毛星波 盛冬发 朱军

摘 要：系杆拱桥成桥索力极大地影响着桥梁整体的最终受力状态。为使已有的索力确定方法能够有更佳的使用效果，笔者提出使用EGO算法对系杆拱桥成桥索力进行优化。本研究阐述了EGO算法核心部分的原理，并给出了其在索力优化中的数学模型和具体优化步骤。最后，通过工程案例对所提的方法进行验证，得出了其具有良好的索力优化效果的结论。本研究所采用的方法能给系杆拱桥索力的优化和已有索力确定方法的改进提供一定参考。

关键词：系杆拱桥;索力优化;EGO

中图分类号：U448.22      文献标志码：A     文章编号：1003-5168（2022）11-0013-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.11.002

Application of EGO Algorithm in Cable Force Optimization of Tie Arch Bridge

MAO Xingbo    SHENG Dongfa    ZHU Jun

（School of Civil Engineering， Southwest Forestry University，Kunming 650224，China）

Abstract：The cable force of tied arch bridge greatly affects the final stress state of the whole bridge.In order to make the existing cable force determination methods more effective，an EGO （Efficient Global Optimization） algorithm is proposed to optimize the cable force of tied arch bridges.The principle of the core part of EGO algorithm is described，and its mathematical model and specific optimization steps in cable force optimization are given.Finally， the method proposed in this paper is verified by an engineering case，and a conclusion is drawn that it has good cable force optimization effect.The method presented in this paper can provide some reference for the optimization of cable forces of tied arch Bridges and the improvement of existing determination methods of cable forces.

Keywords：tied-arch bridge;cable force optimization;EGO

0 引言

系桿拱桥成桥索力的确定是系杆拱桥设计中的核心，其不仅影响着桥梁整体的受力状态，也是后续计算吊杆施工张拉力与进行整体施工控制的前提和目标[1]。目前，已有大量的工程师和学者对系杆拱桥成桥索力的确定进行了优化研究，并提出了许多行之有效的方法。其中，被广泛应用的方法有弹性支撑连续梁法[2]、未知荷载系数法[3]、最小弯曲能量法[4]。虽然确定索力的方法多种多样，但每种方法都有其限定的适用范围。例如，弹性支撑连续梁法在系杆拱桥为对称结构时能取得较理想的索力，但在面对非对称结构时，其优化效果却不稳定。本研究在相关研究的基础上，结合已有的索力确定方法，提出一种比已有方法优化效果更佳的索力确定方法，以此来尽量弥补各种确定方法存在的不足。

本研究采用广泛应用于航空航天领域的EGO（Efficient Global Optimization）算法[5-6]来对系杆拱桥成桥索力进行寻优。笔者先阐述了EGO算法的基本原理，并给出系杆拱桥成桥索力优化的数学模型和具体操作步骤。为了验证EGO算法在索力优化中的实际应用效果，以某一工程案例为例，对本研究所采用的方法与已有的常用索力确定方法进行对比，结果显示本研究所采用的方法具有良好的索力优化效果。以上研究为系杆拱桥成桥索力的优化增添了一种新方法，也为已有的索力确定方法的改进提供了新思路。

1 EGO算法

EGO算法使用的函数可分为两个核心部分，即以Kriging代理函数为基础的样本拟合部分和以EI加点准则函数为基础的迭代寻优部分。

Kriging代理函数的核心思想是利用已知样本点的线性加权来获得未知点处的函数预测值[6]。在这个过程中，各已知样本点加权系数的求解是构建Kriging函数的重点。为计算各加权系数，将未知的Kriging函数看作是某个高斯静态随机过程的具体实现。该随机过程的定义见式（1）。

[y（x）=f（x）Tβ+Z（x）]   （1）

式中：[y（x）]为假设的实际函数，[f（x）Tβ]为Kriging函数的确定性部分，由基函数向量[f（x）T]与其权重向量[β]来表征函数的总体趋势;[Z（x）]为模型的概率性部分，代表函数的随机误差。

基于式（1）的假设，寻找Kriging函数最优加权系数，应满足式（2）（3）所示的预测均方差最小条件和无偏估计条件。9B178129-0589-4EEC-87E3-FCDD26843F0E

[MSE[（y（x）-y（x））2]=E[（wTY-y（x））2]] （2）

[E[wTY]=E[y（x）]]     （3）

式中：[wTY]为Kriging预测函数[y（x）]的具体表达，[wT]为各已知样本点的加权系数向量，[Y]为已知样本点响应值向量。式（3）则表示预测函数与实际函数的期望偏差为零。

