颜寿春

［摘  要］ “发展思维”是数学核心素养培养的根本要求。六年级上册第五单元“圆”内涵丰富，承载着深厚的文化元素。通过这个单元的学习，能有效促进学生“直观想象、逻辑推理、抽象、建模、运算”等思维能力的培养。然而从后测可知，学生对这一单元的掌握普遍不理想，究其原因是“思想方法”和“求联思维”没有很好地落实。文章试从“整体设计，分散难点”“品味文化，感悟思想”“共性规整，模型求联”“梳理融汇，提升能力”四个方面，探寻学生思维能力的培养，进而促进学生核心素养的发展。

［关键词］ 单元整体；数学文化；思想方法；思维发展

六年级上册第五单元“圆”内涵丰富，承载着深厚的文化元素，通过这个单元的学习，不仅能加深学生对周围事物的理解，激发学习数学的兴趣，也为后续研究圆柱、圆锥相关知识奠定了基础。探究圆的知识，还要用到“转化、极限”等思想方法，能有效促进学生“直观想象、逻辑推理、抽象、建模、运算”等能力的发展［１］。

一、整体设计、分散难点

由于“圆”是小学数学平面图形中唯一一个曲线图形，从直线图形到曲线图形，学生的知识结构进入了一个新的领域，研究问题的方式需要进行迁移与创新，再加上本单元概念多、公式杂、题目灵活多变，教师需从学生认知特点和规律出发，“整体设计单元教学，稳扎稳打有序推进”，以下便是本单元调整补充后的整体设计（表1）。

二、品味文化，感悟思想

在“数学文化”的大背景中进行数学教学，能让学生在追根溯源中明白知识的来龙去脉［２］。

本单元有三处承载了数学文化，一是《墨经》中记载的“圆，一中同长也”，二是《周髀算经》中的“圆出于方”和“周三径一”，三是刘徽的割圆术。从文化的高度研究数学课堂，对这些数学史料进行再加工、再创造，还原知识形成的过程，把知识的科学性和文化性有机融合，可以让数学与学生更加紧密联结。

1. 对比操作，理解“一中同长”

在认识圆的特征时，按照概念形成的4个阶段：“认识阶段、分析阶段、构建阶段、应用阶段”设计教学过程，能让学生充分理解概念的本质［2］。认识阶段：从六千年前人类制造的史上第一个圆形轮子，引出“为何轮子都是圆的”？学生交流之后验证，尝试用直尺、线绳、圆规3种不同的方式画圆，找到共同点。教师顺势引出2000多年前墨子的“圆，一中同长也”。分析阶段：“一中”指一个中心，“同长”指圆上每一个点到中心的距离相等。构建阶段：结合圆的各部分名称和特点，让学生体会“一中同长”，再与正三角形、正方形、正五边形等正多边形比较，进一步理解“一中同长”，得出“边的数量越多，中心点到顶点和边的距离越来越接近，但始终不相等，直至变成一个圆，才有与中心点等距”的特征。应用阶段： 学生运用圆的特征解释本课开始时提出的“輪子为什么是圆形的”，再讨论“窖井盖为什么是圆的”。

2. 猜想验证，推理“周三径一”

在教学圆的周长时，教师让学生自由猜想怎样得到圆周长，圆周长怎样计算，然后出示正方形里一个最大的圆，圆内再画一个正六边形，让学生直观感受到“C正六边形

3. 引导迁移，探究“化曲为直”

圆的面积公式推导中，“化曲为直”的思想是核心。首先，学生借助经验，发现“数方格”这一方法的不足，进而提出“怎样将圆转化成学过的图形”。在对平行四边形等平面图形推导过程的回忆后，学生领悟到用“新知转化成旧知”的方法去迁移学习新知。圆和哪个熟悉图形可以建立联系？将目标聚焦到正方形上，接着引导学生猜想面积的倍数关系。第三环节是验证猜想，通过小组合作，在剪一剪、拼一拼的动手操作中，把圆不断地平均分，转化成长方形来思考，学生亲历“转化”的过程，进一步内化了“化曲为直”的思想方法。

