林金妮 张丽颖 穆成富

湖州师范学院理学院 浙江湖州 313000

2021年8月18日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国体育代表团共收获88枚奖牌，其中，中国乒乓球队在五个项目中以4金1银的好成绩收官。

乒乓球作为国球，技术一直处于国际领先水平，在我国有非常广泛的群众基础。乒乓球从技术方面主要可以分为弧圈球、削球、接发球、搓球等。其中，弧圈球是一种强烈的上旋球，它的特点是既有强大的攻击力，又有很强的稳定性。由于它的旋转力度非常强，因此，虽然它是上旋球，却从传统的上旋球中分离出来成为单独的一类。当今的弧圈高手比比皆是，其中我国的马龙等运动员，都以拉弧圈球见长。可见，弧圈球几乎已经成为职业运动员的一种必备打法。

1 弧圈球二维轨迹

对飞行中的弧圈球进行受力分析，如图1所示。

图1 乒乓球受力分析示意图

乒乓球重力表达式如下：

其中ρp为乒乓球的密度，d为乒乓球的直径。

空气给乒乓球的浮力数值等于乒乓球排开空气的质量：

其中ρa为空气密度。

在运动过程中，乒乓球受到与运动方向相反的阻力:

其中Cd为阻力系数。

若乒乓球并非平动，而有一定的旋转角速度，则乒乓球还将受到马格努斯力，其大小为:

其中ω为旋转角速度。

马格努斯力的方向可由右手螺旋定则判定，拇指指向旋转轴，食指指向球运动方向，中指垂直于手面，即为马格努斯力的方向。

根据牛顿第二定律，将乒乓球受到的力沿x轴、y轴分解，列出动力学方程组。不妨设乒乓球运动方向与x轴正方向的夹角为α。

将各个力的表达式代入后得：

2 不同角速度对弧圈球轨迹的影响

当一个旋转物体的旋转角速度矢量与物体飞行速度矢量不重合时，在与旋转角速度矢量和平动速度矢量组成的平面相垂直的方向上将产生一个横向力。在这个横向力的作用下物体飞行轨迹发生偏转的现象，称作马格努斯效应，这个横向力成为马格努斯力。

以上旋球为例，上旋球在飞行期间，上沿气流与迎面气流方向相反，流速减慢，下沿气流和迎面气流方向相同，其流速加快，根据伯努利方程，空气给球一个向下的马格努斯力。不同的角速度会影响马格努斯力的大小，进而影响乒乓球的运动轨迹。

通过查阅资料，对本文中的一些参数进行合理取值。目前国际乒乓球赛事中专用球的直径为40mm，质量为2.6～2.8g，本文中取质量为2.7g进行计算。其中空气密度为ρa=1.293kg/m3。设定初值，阻力系数取Cr=0.44，初速度v=10m/s，α=15°，选取角速度为ω=0、ω=40r/s、ω=80r/s、ω=120r/s进行计算讨论。通过软件Mathematica对动力学方程进行求解，绘制出不同角速度下乒乓球触台前的运动轨迹，如图2所示。

图2 不同角速度乒乓球的运动轨迹

由图2可以看出，初速度相同时，不同的角速度会使运动轨迹有明显的差别。初速度与出射角速度相同，则四种情况下初速度水平分量相同，故落点的远近与飞行时间成正比。从图中可以看出，当乒乓球不旋转时，飞行距离最远，即飞行时间最长；为上旋球时，由于受到向下的马格努斯力飞行时间缩短，与不转球相比，飞行曲线弯曲度大，弧高要低，落点近；随着角速度的增加，在马格努斯力的影响下，乒乓球落点的距离更靠近出发点，运动轨迹的最高点更低，飞行时间更短。研究表明，运动员的运动机能与神经反应有密切的关系，上旋球的旋转速度越强，在空中的飞行时间就越短，给对手的反应时间就越短，显然这样的回球质量更高，也更具有威胁力。

上旋球着台时，球给台面一个向后的摩擦力，台面给球一个大小相同、方向向前的摩擦力，从而使球反弹时，与台面法线方向夹角增大，前进速度加快，这也给对手回球增加了难度，如图3所示。