根据上述假设与条件，采用拉格朗日乘数法，解得[wT]，得到Kriging函数具体表达式，见式（4）。

[y（x）=f（x）Tβ+r（x）Tγ]    （4）

式中：[β=（FTR-1F）-1FTR-1Y、][γ=][R-1（Y-Fβ）]，[FT]为已知样本集的基函数矩阵，[R]为已知样本点之间相关函数的矩阵，[r（x）]为预测点和已知样本点之间的相关向量。至此，设计空间内的任一样本点可由式（4）预测得到。

EI加点准则函数是结合Kriging预测函数[y]与目前已知最优样本信息[ymin]构造而成的，其具体表达见式（5）。

[E[I（x）]=（ymin-y（x））?（ymin-y（x）s（x））+s（x）ψ（ymin-y（x）s（x））]  （5）

式中：[y]、[s（x）]分别为预测函数[y]所服从的正态分布的均值、标准差，[?]和[ψ]分别代表标准正态累积分布函数和标准正态分布概率密度函数。

2 EGO在成桥索力优化中的应用

2.1 成桥索力优化模型

在系杆拱桥结构中，吊杆成桥索力的确定要使拱肋承受主要压力，避免因拱肋弯矩过大而出现拉应力。另外，也应满足各吊杆索力均匀，方便施工的原则。根据上述原则，本研究以拱肋最大弯矩绝对值为评价目标，求取使其最小的成桥索力。有系杆拱桥成桥索力优化模型见式（6）。

[VAR：f1， f2，...， fi，...， fnOBJ：min[Mmax]CON：f[d]

式中：VAR为优化模型变量，其由各吊杆索力值[fi]组成;[min[Mmax]]表示拱肋最大弯矩绝对值的最小化;[f[d]]、[f[u]]分别为各吊杆索力的下限、上限值，其值可参考由弹性支撑连续梁法确定的索力组合中的最小、最大索力值，也可在此基础上加上一定范围的正负波动，来扩宽寻优范围。

2.2 成桥索力优化流程

EGO算法应用于系杆拱桥成桥索力优化的流程如下所示。

①确定索力优化的变量，即式（6）中的VAR。对于左右对称的系杆拱桥，可只取半拱的系杆索力为变量。

②根据弹性支撑连续梁法来确定各变量的取值范围。

③借助拉丁超立方抽样方法，确定取值范围内的初始样本变量集。然后将其代入有限元模型中，得到各变量样本点对应的拱肋最大弯矩绝对值目标集，最终形成初始样本集。

④将初始样本集代入EGO算法中，得到EI加点准则函数。

⑤通过PSO算法对EI函数进行寻优，得到使EI值最大的变量样本点[Fnew]。

⑥将[Fnew]代入有限元模型，得到其对应拱肋最大弯矩绝对值[Mnewmax]，并判断其是否满足收敛条件。若不满足，将本步骤确定的新样本点加入初始样本集，并返回步骤④。若满足，则进入下一步骤。

⑦步骤⑥中確定的新样本点[Fnew]即为优化结果，迭代优化终止。

上述步骤⑥中收敛条件见式（7）。

[Mnewmax-MoldmaxMoldmax<1%]   （7）

式中：[Mnewmax]、[Moldmax]分别代表新旧循环中[Fnew]对应的拱肋最大弯矩绝对值。

3 系杆拱桥成桥索力优化案例

3.1 工程概况

本研究选取的优化案例为一跨长为65 m的系杆拱桥，其拱肋上等间距布置12条吊杆，具体尺寸、布置见图1中的立面图，图1给出了拱肋、风撑横断面的详细尺寸。拱肋、系杆、风撑和横梁皆采用C50混凝土，容重为25 kN/m3。吊杆使用Strand1570钢绞线，其弹性模量和容重分别为1.95×108 kN/m2、78.5 kN/m3。

3.2 工程优化案例

本研究选取的系杆拱桥为左右对称结构，故吊杆索力变量有6个。按照工程概况建立midas有限元模型，对模型使用弹性支撑连续梁法确定出索力变量取值范围为350～500 kN。通过拉丁超立方抽样和midas分析，得到30组初始样本。将初始样本集代入EGO算法，最终优化结果如表1所示。表1中索力1到索力6为图2中立面左半拱吊杆从左至右的吊杆索力，右半拱吊杆索力参照其对称设置。

