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高中数学解题中不等式的应用

2022-07-12徐天保

数理化解题研究·高中版 2022年6期
关键词:不等式解题高中数学

摘要:不等式是高中数学的重要知识点,在解题中有着广泛的应用.为提高学生的应用能力,教学中应做好不等式基础知识讲解,使学生真正地理解,牢固地掌握不等式的相关性质、结论等.同时,注重结合具体的习题为学生展示不等式在解题中的应用,给其带来良好的解题启发.

关键词:高中数学;解题;不等式;应用

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2022)16-0053-04

收稿日期:2022-03-05

作者简介:徐天保(1985.6-),男,安徽省怀宁人,硕士,中学二级教师,从事高中数学教学研究.[FQ)]

应用不等式可解答高中数学中的求最值、比较大小、求取值范围、证明结论等问题.常用的思路有:运用基本不等式、运用函数单调性、运用放缩法等.授课中除为学生讲解相关理论,提高其应用不等式解题的意识,还应做好相关的应用示范,使其积累相关的应用经验.

1 用于求最值

高中数学习题中的求最值无外乎求最大值、最小值,尤其遇到求单个参数的最值时通常分离参数,而后结合已知条件拼凑出基本不等式的形式,运用基本不等式求解.运用基本不等式求最值应确保其满足“一正二定三相等”,尤其不能生搬硬套,否则可能得出错误结果.

例1已知x,y为正实数且满足关系式x+y+3=xy,对任意的x,y均有(x+y)2-a(x+y)+6≥0恒成立,则实数a的最大值为.

该题不满足运用基本不等式的条件,此时需要运用函数性质进行突破.

解析因为正实数x,y满足关系式

x+y+3=xy,xy≤(x+y2)2,

所以x+y+3≤(x+y2)2.

即(x+y)2-4(x+y)-12≥0.

解得x+y≥6或x+y≤-2(舍去).

又因為(x+y)2-a(x+y)+6≥0恒成立,

所以a≤x+y+6x+y恒成立.

问题转化为求x+y+6x+y的最小值.

令t=x+y(t≥6),则f(t)=t+6t.

由对勾函数性质可知,其在[6,+∞)上单调递增,则f(t)min=7.

因此,a的最大值为7.

2 用于比较大小

运用不等式比较大小主要有两种思路:思路1,借助所学函数的单调性直接进行比较.思路2,构造出新的函数,运用导数研究其在对应区间的单调性,而后比较大小.其中思路2难度较大,教学中应注重为学生展示经典的例题,使其掌握相关的解题技巧.

例2设a=3π,b=π3,c=33,则a,b,c的大小关系为().

A.b>a>cB.c>a>b

C.a>b>cD.b>c>a

观察可知a和c,b和c可直接运用指数函数、幂函数性质进行比较.而比较a,b的大小,则需要构造函数,运用导数知识分析.

解析因为幂函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,而π>3,所以b>c.

又因为y=3x在R上单调递增,π>3,

所以a>c.

因为a=3π,b=π3,等式两边均取对数得到lna=πln3,lnb=3lnπ.

令f(x)=lnxx,则f ′(x)=1-lnxx2.

则当x>e时,f ′(x)<0,则f(x)单调递减.

即f(3)>f(π).

即ln33>lnππ.

即πln3>3lnπ,lna>lnb.

即a>b,所以a>b>c,故选C.

3 用于求取值范围

求解参数取值范围是高中数学中的重要题型.相关的习题情境复杂多变,解题思路灵活多样,其中从不等式视角切入有时会取得意想不到的效果,因此,高中数学授课中应做好该类题型的归类,与学生一起总结相关的解题思路.

例3已知x>0,y>0,x+12y+xy=4,则xy+1x2y2+2xy+17的取值范围为.

该题具有一定的技巧性,需要运用不等式知识构建新的不等关系,而后结合函数性质求出其最值.

解析因为x>0,y>0,x+12y+xy=4,

故x+12y+xy≥212xy+xy=2·xy+xy.

即(xy)2+2·xy-4≤0.

解得0

即1

故xy+1x2y2+2xy+17=1xy+1+16xy+1.

令t=xy+1,则f(t)=t+16t.

由对勾函数性质可知其在(1,3]上单调递减,则f(t)∈[253,17).

则原式的取值范围为(117,325].

4 用于证明结论

高中数学证明类的习题一般具有较大的难度,对学生的综合能力要求较高.其中证明不等关系时需要结合所学的不等式知识进行针对性的放缩.

例4在数列{an}中满足a1=3,an+1=2an+2.设bn=nan+2,其前n项和为Sn,证明:对任意的n∈N*,15≤Sn<45.

该习题以数列为背景考查了构造法、错位相减法、放缩法等知识,难度较大,尤其放缩时应结合证明的结论,把握放缩的度.

解析因为an+1=2an+2,

所以an+1+2=2(an+2).

而a1+2=5,所以{an+2}是以5为首项,以2为公比的等比数列.

an+2=5·2n-1,bn=n5×2n-1.

