李俊文,陈玉莲

(广州理工学院 智能制造与电气工程学院,广东 广州 510540)

0 引 言

目前,机器人正在朝轻量化和精密化方向发展。

为了满足轻量化的要求,机器人中使用的轴承大多采用薄壁轴承。虽然薄壁轴承质量较轻,但沟道处壁厚较小,往往刚度偏低,疲劳寿命也较短,不能满足机器人的整体性能要求,成为薄壁轴承需解决的主要问题之一[1]。

张阳阳等人[2]提出了薄壁角接触球轴承的多目标优化方法,综合使用多目标函数的功效系数法、加权系数法以及正交试验优化设计方法,基于RomaxCLOUD对某薄壁角接触球轴承进行了优化设计,优化后的轴承整体性能有较大提高。罗天宇等人[3]以高速精密角接触球轴承刚度为优化目标,建立了其目标函数,采用局部网格法对角接触球轴承进行了优化设计,并得出结论,即对轴承进行优化设计时应充分考虑刚度,在满足轴承寿命的要求下,应适当增加球数和减小球径。王廷剑等人[4]以某航空发动机主轴用三点接触球轴承的6个结构参数(球数、球径、垫片角、内圈沟曲率半径系数、外圈沟曲率半径系数、径向游隙)为影响因素,建立了以轴承基本额定寿命为目标函数的优化模型,并基于正交试验法,对轴承结构参数进行了优化设计及分析,得到了针对不同结构参数提高轴承寿命的方法。王盛业[5]采用正交试验法,并基于止推轴承的6个结构参数,建立了25组动静压螺旋槽轴承结构模型;以轴承承载性能作为优化目标,利用FLUENT软件建立了仿真模型,并对25组模型的承载特性进行了研究,将正交表对仿真结果进行了对比分析,得到了轴承承载能力的变化规律及正交试验后最优仿真计算模型。盛明杰等人[6]以某型号陀螺电机主轴承4个结构参数(球数、径向游隙、外圈沟道曲率半径系数、内圈沟道曲率半径系数)为影响因素,基于正交试验法,以轴承摩擦力矩、球磨损率、轴承疲劳寿命为优化目标,对轴承结构参数进行了多目标优化设计,确定了最佳设计方案。

以上文献大部分是基于单目标的优化设计,与轴承的实际工况相差甚远;也有多目标的优化设计,但没有同时考虑以轴承的接触刚度、接触疲劳寿命和质量进行多目标优化,使轴承设计存在一定的局限性。

笔者以某机器人用薄壁角接触球轴承为研究对象,基于正交试验法,以内圈沟道曲率半径系数等轴承结构参数为影响因素,建立5因素混合水平的正交试验方案,以接触刚度等3个性能指标为目标函数,对轴承结构参数进行优化设计,通过极差分析和综合平衡分析法确定最优结构参数。

1 轴承性能指标计算模型

机器人采用薄壁角接触球轴承时,在满足其一定寿命的使用要求前提下,接触刚度是其最重要的性能指标,其次还有轻量化指标。

1.1 接触刚度计算模型

在角接触球轴承拟静力学模型的基础上,根据钢球与内、外圈沟道的Hertz接触情况,计算轴承的整体接触刚度[7,8]:

(1)

其中,F、E的计算公式分别为:

(2)

(3)

式中:φ—滚珠的位置角。

k、E、F满足以下曲率函数关系:

(4)

1.2 接触疲劳寿命计算模型

由弹性滚动接触的Hertz理论[9,10]，考虑滚珠影响时，角接触球轴承的接触疲劳寿命L(单位106r)计算公式[11]为

(5)

式中:Nb—滚珠数目,数值为z;Lcij，Lcoj——与第j个滚珠接触的内、外圈的疲劳寿命,j=1,2,…,Nb;ij—旋转套圈的转速与第j个滚珠的自转转速之比值,通过轴承内部的几何运动关系确定;Lbij，Lboj—与内、外圈接触的第j个滚珠的疲劳寿命。

其中,Lcij、Lcoj可分别表示为：

(6)