图3 上旋球落台后运动轨迹

而在实战中，并非角速度越大，回球的质量就一定越高。随着角速度的增加，轨迹最高点会降低，便有可能出现不过网的情况，那便会让对方直接得分。(国际标准的乒乓球桌尺寸为长2.740m，宽1.525m，网高0.1525m。)

3 不同阻力系数对弧圈球轨迹的影响

为探究阻力系数对弧圈球运动轨迹的影响，须设定合适的初值。不妨设初速度v=10m/s，速度与x轴的夹角α=18°，角速度ω=80r/s，分别取阻力系数Cr=0.2、0.3、0.4、0.5进行讨论，绘制出不同阻力系数下乒乓球触台前的运动轨迹，如图4所示。

图4 不同阻力系数乒乓球的运动轨迹

由图可知，改变阻力系数会对乒乓球的运动轨迹造成一定的影响。其影响主要体现在轨迹的后半段，从原点到最高点的运动轨迹基本重合。在其他条件相同时，阻力系数较小，乒乓球的落点较远，反之则较近。

4 不同初速度对弧圈球轨迹的影响

运动员挥拍的速度和力道以及球拍胶面的材质等多种因素，都会影响到乒乓球的初速度。初速度的不同会影响乒乓球在空中的飞行速度，从而进一步影响其飞行轨迹。一方面，空气阻力使得乒乓球的飞行受阻，前进速度越快，空气阻力越大；另一方面，当乒乓球运动具有一定旋转角速度时，飞行速度越大，其所受到的马格努斯力越大。由于空气阻力和马格努斯力的存在，使得乒乓球飞行速度的大小和方向会发生非线性改变，能够形成不同的落点。因此，初速度的选择对于乒乓球的飞行轨迹和落点都有着很大影响。

国家队运动员的一般球速为10～15m/s，日常打球时的平均球速可能会低于10m/s。参考该数值，设定初值角速度ω=80r/s，阻力系数Cr=0.44，速度与x轴的夹角α=15°。选取初速度v=7m/s、v=10m/s、v=13m/s、v=16m/s进行计算讨论，绘制出其运动轨迹，如图5所示。

图5 不同初速度乒乓球的运动轨迹

由图5可以看出，其他条件相同时，不同的初速度会使乒乓球的飞行轨迹会有明显的差别。初速度较大时，乒乓球的落点会较远，最高点也会较高。为上旋球时，由于速度大的乒乓球所受到向下的马格努斯力较大，使得飞行弧线变低，从图可以看出乒乓球的飞行并非是抛物线轨迹。在比赛中，运动员的出球速度越快，留给对手的反应时间就短。显然，一个速度较快的弧圈球更具有杀伤力，能够增大对方回球时的失误概率，但是速度过快也会容易使乒乓球出球台而失分。因此，经过分析可得，在本文设置的条件下，v=13m/s和v=16m/s乒乓球会落在球台之外，v=7m/s乒乓球会下网而无法到达对方半球台，在四个设定的速度中，v=10m/s为质量最高的弧圈球。

5 不同出球角度对弧圈球轨迹的影响

上文论述到，乒乓球的角速度和初速度等因素会对弧圈球的质量有较大的影响，还有一个较为重要的因素是出球角度，它与挥拍方向和拍面角度息息相关，运动员可以通过日常训练挥拍方向和拍面角度，来控制乒乓球的出球角度。

设定初值，角速度ω=80r/s，阻力系数Cr=0.44，初速度v=10m/s，选取出球角度α=10°、α=14°、α=18°、α=22°进行计算讨论，绘制出其运动轨迹，如图6所示。

图6 不同出球角度乒乓球的运动轨迹

由图可知，其他条件相同时，不同的出球角度会使其运动轨迹会有明显的差别。出球角度较大时，乒乓球的落点会较远，最高点也会较高。在比赛中，一个速度较快的弧圈球显然会更加有杀伤力，但是这也会容易使乒乓球出球台而失分。在本文设置的条件下，α=22°乒乓球会落在球台之外，α=10°乒乓球会下网而无法到达对方半球台，α=14°的运动轨迹中，最高点在0.14m左右，有可能存在擦网而过的运气球，但比较危险，在四个设定的速度中，α=18°为质量最高的弧圈球。