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巧用平面几何性质 妙解圆锥曲线问题

2022-07-12林国红

数理化解题研究·高中版 2022年6期
关键词:解析几何圆锥曲线应用

摘要:文章通过例题展示一个平面几何性质在圆锥曲线中的应用,以此说明在解析几何中解析法与平面几何性质结合的重要性.

关键词:平几性质;解析几何;圆锥曲线;应用

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2022)16-0014-04

解析几何是用代数方法研究几何问题,解析法偏重于相关量的数量关系研究,由于代数运算复杂,对运算能力要求较高,往往使很多学生对解析几何题望而生畏.事实上,解析几何问题的本质仍是几何问题,若能充分把握解析几何中图形的特征,挖掘图形相应的几何性质,恰当地运用平面几何的相关知识进行求解,往往能简化运算,优化解题过程,能起到四两拨千斤的功效.

本文以几道考题为例,展示一个平面几何性质在圆锥曲线问题中的巧妙应用.

1 示例呈现与解析

题目已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,准线是l.

(1)写出点F的坐标和l的方程;

(2)如图1,已知点P(9,6),若过点F的直线交抛物线C于不同两点A,B(均与点P不重合),直线PA,PB分别交l于点M,N,求证:MF⊥NF.

解析(1)由题意得点F的坐标(1,0),l的方程为x=-1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1≠±6,

y2≠±6),AB直线方程为x=ty+1,

联立x=ty+1,y2=4x,得

y2-4ty-4=0.

于是y1+y2=4t,y1y2=-4.

由P(9,6),得kPA=4y1+6.

所以直线PA的方程为y-6=4y1+6(x-9).

令x=-1,得M(-1,6y1-4y1+6).

同理可得N(-1,6y2-4y2+6).

所以kFM×kFN=yF-yMxF-xM×yF-yNxF-xN

=9y1y2-6(y1+y2)+4(y1+6)(y2+6).

将y1+y2=4t,y1y2=-4代入,得

kFM×kFN=-1.

故MF⊥NF.

2 一个优美平几性质

从上述证明可以看出,示例的问题(2)用解析法证得结论,但运算量稍大,那么有没有更为简单的方法来解决呢?经探索,找到了一个极为简洁的证法.

先给出一个优美的平面几何性质作为引理:

引理若圆锥曲线C的离心率为e,焦点F所对应的准线为l,曲线C的弦AB所在的直线交准线l于点P.当点P在弦AB内时,FP平分∠AFB;当点P在弦AB外时,FP平分∠AFB的外角.

证明如图2,设点A,B在准线l上的射影分别为点A′,B′,连接AA′,BB′,则

AA′⊥l,BB′⊥l.

于是可得AA′∥BB′.

由圆锥曲线的统一定义,有

AFAA′=BFBB′=e.

即AFBF=AA′BB′.

由AA′∥BB′,易得△APA′∽△BPB′.

故有AA′BB′=APBP.

從而有AFBF=APBP.

由三角形的内(外)角平分线定理的逆定理,可得FP平分∠AFB(或FP平分∠AFB的外角,取决于点P在弦AB内还是外).

故引理得证.

示例问题(2)的证法2如图3,连接PF,并延长交l于点G.

由引理,可得FM平分∠AFG,FN平分∠BFG,且有∠AFG+∠BFG=180°.

故可得2(∠MFG+∠NFG)=180°.

即得∠MFG+∠NFG=90°.

所以∠MFN=90°.

于是有MF⊥NF.

证法2从平面几何的角度思考,借助引理,简化了推理和运算过程,具有直观、简捷、明快的特点,方法新颖独到.

证法2所用的引理在解析几何中有着广泛的应用,下面举例说明.3 性质在解析几何中的应用

例1(2021年1月全国统一适应性考试(八省联考)第21题)双曲线C:

x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)

的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.

解析由题可知双曲线C的方程为

x2a2-y23a2=1.

则双曲线C的右准线为

l:x=a2.

如图4,设双曲线C的右准线l与弦AB交于点P.