式中:Qci，Qco—内、外圈的额定动负荷;Qij，Qoj—第j个滚珠与内、外圈的接触负荷。

Lbij、Lboj可分别表示为：

(7)

式中:Qbi,Qbo—滚珠与内、外圈接触的额定负荷。

1.3 质量计算模型

薄壁角接触球轴承由滚珠、保持架、内圈和外圈4部分结构组成,因此,轴承的总质量等于这4部分结构的质量之和。

下面,笔者介绍各部分结构的质量计算公式,详细计算过程可参考刘胜超等人[12]的文献。

滚珠质量的计算公式为:

(8)

式中:ρball—滚珠密度;Vball—滚珠体积;Dw—滚珠直径;z—滚珠数。

保持架质量的计算公式为:

mcage=ρcageVcage

(9)

式中:ρcage—保持架密度;Vcage—保持架体积。

内圈质量的计算公式为:

mi=ρiVi

(10)

式中:ρi—内圈密度;Vi—内圈体积。

外圈质量的计算公式为:

mo=ρoVo

(11)

式中:ρo—外圈密度;Vo—外圈体积。

根据上面的计算过程,可得出轴承的总质量计算公式为:

mb=mball+mcage+mi+mo

(12)

2 多指标正交试验理论

2.1 多指标正交试验优化方法

正交试验法是一种基于正交表来研究多因素多水平优化问题的一种设计方法,具有均匀分散性和齐整可比性的特点,主要以数理统计学、概率论和实践经验为基础,在许多领域的研究中都得到了广泛应用。

利用标准化正交表,它可以科学合理地设计试验方案;根据正交性,从全部试验中选出部分有代表性和典型性的点进行试验,并对试验结果进行分析计算,从而了解全面试验的情况,最终快速找到优化方案[13]。

采用正交试验法进行设计时,由于都要依赖于正交表,于是,正交表的合理选用就成为进行正交试验设计的最重要环节[14,15]。

2.2 正交试验数值模拟仿真流程

根据以上分析,并结合多指标正交试验理论,笔者建立了轴承优化设计的正交试验数值模拟仿真流程图,如图1所示。

图1 正交试验数值模拟仿真流程

2.3 试验方案确定

2.3.1 轴承主参数和优化参数

笔者以某机器人RV减速器中常用的主轴承—薄壁角接触球轴承为例,研究轴承的多目标优化设计。

该轴承具有占用空间小、精度高等优点,其主参数为:内径d=82 mm,外径D=102 mm,宽度B=13 mm,接触角α=15°;

轴承工况参数为:转速n=1 000 r/min,轴向载荷Fa=800 N,径向载荷Fr=1 500 N。

需要优化的5个参数分别为:内圈沟道曲率半径系数fi、外圈沟道曲率半径系数fo、滚珠直径Dw、节圆直径Dpw和滚珠数z。

根据角接触球轴承的设计经验,轴承的内圈沟道曲率半径系数fi一般小于外圈沟道曲率半径系数fo,且满足0.51≤fi

滚珠直径Dw需满足以下约束条件:

(13)

经计算,笔者选取滚珠直径Dw的值为常用的6 mm、6.35 mm、6.5 mm(3个水平值);节圆直径Dpw就近选取92 mm、92.5 mm、93 mm、93.5 mm、94 mm(5个水平值)。

滚珠数z的约束条件为:

(14)

由公式(14)计算可得z≤36.5,故笔者选取28、30、32、34、36(5个水平值)。

2.3.2 试验方案设计

此处试验目的是在薄壁角接触球轴承满足一定寿命条件下,获得其较大接触刚度和较小质量的最优结构参数,即性能指标为接触刚度、接触疲劳寿命和质量。

根据此次试验要求,笔者选择对性能指标具有显著影响的5个结构参数进行正交试验。结构参数分别为:fi(因素A,5个水平)、fo(因素B,5个水平)、Dw(因素C,3个水平)、Dpw(因素D,5个水平)和z(因素E,5个水平)。

