岑健明

( 珠海市博杰电子股份有限公司， 广东 珠海519000)

在晶圆生产过程中，晶圆的边缘处理至关重要。由于晶锭材料被切割成晶圆后边缘处会产生锋利的崩边、棱角和裂缝等缺陷。通过对晶圆边缘进行磨边处理可使其边缘获得特定的轮廓形状，这样可以防止受到机械手等撞击而导致晶圆边缘破裂和污染粒子产生；防止热应力集中导致位错和层错缺陷产生；同时增加外延层和光刻胶层在晶圆边缘的平坦度[1]。全自动晶圆磨边机就是利用具有特定形状且带有金刚石涂层的磨边砂轮在高速旋转时的磨削能力，对晶圆边缘进行加工的自动化设备。为保证设备的加工精度高、良率高等特点，设备内的在线测量系统是非常重要一环。它可以完成在晶圆加工前的基准位置测量、晶圆加工过程中的轮廓尺寸检测以及加工后缺陷检测等多种自动检测功能，并可实现晶圆坐标系的自动调整、在线质量监控和误差补偿[2]。本文主要研究全自动晶圆磨边机加工过程中的晶圆平面度误差的在线测量方案，并且对测量数据进行最小二乘法评定，运用Matlab 数学处理软件，编制晶圆平面度误差评定算法程序，运行后得出的结果与实际值相比较，验证了程序的正确性。

1 全自动晶圆磨边机平面度误差在线测量方案

1.1 平面度误差在线测量方法

平面度误差是形位误差的主要指标之一，根据国际标准ISO 12781-2011 对平面度误差的定义，该误差是实测表面高度距离理想平面的偏差。目前平面度误差在线测量方法主要有接触式测量法、光学法和气动测量法3 种。接触式测量法是利用接触式位移传感器的触头与被测平面接触，按照选定测量路径，移动传感器测出各测量点相对于基准零点的偏离量，再经数据处理评定平面度误差的方法。光学法是指利用三角测距原理（或者白光干涉原理）按照选定的布点测量，移动传感器测出各测量点的高度值，得出最大距离值与最小距离值的差即平面度误差。气动测量法是指将探测头与被测平面之间的距离值转换成气流信号，按照选定的布点测量，得到的数据再经处理得出平面度误差的方法。由于接触式测量法中探测头与晶圆直接接触，探测头轻则会在晶圆表面处形成轻微的划痕，重则会导致晶圆碎裂而报废，这些情况在实际生产中是绝对不允许出现的。而在全自动晶圆磨边机加工过程中，设备内环境充满了水雾，会严重影响光学测量法的精度。相比之下，气动测量法在测量过程中对晶圆无损伤，且能够在恶劣环境下使用，测量精度高，所以气动测量法在全自动晶圆磨边机平面度误差在线测量上有明显优势。

1.2 测量点布点方式

通常在进行平面度误差在线检测时要在被测平面上布置适当形式的测量点，常用的布点方式有网格布点、对角线布点和环形布点3 种[3]。在全自动晶圆磨边机中只对晶圆边缘进行磨削加工，所以只需对晶圆边缘圆环进行平面度误差测量即可。图1 所示为全自动晶圆磨边机平面度误差测量布点图，其布点方式采用的是环形布点，假设等角度采样N 个点，测量圆周半径为R，圆周上第i个采样点与X 轴之间的夹角为φi；则第i 个采样点x 和y 坐标由式(1)确定：

图1 全自动晶圆磨边机平面度误差测量布点图

1.3 平面度误差的评定方法

平面度误差的评定方法常用对角线法、远三点法、最小包容区域法和最小二乘法4 种。对角线法是以通过被测平面上的一条对角线，且平行于另一条对角线所作的平面作为评定基准面，然后计算各测点与该平面的距离，则距离的最大值与最小值的差值即为平面度误差。远三点法是以通过实际被测表面上相距最远的不在同一直线的3 个点所组成的平面作为评定基准面，以平行于此基准面，且具有最小距离的两包容平面间的距离作为平面度误差值。最小区域法是以包容实际被测表面的最小包容区域的宽度作为平面度误差。最小二乘法是以实际被测表面的最小二乘平面作为评定基准面，以平行于最小二乘平面且具有最小距离的两包容平面间的距离作为平面度误差值[4]。但由于测量点选取具有偶然性，远三点法的评定结果不是唯一的，对角线法虽然评定结果具有唯一性，但测量精度不高。最小区域法评定结果产生的误差最小，精度最高但是因算法在计算机上运行时间长，不能很好满足全自动晶圆磨边机对软件需求。最小二乘法评定平面度误差比较客观，且当测量点较多时，在计算机上运行时间相比于最小区域法有优势。

