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多解提升思维,改编挖掘价值

2022-05-30梁亮亮

数学教学通讯·初中版 2022年7期
关键词:中考试题一题多解教学运用

梁亮亮

[摘  要] 广东省2021年学业水平考试的数学卷第23题是一道以正方形为背景的几何小综合题,考查的知识较多,包括正方形的性质、三角形全等的判定和性质、相似的证明和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等,题目的解法多样,可以从多个角度去研究. 文章从题目的解法入手,并对题目进行改编,力求提升学生的思维,挖掘题目的教学价值.

[关键词] 一题多解;改编创新;教学运用;中考试题

原题呈现

原题(广东省2021年学业水平考试第23题)如图1所示,在边长为1的正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE,将△ABE沿BE折叠后得到△FBE,BF交AC于点G,求CG的长.

解法赏析

1. 解法1:构造正方形双折叠图形,利用全等、相似等知识来求解

如图2所示,延长BF交CD于点H,连接EH. 由∠D=∠EFH=90°,ED=EF=EA,EH=EH?△EDH≌△EFH?∠HEB=∠HEF+∠BEF=∠DEF+∠AEF=(∠DEF+∠AEF)=90°?∠D=∠HEB=∠EAB=90°?△HDE∽△EAB?=?HD=?HC=.

由CH∥AB?===?CG=.

解法点评双折叠图形是常见图形,学生容易想到,全等和相似是常见的求线段长度的方法.

2. 解法2:构造正方形双折叠图形,利用勾股定理、相似等知识来求解

如图2所示,延长BF交CD于点H,连接EH. 由解法1得△EDH≌△EFH.

设HF=x,则HC=1-x,HB=1+x. 在Rt△HCB中,利用勾股定理可求得x=. 同解法1易求得CG=.

解法点评此方法的辅助线同解法1,求线段的长度是利用勾股定理和相似知识,这也是求线段长度的常用方法.

3. 解法3:构造相似图形,利用勾股定理、相似等知识来求解

如图3所示,延长BF交CD于点M,交AD的延长线于点N. 易证△NEF∽△NBA,所以==. 设NE=x,则NB=2x,NA=x+. 在Rt△NAB中,利用勾股定理可求得x=(舍去负值). 则NA=. 利用△NAG∽△BCG,可求得CG=.

解法点评此解法需要学生能构造出相似图形,再利用勾股定理、相似知识来求线段的长度,辅助线的作法也是常见方法.

4. 解法4:构造直角三角形,利用角平分线的性质、相似、勾股定理等知识来求解

如图4所示,过点G作GH⊥BC,垂足为H,作GN⊥AB,垂足为N,GN交EB于点M. 设NB=x,则GN=AN=1-x,MN=x,GM=1-x. 由=,可求得GB=2-3x. 在Rt△GNB中,利用勾股定理,可求得x=(舍去x=1),所以GH=. 所以CG=.

解法点评此解法需要学生利用角平分线的性质,再利用相似、勾股定理等知识来求线段的长度,解法不容易想到.

5. 解法5:构造“一线三直角”模型,利用矩形性质、相似等知识来求解

如图5所示,过点F作CD的平行线,交AD于点H,交BC于点M,交AC于点N. 易证△EHF∽△FMB,于是有===. 设EH=x,则HA=+x,FM=2x,HF=1-2x,MB=2-4x. 由HA=MB,易求得EH=,MB=,HF=. 于是可得CM=NM=,FN=HM-HF-NM=. 由FN∥AB,易得△FNG∽△BAG, 所以==. 由NC=,AC=,易得NG=,从而求得CG=.

解法点评此解法需要学生构造出“一线三直角”模型,再利用相似知识来求线段的长度,辅助线比较难想到,解法也较难.

6. 解法6:构造全等、相似图形,利用全等的性质、相似等知识来求解

如图6所示,设AC与BE交于点H,连接FH,由△EAH∽△BCH,易得=,进而可推出AH=,HC=. 易证HF=AH=,∠GFH=∠BAH=∠GCB=45°, 从而可推出△GFH∽△GCB,于是得到==, 即==, 可求得CG=.