各因素水平值如表1所示。

表1 各因素水平值

笔者结合前面建立的轴承性能指标计算模型,基于MATLAB平台,分别对接触刚度、接触疲劳寿命和质量进行数值计算,得出3组数值模拟数据,即性能指标数据。

根据正交试验原理,笔者设计五因素混合水平正交试验方案L25(54×31),如表2所示。

表2 五因素混合水平正交试验方案

3 结构参数优化设计

3.1 极差分析理论

极差分析法(简称R法)又称为直观分析法,它包括计算和判断两个步骤的内容[17]。

极差分析法示意图如图2所示。

图2 极差分析法示意图第j列因素m水平所对应的试验指标的平均值;Rj—第j列因素的极差;折算后的极差

极差Rj的值可以用第j列因素各水平下平均指标值的最大值与最小值之差来表示,即:

(15)

极差Rj反映了第j列因素的水平值变化时,试验指标的变化幅度。一般情况下,每个试验指标下所对应因素的极差是不同的,极差Rj主要是反映了每个因素下所选取的水平对试验指标影响权重的大小[18]。极差Rj越大,说明该因素下所选取的水平对试验指标的影响权重越大,于是依据极差Rj的大小,可以判断出因素的主次关系。

当因素的水平数相同时,因素的主次顺序完全由极差Rj决定。但当因素的水平数不同时,直接比较极差Rj不理想,因为若两个因素对试验指标有影响,一般来说,水平数多的因素极差可能大一些。

(16)

式中:r—该因素每个水平试验的重复数;d—折算系数,与因素水平数有关。

其中:

r=n/m

(17)

式中:n—试验次数;m—水平数。

折算系数如表3所示。

表3 折算系数

3.2 极差计算和因素主次顺序确定

根据表2中的数据,以及公式(15,16),再利用MATLAB进行数值计算,可以得出试验的极差分析结果,如表4所示。

表4 试验的极差分析

续表

由于因素的水平不同,笔者根据表4中折算后的极差R′的大小,来确定各因素对各性能指标影响的主次顺序。

各因素对各性能指标影响的主次顺序如表5所示。

表5 各因素对各性能指标影响的主次顺序

由表5可以得出:对接触刚度影响最大的因素是内圈沟道曲率半径系数;对接触疲劳寿命影响最大的因素是滚珠直径;对质量影响最大的因素是节圆直径。

评价角接触球轴承的主要指标是:接触刚度K(越大越好),接触疲劳寿命L(越大越好),质量mb(越小越好)。

表6 初选各因素最优水平组合

在初选最优水平组合条件下的3个性能指标值如表7所示。

表7 初选最优水平组合的3个性能指标值

3.3 综合平衡分析法

由表6可知:

(1)对于接触刚度的各因素初选最优水平是A5B1C3D5E5,即fi=0.535、fo=0.52、Dw=6.5 mm、Dpw=94 mm、z=36;

(2)对于接触疲劳寿命的各因素初选最优水平是A1B2C3D2E5,即fi=0.515、fo=0.525、Dw=6.5 mm、Dpw=92.5 mm、z=36;

(3)对于质量的各因素初选最优水平是A2B5C1D1E1,即fi=0.52、fo=0.54、Dw=6 mm、Dpw=92 mm、z=28。

在不考虑试验因素间相互作用的一般情况下,分析所选取试验因素对试验指标的影响时,对于单试验指标,则正交试验所选取的各试验因素即为最优水平组合。

笔者选取了3个性能指标,属于多指标正交试验,且由上面分析得出3个性能指标的初选最优水平组合各不相同,需要综合考虑各因素水平对试验评判指标的影响,得出同时满足3个性能指标的最优水平组合,且最优的试验方案未必出现在所设计的试验组中。因此,笔者采用综合平衡分析法得出最优水平组合[19,20]。

对于因素A,3个性能指标的最优水平组合都不同,可结合表7试验结果进行比较分析,笔者从A1、A2、A5中选择最优水平。由于因素A对于接触刚度和寿命指标均是主要影响因素,因此,笔者先比较A1和A5,从中选出较优水平,将其再与A2比较,通过定量比较分析得出结果。

