金毅

摘要：本文从概念层次、应用层次、拓展层次上对全概率公式进行解读.全概率公式是条件概率概念的延伸，应用的关键是对样本空间做好划分，它还可以描述动态的概率过程.同时，列举3道例题对公式的理解和应用做具体说明. 逐渐建立全概率公式从概念到应用的思路过程，拓宽全概率公式的应用视野，并详细说明应用过程中的细节问题.

关键词：全概率公式;概念;应用;拓展

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）19-0047-04

我们知道，“条件概率”是旧课标教材当中要求掌握的部分，新的课程改革在原有内容基础之上，增加了全概率公式与贝叶斯公式. 全概率公式在新版高中数学教材中被重点进行介绍，并具备“承上启下”的关键过渡作用，在表现形式上拓展了条件概率，同时也作为贝叶斯公式成立的理论基础. 所以，对全概率公式的掌握是至为重要的. 我们将由浅入深地从三个层次——概念层次、应用层次、拓展层次上对全概率公式进行解读，明确其概念和应用.

1 概念层次：全概率公式是对条件概率概念的继承和发展

2 应用层次：全概率公式应用的关键是对样本空间做好划分

3 拓展层次：全概率公式是描述动态概率过程的重要工具

经过刚才的分析，我们可以看到，全概率公式的理论基础是基于条件概率，条件概率在刻画事件之间的关系中更具备一般性.在一些数学问题中，全概率公式往往能够与数列递推式结合在一起，具体例子如同下面的例3. 这道题目很多同学和老师在解决以后都会存在一些疑惑：究竟题目中的递推式是怎么推出来的，如果不给这个递推式，根据题目中的已知信息，我们能自己推导出这个递推式吗？我们一起来看下面的分析.

例3（2019全国Ⅰ卷）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验，试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮治疗的结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得-1分;若都治愈或都未治愈均得零分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

这样题目中的表达式就被我们推导出来了，可以看到，本题就是基于全概率公式进行构造的. 同时，p_i的数值构成了一个新数列，所以，后续的处理是基于数列递推式的处理技巧，限于篇幅，我们不做过多分析. 但是，这说明了很重要的一点，就是随着i的变化，概率值也在发生变化，所以，这是一个动态的概率过程. 那么描述这个动态的概率过程的重要工具就是全概率公式. 所以，全概率公式在描述这样的问题时有非常便捷的作用. 如果把甲药的累计分数看作数轴上的点，那么每一次试验积分即相当于当前积分“向前”“向后”移动一个位置或者“不动”，这即是数轴上的“随机游走”问题. 我们不去过多介绍具体的理论背景，但是这种类似问题的突破关键就是“全概率公式”，我们可以用全概率公式来描述动态的概率问题.

4 总结与反思

全概率公式是目前高中数学新教材的新增内容，在新课标和新高考中必然会居于重要地位. 在学习中，要首先明确条件概率的概念和公式，在此基础上才能够对全概率公式加深理解. 进一步地，要学会划分样本空间，学会“执果索因”，才能够在一个具体问题中知道什么时候应用全概率公式，能够做到“理解并记忆”. 最后要明确全概率公式在一些更加复杂的问题中，可以描述动态的概率过程，明确其“工具性”，这样能够在实际问题中建立应用全概率公式的基本意识. 希望大家对全概率公式不再感到陌生，要敢用，会用，掌握好统计与概率，为后续进一步的学习开辟道路.

参考文献：

[1] 田晓兰.全概率公式在解题中的应用[J].数学学习与研究，2015（23）：100.

[2] 曹宇菁.全概率公式的推广及其应用[J].数学的实践与认识，2014，44（22）：305-308.

[3] 符方健.全概率公及其应用技巧[J].高等数学研究，2011，14（02）：52-55.

[责任编辑：李璟]