张 尧，宋志刚

(1.昆明理工大学 建筑工程学院，昆明 650000；2.曲靖师范学院 应用技术学院，云南 曲靖 655000)

楼梯是建筑中重要的垂直交通系统，其设计和建造在满足承载能力的要求下，逐渐向着轻质、高强和美观方向发展，这使得一些大跨度楼梯容易在人致荷载作用下产生过大振动，面临振动舒适度问题[1-9]，而楼梯上人致荷载的观测则是进行相关分析和验算的基础。

Kerr等[10]和Bishop等[11]利用测力板观测了平地和楼梯上的步行荷载的竖向分量，发现上下楼梯各阶动载因子均比水平面上的观测结果大；杜永峰等[12]和Gaile等[13]，结合无线加速度传感技术观测了楼梯上人致荷载的竖向、横向和纵向分量，给出了各阶动载因子的均值和分布特征。我国GB 50352—2019《民用建筑设计统一标准》[14]规定了各类住宅和公共建筑楼梯的最大高宽比限值，其范围在1∶1.5～1∶2.5(34°～22°)，而在上述研究中，Kerr等的研究虽使用了不同踏步高宽比的楼梯，但未对不同高宽比下获得的动载因子(dynamic load factors，DLF)加以区分对比，杜永峰等和Gaile等的观测仅使用了一种楼梯踏步高宽比，楼梯踏步高宽比对楼梯上步行荷载的影响有待进一步分析。

本文选取踏步高宽比为1∶1.6，1∶2.0和1∶2.3的3种楼梯，利用无线加速度传感器对上下楼梯荷载进行观测，在此基础上，获得上下楼梯时不同方向荷载分量的各阶动载因子随步频变化的统计规律，通过计算三类楼梯动载因子的相对偏差，研究踏步高宽比对荷载的影响。

1 试验设计

1.1 试验原理

图1 上下楼梯人致荷载分量的坐标系

(1)

(2)

(3)

式中：m为人体质量；g为重力加速度。结合上式和测定的质心加速度确定荷载分量。

1.2 试验条件

选取了位于某高校校园内的3种室内外楼梯作为测试场所，踏步高宽比如表1所示。

表1 楼梯踏步参数

1.3 被测对象与测试装置

试验邀请27位健康成年人作为被测对象，其中男性15名，女性12名，年龄分布在19～22周岁，身高和体重信息如表2所示。

表2 被测者基本信息

用于观测上下楼梯身体质心的无线惯性测量装置(inertial measurement unit, IMU)如图2所示。其集成了三轴加速度传感器、蓝牙串口和电源等多个模块，采样频率为100 Hz，加速度测量精度为0.001g，采集的加速度信号可通过蓝牙信号传输至手机终端。利用腰带将传感器布置于腰椎位置(见图2)。

图2 质心惯性测量装置及其布置位置

1.4 测试过程与数据处理

被测者穿戴测试装置，在节拍器提示的频率下以一次一个踏步的方式行进，节拍器提示的频率由1.2 Hz开始，按0.4 Hz的间隔增加，以被测者能够适应的极限为上限。在每一提示频率下，被测者在连续的两个梯段上往返一次为一组，为保证每一步频下均可获得有效荷载样本，规定被测者在每个频率下完成两组行走。

试验结束后，从整个测试过程采集的加速度信号中截取稳态行走对应的部分作为有效样本，即每个梯段中剔除最先和最后3个踏步后中间段的加速度信号。

以上加速度时程代入式(1)～式(3)可获得3个方向的荷载时程，通过快速傅里叶变换得到下式所表示的荷载频谱，以及各阶动载因子[15-16]。

(4)

(5)

(6)

式中:W=mg为体重;αzi、αyi和αxi分别为竖向、横向和纵向第i阶动载因子;φzi、φyi和φxi为各阶谐波相位;fp为步频。由于横向荷载周期是竖向和纵向荷载周期的两倍，假设横向各阶谐波频率均为其他方向的1/2。

2 试验结果

2.1 荷载时程

限于篇幅，这里仅给出某身高166 cm，体重54 kg的女性被测者在不同踏步高宽比的楼梯上以1.6 Hz步频上下楼梯时采集到的身体质心加速度信号，如图3和图4所示。图3、图4仅展示了稳定步态下2 s持时内的荷载时程。由图可知，上楼梯三方向的荷载时程峰值明显小于下楼梯时的荷载时程峰值。3种踏步高宽比对应的荷载时程变化趋势基本一致。

(a)竖向

(a)竖向

2.2 荷载频谱

采集到的加速度时程经过卡尔曼滤波处理，除以重力加速度后的时程经过快速傅里叶变换，得到图5和图6所示频谱。由图5和图6可知，竖向和纵向各阶峰值出现在步频及其倍频处，横向各阶峰值大概位于步频及其倍频的1/2处，竖向和纵向的前三阶峰值较明显。3种楼梯的频谱峰值接近。

(a)竖向

(a)竖向

2.3 三向动载因子相关性

取图5和图6的频谱幅值作为动载因子观测值。为验证楼梯三向荷载模型的表达形式，参考水平面三向动载因子的相关性验算方法[17]，选取了以1.6 Hz步频上、下楼梯的65组和70组动载因子，计算各方向间的相关系数。一阶动载因子相关系数,如表3和表4所示。上楼梯情况下竖向和纵向相关性最高，为42.47%，下楼梯时横向与纵向的相关性最高，为32.98%。由此可判断，上、下楼梯各向荷载均不存在高度相关性，需要对3个方向的荷载进行独立建模。