最终得到各因素的最优水平组合如表8所示。

表8 最终各因素的最优水平组合

续表

从表8可以看出:

选A1时,相比选择A5接触刚度下降8.955 3%,属于不利;接触疲劳寿命提高46.669 5%,属于有利;质量增加0.112 6%,属于不利。经综合考虑,A1有利的总比例大于A5,因此,笔者初选A1,再将其与A2进行二次比较;A2有利的总比例大于A1;最终,笔者得到A2是最优水平;

对于因素B,笔者采用同样的分析方法,即先比较B1和B5,从中选出较优水平,再将其与B2进行比较。由于选B1比B5不利比重较小,因此,在两者之中笔者选择B1,再通过与B2进行二次比较,最终得到B2是最优水平;

对于因素C,在接触刚度和寿命的最优组合中,均是C3为最优水平;在质量最优组合中,C1为最优水平;笔者通过对两者进行定量比较分析,得出C3为最优水平;

对于因素D,从D1、D2、D5中选择最优水平,由于因素D对于质量指标是主要影响因素,对于接触刚度和寿命指标均是次要影响因素,因此,笔者先比较D1和D2,从中选出较优水平,再将其与D5进行比较,经比较分析得出D5为最优水平;

对于因素E,在接触刚度和寿命最优组合中,均是E5为最优水平;质量最优组合中,E1为最优水平;笔者通过两者的定量比较分析,得出E5为最优水平。

4 最优设计方案确定

综上所述,在极差分析的基础上,笔者采用综合平衡分析法得出的最优水平组合为A2B2C3D5E5,即fi=0.520、fo=0.525、Dw=6.5 mm、Dpw=94 mm和z=36;

在该最优水平组合条件下,通过数值计算,可以得到3个性能指标模拟数值分别为接触刚度K=4.324 0×105N·mm-1,接触疲劳寿命L=2.121 8×104h,质量mb=247.036 6 g。

笔者将结果与表7初选最优水平组合的各性能指标值结果进行对比,得出以下结论:

(1)各性能指标的最优水平组合均偏重于对应性能指标的最优值,却忽略其他性能指标;

(2)采用综合平衡分析法综合考虑各性能指标的最优状态,得出平衡状态下的最优水平组合,既满足一定的寿命条件,且保证较高的刚度,同时兼顾轴承的轻量化,与机器人薄壁轴承的使用性能要求完全对标。

5 结束语

对于机器人用薄壁角接触球轴承而言,在满足其一定寿命的基础上,接触刚度是轴承第一性能指标,轻量化是其另外一个重要指标,为此,笔者以某机器人用薄壁角接触球轴承的结构参数为对象,建立了以接触刚度、接触疲劳寿命和质量为目标函数的优化数学模型,基于正交试验法,对轴承结构参数进行了多目标优化设计。

研究结论如下:

(1)该优化方法效率高,设定的目标更接近角接触球轴承的实际工况要求,可行性高;

(2)通过极差分析和综合平衡分析法可知,在工况参数为转速1 000 r/min、轴向载荷800 N、径向载荷1 500 N条件下,对轴承接触刚度影响最大的因素是内圈沟道曲率半径系数,对接触疲劳寿命影响最大的因素是滚珠直径,对质量影响最大的因素是节圆直径。

笔者根据各因素的影响主次顺序再对各因素水平下的性能指标结果进行了对比分析,最终得到了轴承的最优结构参数如下:内圈沟道曲率半径系数0.520、外圈沟道曲率半径系数0.525、滚珠直径6.5 mm、节圆直径94 mm和滚珠数36。该结构参数组合在接触刚度、接触疲劳寿命和质量3个性能指标中,找到了最优平衡点。

上述基于正交试验法的轴承结构参数多目标优化设计方法是高效可行的。但是,为了进一步提高该方法的分析精度,笔者在下一阶段将对该薄壁轴承进行正交试验方差分析,研究每个因素对轴承多个目标影响的显著程度,以便得到精度更高的结构参数。