由引理,PF平分∠AFB,可得

∠BFA=2∠PFA.

注意到A(-a,0),F(2a,0),从而双曲线C的右准线l:x=a2恰好是AF的垂直平分线,故可得∠PFA=∠PAF.

即得∠PFA=∠BAF.

所以∠BFA=2∠BAF.

例2(2021年3月“燕博园考试”第21题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为B,直线m:x-y-1=0过椭圆的右焦点F,点B到直线m的距离为22.

(1)求椭圆C的方程;

(2)椭圆C的左顶点为A,M是椭圆位于x轴上方部分的一个动点,以点F为圆心,过点M的圆与x轴的右交点为T,过点B作x轴的垂线l交直线AM于点N,过点F作直线FE⊥MT,交直线l于点E.求的|BE||EN|值.

解析(1)由题知,椭圆C的方程为x24+y23=1,过程略.

(2)因为FE⊥MT,由垂径定理,易得FE是∠MFT的平分线.

设椭圆C的弦AM交椭圆C的右准线d:x=4于点P,右准线d:x=4与x轴交于点Q,如图5.

由引理,可知FP平分∠MFA的外角,

即FP平分∠MFT.

所以点P在直线FE上.

由NB⊥x轴,PQ⊥x轴,可得

△EFB∽△PFQ.

从而EBPQ=FBFQ=2-14-1=13.

即EB=13PQ.

可得△NAB~△PAQ.

从而NBPQ=ABAQ=46=23.

即NB=23PQ.

故有NB=2EB.

于是E是NB的中点,即BEEN=1.

所以|BE||EN|值为1.

例3如图6,设抛物线E与椭圆Γ有共同的焦点F,且f为焦点F所对应的共同准线,过椭圆Γ上一点M作椭圆的切线,且切线交抛物线E于A,B两点,则FM平分∠AFB.

证明如图7,在抛物线E中,由引理,可知FK平分FA与FB夹角的外角.

即FK平分∠BFG.

所以有∠BFK=∠KFG.

在椭圆Γ中,由引理,可知FK平分FC与FD夹角的外角,即FK平分∠DFH.

所以有∠DFK=∠KFH.

而∠BFD=∠DFK-∠BFK,

∠GFH=∠KFH-∠KFG,

故有∠BFD=∠GFH.

又因为∠GFH=∠AFC,

所以∠AFC=∠BFD.

于是当点C,D重合变成切点M时(如图6),即有∠AFM=∠BFM.

所以FM平分∠AFB.

4 小结反思

从上面例子可以看出,解答解析几何问题时善用平面几何知识,常常可以避开繁难的代数运算,简化解题过程,很好地揭示这些问题的几何本质,别样精彩.其中挖掘试题背后的有關几何性质是关键,这需要熟练掌握一些常见平面几何图形的性质,并将其与解析几何的特征量相结合,寻找问题解决的切入点与突破口.因此对于解析几何问题,要紧扣其中关键的几何要素,用平面几何知识去化解解析几何问题的难度,将解析法与平面几何法相结合,做到相辅相成、相得益彰,从而得到解决问题的最优解法,这不仅是解决解析几何问题的法宝,也是减少解析几何运算量的有效途径,还有助于打破学生学习过程中容易形成的思维定势,培养学生的发散思维,更好地提高解题能力.

5 练习巩固

最后提供一题作为练习,以加深体会该性质在圆锥曲线中的应用.

练习(2021年4月山东省高三第二次模拟考试第22题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,上顶点为D,过右焦点F(1,0)的直线交椭圆C于P,Q两点,点P在x轴上方,当PQ⊥x轴时,OP∥AD(O为坐标原点).

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设直线AP交直线BQ于点M,直线BP交直线AQ于点N,则∠MFN是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

答案(1)x22+y2=1;

(2)∠MFN为定值,且定值为π2.

参考文献:

[1] 林国红.同心圆锥曲线中两个命题的证明[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(11):33-35.

[2] 林国红.探究让考题更精彩——一道学考题的探究与思考[J].中学教研(数学),2019(04):24-26.

[责任编辑:李璟]

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