：随着分级加载深入，挠度曲线呈明显阶梯增长，且每一级荷载加载完成后挠度曲线还存在缓慢增加的变形趋势；卸载完毕后，部分挠度变形随时间推移缓慢恢复。单台试验车辆以20 km/h 移动经过试验桥梁时，测点动态挠度响应及滤波后的准静态挠度曲线如图13(b)所示。

图13 D1/2-2测点的挠度响应Fig.13 Deflection response of measuring point D1/2-2

在静载试验中，将车辆每一级加载后的徐变变形除以初始挠度变形进行归一化，与采用不同本构理论计算结果进行对比，如图14(a)所示。从图14(a)可见：归一化试验徐变曲线与几种理论曲线具有相同变化趋势，与CEB-FIP 和GL2000 徐变模型具有较好一致性，在1 000 s 内徐变导致的挠度约占初始挠度的4%。卸载恢复过程归一化恢复量曲线与理论曲线比较如图14(b)所示，其中，基于CEB-FIP，GL2000和B3模型的归一化恢复量理论曲线与实测曲线一致，变形在卸载后1 000 s内恢复量约达70%。

图14 测点D1/2-2各阶段实测变形量与理论值对比Fig.14 Measured and theoretical values of measuring point D1/2-2 in creep stage

为得到同等荷载量级的静载与移动荷载曲线，将静力挠度和移动荷载挠度除以其对应的弹性变形量进行归一化。其中，静载挠度归一化数据采用图13(a)静载徐变Ⅲ及卸载恢复阶段挠度除以卸载恢复段弹性变形得到；移动荷载响应由于速度较快均视为弹性变形。测点D1/2-2响应的归一化挠度曲线见图15。用静载最大变形量减去卸载后恢复时间ts(分别取120，300和600 s)时的残余变形作为3组静载试验值，结果见表3。

图15 测点D1/2-2归一化静载与移动荷载挠度对比Fig.15 Comparison of measuring point D1/2-2 under normalized static load and moving load

表3 静载与移动荷载挠度比较Table 3 Comparison of measured values of static load and moving load

实测结果表明，移动荷载试验与静载试验挠度测试值基本一致，两者误差介于0.53%～3.19%。其主要原因在于混凝土材料短期黏弹性变形量较小。试验结果表明评价桥梁荷载效应时静力加载方式与车辆行驶过桥的移动荷载加载方式具有等效性。

4 结论

1)黏弹性材料在加载、卸载完成初期有明显的徐变和恢复变形，随着时间推移，徐变及恢复变形变化趋势趋于平缓。结构中所含的黏性与弹性材料体积比及徐变系数特征是影响其黏弹性的主要因素。

2)对混凝土桥梁结构进行静力试验时，混凝土桥梁结构呈现短期黏弹性力学行为。针对混凝土桥梁结构理论、数值及试验研究均表明加载完成后1 000 s 内徐变量约占初始弹性变形量的4%。该徐变变形可在卸载完成后同等时间内基本恢复。

3)对于混凝土桥梁，现有静载试验规范中定义的实测变形包含弹性变形和部分徐变变形。该变形量与相同荷载按准静态移动加载时的变形量相差较小，基本等效。