2 最小二乘法算法原理

在xoyz 坐标系中建立一平面，其标准平面方程式为：

假设C≠0，由式(2)进行变换，则有，

设被测平面的最小二乘平面为z=ax+by+c，其中a、b、c 为平面方程参数；设被测平面上n 个测量点的坐标值为(xi，yi，zi)，i=1～n，则被测平面上的各测量点到最小二乘平面的距离为：

最小二乘平面的目标函数为：

根据极值定理可知，由于函数F 是非负二次式，最小值必然存在。使函数F 取得极小值的必要条件是对函数F 中的参数a、b、c 分别求偏导，并令偏导数等于0，便可求得最小二乘平面的平面方程参数a、b、c。

同理得：

将方程(7)～(9)化简整理得：

将其矩阵化可得：

可解得最小二乘平面方程系数a、b、c 为：

求出最小二乘平面方程系数a、b、c，即确定最小二乘平面后，可得到测量圆周上第i 个采样点(xi，yi，zi)到该理想平面的垂直距离si，如图2 所示。

图2 实际测量点到理想平面的距离示意图

由最小二乘法得出的平面度误差：

3 基于MATLAB 的平面度误差评定程序

Matlab 软件由美国MathWorks 公司出品的商业数学软件，常用于算法开发、数据可视化，数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。利用Matlab 强大的图形功能可以运用mesh 函数生成理想平面用网格状平面显示，再利用scatter3 函数显示各测量点坐标的散点图，程序如下：

clear;

clc;

close all;

P=importdata('test.xlsx');

x=P(:，1);

y=P(:，2);

z=P(:，3);

average_X = sum(x)/length(P);

average_Y = sum(y)/length(P);

average_Z = sum(z)/length(P);

average_XX = sum(x.*x)/length(P);

average_YY = sum(y.*y)/length(P);

average_ZZ = sum(z.*z)/length(P);

average_XY = sum(x.*y)/length(P);

average_XZ = sum(x.*z)/length(P);

average_YZ = sum(y.*z)/length(P);

A=[ average_XX average_XY average_X; aver age_XY average_YY average_Y; average_X average_Y 1];

B=[ average_XZ; average_YZ; average_Z];

abc=A^-1*B;

a=abc(1);

b=abc(2);

c=abc(3);

scatter3(x，y，z，'filled')

hold on;

xfit = min(x):5:max(x);

yfit = min(y):5:max(y);

[XFIT，YFIT]= meshgrid (xfit，yfit);

ZFIT=a*XFIT+b*YFIT+c;

S=z-a*x-b*y-c;

SMX=max(S);

SMN=min(S);

F0=SMX-SMN

mesh(XFIT，YFIT，ZFIT);

4 平面度评定算法程序在全自动磨边机上实际应用

在全自动晶圆磨边机中，采用的是非接触式气动测量法，它是以压缩空气为介质，将晶圆Z向的轮廓尺寸的变化量转化成流量或压力的变化量，精度高且避免因接触导致晶圆表面产生轻微划痕甚至有可能造成晶圆碎裂并具有自洁能力。全自动晶圆磨边机平面度测量系统结构图如图3所示。晶圆被真空吸附在机械转台上由X 轴移动到加工工位，气动测量测头安装在Z 轴上，由横梁Y 轴带着测头移动到需要磨边加工的圆周上，晶圆随着机械转台等角度转动，每转一个单位角度停顿一次，待测量点采样成功后，继续下一个单位角度的旋转直至旋转一周为止。

图3 全自动晶圆磨边机平面度测量系统结构图

表1 所示是以测量圆周半径为149 mm，等角度10°，旋转一周共采集36 组的晶圆Z 向轮廓测量数据表。

表1 晶圆Z 向轮廓测量数据表

将实际测量点集输入MATLAB 程序中，运行程序可得到最小二乘法拟合平面系数a、b、c 的值和平面度误差值以及相应的最小二乘法拟合平面可视化图，运行结果如图4 所示。

图4 运行结果及可视化图

对实际应用测量数据进行处理后，从结果可以直接看出用最小二乘法计算出来的平面度误差值与实际测量的值较为接近，相对误差均在3%以内，说明利用最小二乘法结合Matlab 进行平面度误差评定，求得结果具有较好的准确性。测试数据误差可能来源以下3 种情况：

（1）由于气路及气动变化部分引起的误差，压力采样及变化电路部分的误差、算法误差等都会引起气动测量仪的测量误差；

（2）机械转台的轴向跳动引起的测量误差；

（3）运动控制的定位误差引起的测量误差。

5 结束语

全自动晶圆磨边机采用非接触式的测量方法和晶圆等角度单圆周采样方案，并且运用最小二乘的评定方法进行晶圆的平面度误差评定。通过编写晶圆的平面度误差评定及其结果的可视化程序，其测量结果表明，该测量系统能够快速高效地评定晶圆的平面度误差，且测量误差较小，重复测量精度高，在全自动晶圆磨边机实际应用上有显著作用。