Sn=15(120+221+322+…+n2n-1),①

12Sn=15(12+222+323+…+n2n),②

①-②,得Sn=25(120+12+122+…+12n-1-n2n)

=25(1-12n1-12-n2n)

=45-15×n+22n-1<45.

又Sn+1-Sn=25(n+22n-n+32n+1)=25×n+12n+1>0,

则{Sn}单调递增.

即Sn≥S1=15.

综上对任意的n∈N*,15≤Sn<45.

5 用于解答新情境问题

新情境问题在高中数学测试以及高考中多有出现,能很好地考查学生迁移所学知识解决问题的能力.解答该类问题的关键在于对要求解的问题進行转化,化陌生为熟悉,尤其能够根据题干描述构建新的不等关系,运用不等式以及函数性质进行突破.

例5若两个函数y=f(x)和y=g(x)对任意的x∈[a,b]都有|f(x)-g(x)|>2,则称函数在[a,b]上是疏远的.

(1)已知命题“函数f(x)=x2+2x-1和g(x)=x-2在[0,1]上是疏远的”,试判断该命题真假,若为真命题请予以证明,若为假命题请举出反例;

(2)若函数f(x)=x2+2x-1和g(x)=x-2在[a,a+1]上是疏远的,求实数a的取值范围;

(3)已知常数c>1,若函数F(x)=12(cx-c-x)与G(x)=cx在[1,2]上是疏远的,求实数c的取值范围;

该习题创设的情境较为新颖,解题的关键在于吃透题意,并根据给出的新定义将问题转化为在特定区间求不等式的问题.

解析对于问题(1)根据给出的新定义,可知要想满足题意,则|f(x)-g(x)|>2在[0,1]上恒成立.即|x2+x+1|>2在[0,1]上恒成立.

因为y=x2+x+1=(x+12)2+34在[0,1]单调递增,ymin≥1,所以|x2+x+1|=x2+x+1≥1,其并不恒大于2.

因此,是假命题.例如当x=0时,|x2+x+1|=1<2.

问题(2)将问题转化为|x2+x+1|>2在[a,a+1]上恒成立,因为y=x2+x+1,Δ<0,所以问题转化为x2+x-1>0在[a,a+1]上恒成立.

令y=0,解得其两根分别为x1=-1-52,x2=-1+52,要想满足题意应有a+1<-1-52或a>-1+52,解得a<-3-52或a>-1+52.

问题(3)问题转化为|F(x)-G(x)|>2在[1,2]上恒成立,整理得到

|-12(cx+c-x)|=|12(cx+c-x)|>2.

因为cx>0,c-x>0,所以12(cx+c-x)>2.

即cx+c-x>4.

令H(x)=cx+c-x,取1≤x11,所以cx1-cx2<0,cx1·cx2>1.

所以1-1cx1·cx2<0,H(x1)-H(x2)<0,函数H(x)在[1,2]上单调递增,所以H(x)>H(1)=c+1c>4,解得c>2+3或c<2-3.

所以c的取值范围为(2+3,+∞).6 用于解决实际问题不等式在解决实际问题中有着广泛的应用.运用不等式解答实际问题时应注重充分吃透题意,通过认真审题把握相关参数之间的逻辑关系,构建对应的不等关系.

例6某企业研发部原有100人,年人均投入a(a>0)万元,现将研发部人员分成技术人员和研发人员,其中技术人员有x名(45≤x≤75),调整后研发人员的年人均投入增加4x%,技术人员的年人均投入为a(m-2x25)万元.

(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入,调整后的技术人员最多有多少人?

(2)是否存在实数m,同时满足:技术人员的年人均投入始终不减少;调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入?若存在求出m的值,若不存在,说明理由.

该题来源于生活.要想正确作答需要认真审题,从题干中抽象出相关参数的不等关系,运用不等式性质进行求解.

解析(1)根据题意可知,调整后研发人员有(100-x)人,年人均投入[1+(4x)%)]a.

由题意可知(100-x)[1+(4x)%)]a≥100a,解得0≤x≤75.

又因为45≤x≤75,所以调整后的技术人员最多有75人.

(2)因技术人员人均投入不减少,则有a(m-2x25)≥a,解得m≥2x25+1.

同时,研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入,则由(100-x)[1+(4x)%)]a≥ax(m-2x25),解得m≤100x+x25+3.

综上可得2x25+1≤m≤100x+x25+3.

因为100x+x25+3≥2100x·x25+3=7,当且仅当x=50时取等号,所以m≤7.

又因为45≤x≤75,x∈N+,当x=75时,2x25+1取得最大值7,所以m≥7.

综上可得存在这样的m满足题意,此时m=7.

高中数学教学中为使学生认识到不等式的重要作用,掌握运用不等式解答相关习题的思路与技巧,应注重与学生一起推导不等式的相关性质与结论.同时,优选经典习题,在课堂上为学生展示具体的解题过程,并鼓励学生做好听课的总结,更好地加深印象,牢固地掌握所学.

参考文献:

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秦秀红.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究[J].数学学习与研究,2021(13):2-3.

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[10] 汪建均.高中数学不等式应用及学习策略[J].试题与研究,2020(01):80.

[责任编辑:李璟]

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