将表1索力优化结果应用于midas有限元模型中，得到拱肋弯矩分布，将其与使用弹性支撑连续梁法的拱肋弯矩对比，如图2所示。

从图2可知，相较于现今常用的弹性支撑连续梁法，本研究所采用的EGO方法使拱肋弯矩最大值减小了约23.79%，弯矩最小值减小了23.22%。这说明经EGO算法优化后的拱肋弯矩分布更加均匀。

3.3 工程优化案例结果对比研究

在系杆拱桥设计中，吊杆成桥索力确定的方法除了弹性支撑连续梁法外，较为常用的还有未知荷载系数法和最小弯曲能量法。本研究所采用的EGO优化方法相较于弹性支撑连续梁法的效果更好。故将对EGO优化方法、未知荷载系数法、最小弯曲能量法的优化结果进行对比与探讨。

三种方法的应用对象为前文所述的案例。其中，未知荷载系数法的约束条件设置为拱肋弯矩为250～600 kN·m，最小弯曲能量法将拱肋、系杆、吊杆截面刚度面积设为扩大100 000倍。未知荷载系数法、最小弯曲能量法、弹性支撑连续梁法的索力优化结果见表2，文中所述的四种方法确定的拱肋弯矩见图3。9B178129-0589-4EEC-87E3-FCDD26843F0E

对表1和表2中的数据进行分析可知，弹性支撑连续梁法的索力优化结果不呈现左右对称的态势。这相较于其他三种方法，施工较为不便。另外，EGO优化方法、弹性支撑连续梁法、未知荷载系数法、最小弯曲能量法确定的最大索力与最小索力之间的差值分别为49.45 kN·m、95.35 kN·m、44.82 kN·m、154.77 kN·m。由此看出，EGO优化方法所得的索力分布相对较为均匀。

通过对图3分析可知，未知荷载系数法所对应的拱肋弯矩最大、最小值分别为335 kN·m、-185.1 kN·m，相较于EGO优化方法分别扩大了4.69%、13.98%。另外，由于最小弯曲能量法确定的拱肋弯矩最大值已远超其他方法，在[x=0]处的拱肋弯矩达到了1 059.1 kN·m，这说明该方法不适合用于本研究的工程案例索力确定。结合上述数据可知，在拱肋弯矩的整体分布上，EGO方法的弯矩最大值最小，同时波动幅度也最小。这说明EGO方法在系杆拱桥的成桥索力优化中有良好的应用效果。

4 结论

本研究对系杆拱桥成桥索力的优化问题进行研究，提出使用EGO算法对吊杆索力进行优化，给出了优化的具体数值模型和优化步骤，并通过一工程案例，对该方法的应用效果进行了验证和对比，得到了如下结论：①本研究采用的EGO法对系杆拱桥成桥索力有明显的優化效果，能使索力较为均匀分布，且使拱肋弯矩更加合理;②相比于现今常用的索力确定方法，本研究采用的方法有着良好的应用效果;③因初始样本集在一定程度上影响着EGO算法的最终优化效果，故推荐将现今常用方法的优化结果加入初始样本集，以此来加强EGO算法的优化效果。

参考文献：

[1] 戴杰，秦凤江，狄谨，等.斜拉桥成桥索力优化方法研究综述[J].中国公路学报，2019（5）：17-37.

[2] 陈德伟，范立础.确定预应力混凝土斜拉桥恒载初始索力的方法[J].同济大学学报（自然科学版），1998（2）： 120-124.

[3] LONETTI P，PASCUZZO A.Optimum Design Analysis of Hybrid Cable-stayed Suspension Bridges[J].Advances in Engineering Software，2014（5）：53-66.

[4] 袁鹏，李德建，陆尧，等.四索面钢箱梁斜拉桥合理施工状态确定方法[J].长安大学学报（自然科学版），2017（5）：49-55.

[5] 韩忠华.Kriging模型及代理优化算法研究进展[J].航空学报，2016（11）：3197-3225.

[6] HAN Z H，XU C Z，ZHANG L，et al.Efficient aerodynamic shape optimization using variable -fidelity surrogate models and multilevel computational grids [J].Chinese Journal of Aeronautics，2020（1）：31-47.9B178129-0589-4EEC-87E3-FCDD26843F0E