解法点评此解法需要学生运用两次相似知识,解法不容易想到.

7. 解法7:建立适当的平面直角坐标系,利用两点间的距离公式来求解

如图7所示,以A为原点,构造平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),E(0,0.5). 设F(a,b),则由两点间的距离公式可得EF==0.5,FB==1.于是可求得F

,直线FB的解析式为y= -x+. 再结合直线AC的解析式y=x,可求出G

,于是可求得CG=.

解法点评此解法需要学生建立适当的平面直角坐标系,并会用两点间的距离公式,对学生的能力要求较高.

8. 解法8:建立适当的平面直角坐标系,利用相似、解析法等知识来求解

如图8所示,过点F作CD的平行线,交AD于点H,交BC于点M. 参照解法5,易求得点F的坐标为

,,进一步可求得CG=.

解法点评此解法需要学生建立适当的平面直角坐标系,并会用解析法进行解决,对学生的能力要求较高.

上述解法,解法1到解法6都是构造相似图形,利用相似知识来求解;解法7和解法8则通过建立适当的平面直角坐标系,用解析法来求解. 本题还可以尝试利用三角函数的倍角公式来求解,但超出了初中生的知识范畴,故这里不做解析.

幾点思考

1. 从命题的角度:挖掘题目的价值

本题是几何小综合题,考查的知识较多,包括正方形的性质、三角形全等的判定和性质、相似的证明和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等,考查的数学思想方法有转化、数形结合等,综合考查了学生的能力,难度较大.

题目条件较简洁,图形明了,观察图形后发现CG不在特殊的三角形中,图中没有包含CG的相似图形,也难以求出AG的长,所以不能利用现有的图形直接求出CG的长度,需要作辅助线,但辅助线如何作,是本题考查的难点.

从学生的答题情况来看,本题某市的平均分仅为0.5分,难度系数为6.25%,近95%的学生得0分或1分(超60%的学生得0分),可想本题的难度. 学生不能得分的原因主要是本题的入口较难,不会作辅助线,无从下手. 为了便于日常教学,笔者尝试对本题进行如下改编.

改编1如图9所示,在边长为1的正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE,将△ABE沿BE折叠后得到△FBE,BF交AC于点G,BF的延长线交CD于点H,连接EH.

(1)证明:∠HEB=90°;

(2)求CG的长.

改编2如图10所示,四边形ABCD为矩形,E为AD的中点,AD=4,AB=3,连接BE,将△ABE沿BE折叠后得到△FBE,BF交AC于点G,BF的延长线交CD于点H,连接EH.

(1)证明:∠HEB=90°;

(2)求CG的长.

改编意图上述改编不需要学生作辅助线,降低了入口的难度,让学生可以动笔;将一个小问拆成了两个小问,降低了本题的整体难度,便于学生日常训练.

2. 从教学的角度:落实怎么想,注重基础,强化思想

(1)落实怎样想

在几何解题教学中,教师既要教会学生怎样做,又要教会学生怎样想,做到授人以渔. 教学中,教师可选择一些有意义且难度不大的问题,通过一题多解,向学生展示分析问题之道,让学生学会思考和分析,在选择解题方向时不再盲目.

(2)注重基础

在分析和解决原题的过程中,我们发现原题涉及正方形的性质、全等、相似、勾股定理等基本知识. 对历年的中考难题进行分解后我们发现,它们都是由基本问题、基本图形通过变换、组合而形成的,因此,在平时的教学中,教师要高度重视基础知识和基本内容的落实.

(3)强化思想

解决原题用到了转化、数形结合等思想方法,其中转化思想方法是应用最广泛的数学思想方法之一,将未知量转化为已知量是破题之法. 在教学中,教师应有意识地向学生渗透转化思想,这样能提高学生分析问题的能力. 除此之外,模型、化归、类比等思想方法,是附著于数学课程内容而存在的,因此在平时的教学中教师可以有意识地渗透各种数学思想,以培养和提升学生的思维能力.

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