4. 精准演绎，支撑“极限思想”

圆的面积推导过程中，学生对于“平均分的份数（偶数份）越多，拼成的图形越接近长方形”这样的表述理解有困难，此时，教师要借图形软件助力精准演绎，为学生提供强有力的视觉支持，让学生清楚地看到：把圆动态平均分成4份、8份、16份、32份……拼成的图形就越接近平行四边形。并将这个过程用数学语言进行精准表达，如：因为长方形的长是圆周长的一半，即πr，长方形的宽是圆的半径，即r，长方形的面积等于长×宽=πr×r，所以，圆的面积=πr×r=πr2。这时教师要适时板书，帮助学生更清楚地理解转化过程。

三、共性归整，模型求联

数学上的求联，是对数学学习的诸多元素，通过主动建构联系，由已知熟悉的概念联想到相关的概念，并根据一定的维度关系进行组合与排列，构成一个稳定的模块储存于学习者的认知库里。本单元基于求联的学习方式，能有效减轻学生的学习负担，促使“四基”整体提升。

1. 去伪存真，情境求联

教师要设计题组让学生在解决实际问题的分析、比较中更进一步加深对知识的理解。例如：“在一个半径为5米的圆形花圃，围一条宽为3米的环形石子路。这条环形路的面积是多少平方米？”“一个半圆形水池半径是8米，直径增加2米，水池面积增加了多少平方米？”“分针走一圈与时针走一圈，针尖扫过的面积相差多少平方厘米？”［3］把这3个实际的场景抽象之后，其实就是同一个数学模型——环形，只需要运用求环形面积的知识来解决这个问题就可以了。教师还可以布置课后作业，让学生自己设计同一模型下的不同情境题目，提高对题目结构化的把握和分析归纳能力。

2. 等价转换，相似求联

相似求联，是指当遇到一个不熟悉的问题时，会通过联想将它变成一个自己熟悉的的问题，继而使问题得到解决。这对学生来说是有一定难度的，因为相似求联并没有固定的策略与方法，它需要通过对具体问题的具体分析、深入剖析，精准提取已有知识体系中的相对应概念，才能实现由陌生到熟悉的相似转换。教师要设计相似题组对比练习，让学习者看到此类图形会自然进行联想。

如图1、图2，外面圆的周长与里面小圆的周长之和相比较，哪一个长？

如图3，从点A到点B，沿着大圆走和沿着中、小圆走的路程相同吗？

如图4，比较大圆周长、小圆周长之和、长方形周长的大小。

以上3例其实是等价题组，都是外圆周长等于直径上所有相切圆周长之和。再如下图（图5）所示，在相同的正方形内画圆，每个正方形内的圆形面积总和都是相等的。教师精心设计题组对比练习，引导学生通过猜测、验证，得出相等结论，有利于培养等价联想能力。

3. 旋转平移，构图求联

构图求联，意指在分解组合图形时，看清由哪几个基本图形组合起来的，或是从哪一个基本图形里去掉哪一个或几个基本图形得到的，或借助旋转、翻转、平移、分割、拼补、添辅助线等方法化难为易，从而找出解答的方法。

如图6：已知图中阴影部分面积，求圆环面积。

如图7，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？

如图8，3个圆的半径都是10cm，3个圆两两相交于圆心，求阴影部分的面积和。

4. 对比想象，动态求联

动态求联，意指让静态的图形通过想象、画图等方式联系起来，形成习题模块，寻求解法上的共通点，形成同一解决策略，感受习题模块“万变不离其宗”的内在魅力，同时在变化中，发展空间观念，感受数学之美［４］。如以下3例通过化静为动的想象和对比，就能发现属于同一模块的知识，都是以系绳处为定点圆心，小动物活动的范围就是以定点到小动物之间的距离为半径的数个面积之和，同时注意有序思考，不遗漏不重复。

例1  草场上有一个长20米，宽10米的关闭着的牛圈，圈的一角用长30米的绳子拴着一只牛，这只牛的活动范围有多大？

例2  一只小狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上，绳子长是4米，求小狗所能到的地方的总面积。

