周荣伟

摘要：“一题一课”理念可以合理地运用到单元起始课中，体现单元教学的整体性、联系性以及深度。运用“一题一课”理念，设计并实施了苏科版初中数学七年级下册第10章《二元一次方程组》的起始课：从一道数学试题出发，通过“一元”“二元”两个角度的解题探索，让学生主动类比建构二元一次方程组的模型，并应用这个模型解决变式与逆向问题，从而揭示全章的主题，点明研究的基本方法。这样的教学实现了从“由外而内”到“由内而外”的融通、从“单一课时”到“单元整体”的联通、从“浅层学习”到“深度学习”的贯通。

关键词：《二元一次方程组》;章起始课;“一题一课”

目前，“一题一课”型复习课（以某道题目——最好是以中、高考试题为背景，聚焦某个主题、串联几个话题展开教学的复习课），因能彰显内容的整体性、联系性以及学习的深度，克服数学教学中普遍存在的知识碎片化、方法单一化以及认识表层化问题而备受关注。其实，从单元教学的角度看，“一题一课”理念，也可以合理地运用到单元起始课中——通常，起始课和复习课是最能体现单元教学整体性、联系性以及深度的课。

最近，笔者在一次市级教研活动中，运用“一题一课”理念，设计并实施了苏科版初中数学七年级下册第10章《二元一次方程组》的起始课，取得了较好的效果。下面呈现这节课的教学设计与思考。

一、教学设计

（一）益智导入

出示题目：如图1，在长方形ABCD中，放入5个形状、大小相同的小长方形（空白部分），其中AB=7 cm，BC=11 cm，则阴影部分图形的总面积是（）

A. 18 cm2B. 21 cm2

C. 24 cm2D. 27 cm2

（二）启智助学

获得“对象”：设小长方形的宽为x cm，则长为（7-x）cm或（11-3x）cm，得7-x=11-3x。这个方程只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，所以是一元一次方程。

研究“对象”：根据方程的解的定义（能使方程两边的值相等的未知数的值），用枚举法合情推理，可求得方程的解为x=2;用一般法（等式的性质）演绎推理，亦可求得方程的解为x=2。

应用“对象”：可以求得每个小长方形的边长分别是2 cm、5 cm，面积是2×5=10（cm2），从而求得阴影部分图形的总面积是7×11-5×10=27（cm2），故选D。

回顾总结：用方程模型解决实际问题的一般过程如图2所示。

（三）培智探究

获得“对象”：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，可列出两个方程x+y=7，3x+y=11。观察发现，这两个方程都含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1。类比一元一次方程的定义，给出二元一次方程的定义。由于小长方形的长和宽的值必须同时满足这两个方程，因此，要把这两个方程联立在一起，写成x+y=7，

3x+y=11。由此给出二元一次方程组的定义。

研究“对象”：类比一元一次方程解的定义，给出二元一次方程解的定义。用枚举法，得到x+y=7的整数解如表1所示，3x+y=11的整数解如表2所示。用一般法（等式的性质），把两个方程分别写成用含一个字母的代数式表示另一个字母的形式（即把一个字母看作已知数，解关于另一个字母的一元一次方程），如y=7-x，y=11-3x。观察发现，这两个式子中，对x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。由此渗透函数思想（“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”）。比较两种解法，都可发现，二元一次方程的解通常有无数个。

基于二元一次方程组的定义，得到二元一次方程组解的定义（公共解）。用枚举法，从表1和表2中（结合变化趋势）可以看出，x=2，

y=5是x+y=7，

3x+y=11唯一的解。用一般法（等式的性质），将y=7-x代入3x+y=11，得3x+7-x=11，解得x=2，将x=2代回y=7-x，得y=5，故x=2，

y=5;或将3x+y=11与x+y=7左右两边分别相减，得2x=4，即x=2，将x=2代入x+y=7，得2+y=7，即y=5，故x=2，

y=5。比较总结，前一种方法通过代入消去一个未知数，转化為一元一次方程，称为代入消元法;后一种方法通过相加或相减消去一个未知数，转化为一元一次方程，称为加减消元法。

应用“对象”：同建立一元一次方程模型的情况。

（四）增智应用

出示变式1：某球员在一场篮球比赛中共得35分，其中两分球得24分，如果这名球员投中的三分球和罚球共7个，那么他投中的三分球、罚球各几个？试列出方程组。（设这名球员投中了x个三分球、y个罚球，可以得出方程组3x+y=11，x+y=7。）