例3  一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处拴着一只小狗，四周都是空地。绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置。小狗的活动范围是多少平方米？

四、梳理融汇，提升能力

在对圆形特征、圆周长与面积的探究中，学生头脑中已初步形成了新的认知结构网，这个认知网络初具雏形，但它还不够合理、准确、牢固，如果要让学生在面临各种情况时，准确地从认知网中提取出想要的信息和策略并顺利解决这些问题，还需要教师的引导与帮助，形成提纲挈领的思维链，让学生领悟到解决某一类问题的基本方法和基本策略， 从而真正意义上实现减负提质，高效学习。

1. 顺逆互推，打造逻辑力

逆向思维的培养能激发学生对数学的学习兴趣，这个单元的逆向思维的运用主要体现在对计算公式的逆向运用上。例如，已知圆的周长，求圆的面积，必先求出圆的半径，就需要逆向使用计算公式C=2πr。再如，已知半圆的周长，求半圆的面积，对逆向思维能力的要求就更高了。此时，列方程解答，可以减小逆向思维的难度，顺利解出这类逆向思维的题。对于逆向思维能力较强的人，可以直接由计算公式C=2πr，得到r=C÷2π或r=C÷（2×π），根据半圆周长=πr+2r，得到r=半圆周长÷（2+π）。

2. 深挖关系，培养学习力

圆周长、面积的变化规律，就是因为半径这一要素引发的，教师还要提醒学生注意，判断面积的变化时，要关注半径的平方。而圆形与其他图形的关系，关键是要找半径与其他图形长、宽或高、底的联系，通过转化将两个或三个图形打通，计算出面积或周长，同时鼓励学生尝试将关系网进行梳理整合，形成思维导图或大纲、表格（表2），最后全班交流，形成规范合理、科学有序的关系网，逐渐培养学生的整理能力，提升自主学习能力。

3. 提纲挈领，形成思维链

与上面提到的关系推理一样，本单元公式众多，若不加以及时整理，学习效率会大打折扣。

此时，教师可以布置任务：本单元用到了哪些公式？你能将这些公式分类整理成表格吗？（表3）值得注意的是，当下思维导图非常盛行，但是对于数学学科的整理，表格有其先天的优势，它便于横向比较、纵向递进，有利于进一步理解和掌握知识之间的内在联系与特征。

4. 找寻诀窍，提高运算力

有研究表明，近十几年来，中小学生的计算能力较之以往的同龄学生大为下滑，原因主要是由于新课程对于计算技能要求降低了，由此带来的问题就是在“圆”单元的计算中，尤其是计算面积时，学生耗时耗力且错误频发。例如学生在完成关于圆环的作业时，时间花费是以往同量作业的至少两倍，且计算无差错的屈指可数。此时，教师是选择较简单的数据降低计算难度还是恶补计算以提高正确率？显然都不是最佳选择。教师应引导学生分析问题、发现问题并解决问题，即记住常用π值结果：1π到9π、16π、25π、36π、64π、96π，以及常用平方数结果：11到19的平方數，这样就能减轻计算量，提升计算正确率。

借助“圆”单元的整体教学实践，笔者深感数学学科教学不应拘泥于一课一题，应以“发展思维”为目的，以培养“核心素养”为终极目标，尽力挖掘数学本身承载的“文化元素”“思想方法”，基于学生立场大视域、高角度地对教材、教学方式进行调整与变革，在每一节“求联求通”的课堂教学中，让学生实现知识体系的自主建构，在充满人文关怀的探索中，提升自身的核心素养。

参考文献：

［１］  中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）［Ｍ］. 北京：北京师范大学出版社，２０１２.

［２］  董毅. 数学思想与数学文化［Ｍ］. 合肥：安徽大学出版社，２０１２.

［３］  潘旭东. 思维发展：数学核心素养培养的基点［Ｊ］. 小学数学教育，２０１７（Ｚ１）：９－１１.

［４］  陈建珍. 求联，让练习设计从“形式”走向“实质”——以“圆的面积”练习设计为例［Ｊ］. 教学月刊小学版（数学），２０１８（Ｚ１）：９２－９４.