出示变式2：甲、乙两人加工零件，各做1 h，共加工7个零件;甲做3 h，乙做1 h，共加工11个零件，则甲、乙两人每小时各加工多少个零件？试列出方程组。（设甲、乙每小时各加工x、y个零件，可以得出方程组x+y=7，3x+y=11。）

出示逆向问题：一个二元一次方程组常常可以有不同的实际意义，你能给出方程组x+y=7，

3x+y=11的一个实际意义吗？（例如：小明去超市购买圆珠笔和本子共7件，共付11元，已知圆珠笔3元/支，本子1元/本，则圆珠笔和本子的单价各是多少元？再如：甲、乙两人从相距11 km的A、B两地相向而行，已知甲走3 h、乙走1 h后两人相遇，且他们的速度和是7 km/h，则甲、乙两人每小时各走多少千米？）

（五）育智归理

明确本章主题：从“一元”到“二元”，建立了新的数学模型;从“二元”到“一元”，用转化的方法解决了这个问题。

搭建本章知识框架：如图3所示。

把握本章研究路径：（1）获得对象（来自哪儿）——数学抽象（用数学的眼光观察现实世界）;（2）研究对象（有何特征）——数学推理（用数学的思维思考现实世界）;（3）应用对象（去向何方）——数学建模（用数学的语言表达现实世界）。

二、教学思考

（一）从“由外而内”到“由内而外”的融通

本章第一课时的教学通常是通过丰富的问题情境，建立二元一次方程（组），让学生感受到二元一次方程（组）也是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达。这是一种“由外而内”的学习探索过程。而本节课运用“一题一课”理念，从一道数学试题（江苏省无锡市惠山区2021—2022学年七年级上学期期末考试第8题）出发，通过从不同角度（“一元”“二元”）的解题探索，让学生主动类比建构新的数学模型（二元一次方程组），并用这个模型解释现实情境（解决变式与逆向问题）。这是一种“由内而外”的学习探索过程，有利于培养学生的理性精神和创新能力。其实，教材对本章的总体设计思路是，在学生掌握一元一次方程有关知识的基础上，分三个部分展开：从问题到方程组、解方程组、用方程组解决问题，即“由外而内”获得对象、内部研究对象、“由内而外”应用对象。因此，本节课实现了从“由外而内”到“由内而外”的融通。

（二）从“单一课时”到“单元整体”的联通

本章第一课时的教学还常常过分强调局部的课时目标：经历分析实际问题中数量关系的过程，进一步体会二元一次方程（组）也是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达;了解二元一次方程的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程的解。这样的教学“只见树木、不见森林”，导致学生得到的只是零散的、碎片化的知识以及单一课时的能力，没有发挥章起始课的统领作用，不能体现《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调的数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性。而本节课揭示了全章的主题，同时点明了研究二元一次方程组的基本方法——消元。这样的教学追求的是核心知识、思想方法、问题解决能力的结合;注重学习结果的可迁移性，即举一反三、触类旁通。因此，本节课实现了从“单一课时”到“单元整体”的联通。

（三）从“浅层学习”到“深度学习”的贯通

目前很多数学课堂中，学生实际上都只是在进行浅层学习：列一列方程（组）、说一说定义、算一算方程（组）的解。这样的学习往往是死记硬背、机械模仿的“心不在焉”、缺少理解的学习。而本节课通过益智导入、启智助学、培智探究、增智應用、育智归理等五个环节，让学生在教师的引领下，围绕着具有挑战性的学习主题（“二元”模型），全身心积极参与，体验成功，获得发展，实现深度学习。这样的教学犹如太湖石的艺术美：既有“廋”的简约（一题一课）、“皱”的生动（从“一元”到“二元”），又有“漏”的留白（如何消元）、“透”的深刻（从内涵到价值）。这也是新课标背景下指向学生核心素养培育的“深度学习”应该有的样态：一是回归课堂的“生活”本真，尊重学生“安静读书”“专注思考”“完整表达”“规范操练”的权利;二是强化课堂的有效“生成”，确立对话关系，构建对话文化，创设对话情境，搭建对话平台，在对话中生成最佳的教学话题、思维路径和解决问题的方式方法;三是塑造课堂的鲜活“生命”，注重多种学习方式的综合运用，注重个性和品质塑造，注重思维和精神成长，使课堂充满智慧和灵性。因此，本节课能实现从“浅层学习”到“深度学习”的贯通。