表3 上楼梯竖向、横向和纵向一阶动载因子相关系数

表4 下楼梯竖向、横向和纵向一阶动载因子相关系数

2.4 动载因子统计特性

3种楼梯的3个方向各阶动载因子实测值与拟合值,如图7、图8所示。

实测值分布具有以下规律：① 动载因子随步频提高而提高;② 部分动载因子呈现分段的分布规律，例如上楼梯竖向一阶动载因子,如图7(a)所示。按步频分为行走(fp≤2.2 Hz)、跑步(fp>3.0 Hz)和中间过渡区域(2.2 Hz

拟合值在上述规律基础上运用最小二乘法获得，表达式见式(7)、式(8)、式(9)，其中上楼梯竖向第一阶动载因子和纵向各阶动载因子采用式(7)、式(8)所示分段线性拟合，其他各阶动载因子采用式(9)表示的二次多项式。

(7)

(8)

(9)

分别对3种楼梯动载因子以及所有动载因子进行拟合。3种楼梯的拟合均值(见图7、图8)，对所有动载因子的拟合均值，如表5、表6所示。为反映实测值关于拟合均值的离散程度，将实测值表示为式(10)的形式，式中βji系数表示实测值相对于拟合值的偏差，该系数近似服从正态分布，期望和标准差见表5和表6。

(10)

由图7、图8的拟合结果可知，3种不同踏步高宽比条件下观测的动载因子呈现出相近的随步频的变化趋势，即从行走步频到跑步步频，整体呈现上升趋势，仅在纵向的过渡步频出现平缓或略微下降的趋势，说明随着步频的增加和步态由行走变为跑步，楼梯上的人致荷载幅值会明显增加。

(a)上楼梯竖向第一阶动载因子

(a)下楼梯竖向第一阶动载因子

比较3种楼梯的拟合结果可知，在行走阶段，3种楼梯拟合曲线的重合度较高，而在过渡和跑步阶段，3种拟合曲线存在分岔，说明动载因子分布具有差异。该差异的原因可能包括动载因子离散度较大，以及楼梯高宽比不同。但曲线的排列顺序并没有随踏步高宽比呈现明显的单调变化趋势，有必要进一步研究不同踏步高宽比下动载因子的差异。

3 不同踏步高宽比条件下的动载因子差异

所有动载因子拟合结果作为参考值(见表5、表6)。分别计算三种楼梯动载因子的拟合值相对于参考值的偏差，计算公式如下

表6 下楼梯各阶动载因子拟合参数取值及βji的分布特征

(11)

式中，m为第m种楼梯。

上楼梯情况下的相对偏差，如图9所示。从图9可知，在同一步频区间内，各阶动载因子的相对偏差并没有随踏步高宽比显示出单调变化趋势。另外，随着步频变化，各楼梯的偏差也未呈现出具有规律的变化趋势。从偏差的范围来看，除个别高阶动载因子外，其余各阶动载因子偏差基本在±30%内，与表5的分布标准差相比，属于较小的偏差范围。下楼梯情况与之类似。上述结果说明由楼梯踏步高宽比引起的动载因子偏差小于由行人个体间差异和单人步态不稳定性导致的偏差。实际应用中，设计荷载的取值考虑一定的保证率，相对于均值的偏差足以超过30%。因而认为在文本涉及的踏步高宽比范围内，可不考虑踏步高宽比对动载因子的影响。

(a)

表5 上楼梯各阶动载因子拟合参数取值及βji的分布特征

4 模拟荷载时程与实测值对比

荷载时程可根据式(4)、式(5)和式(6)重构，式中前三阶动载因子根据行人步频，按式(7)、式(8)、式(9)和表5、表6取值，荷载时程重构的核心是确定各阶分量间的相位差。二阶、三阶分量与一阶分量的相位差可通过基于响应面的最优化方法识别，其基本步骤如下：

步骤1确立优化的目标函数，优化目标是使重构时程与实测时程的相对误差最小[18]，如式(12)所示。

步骤2利用均匀试验设计方法[19]，在[-π, π]内以0.01π的水平间距对相位取值进行组配，构造200组取值，生成相应数量的模拟时程样本，并计算对应的目标函数值。

步骤3运用变换条件期望(conditional expectation,ACE)回归算法[20-22]依据上述样本建立相位和目标函数的响应面关系。

步骤4利用Monte Carlo模拟生成1×105组相位取值，根据上述响应面关系计算相对误差，搜索最小误差对应的相位取值。

(12)

以图3和图4中的实测时程为例，按上述方法构造的模拟时程,如图10和图11所示。图中不同曲线为各阶动载因子分别取均值、75%分位值与95%分位值对应的模拟结果，相位取值如表7所示。荷载时程的相对误差在15%以内。

(a)竖向

(a)竖向

表7 谐波相位差取值

5 结 论

本文采用无线惯性测量装置测定了行人在不同高宽比的楼梯上上行和下行所产生的人致荷载，结合傅里叶变换和统计分析给出了人行荷载各阶动载因子随步频变化的统计规律，使用拟合值的相对偏差分析了不同踏步高宽比对楼梯上人致荷载的影响，使用基于响应面的最优化方法确定重构荷载时程所需的最优相位差，结果表明：

(1)上、下行楼梯时各阶动载因子随步频的提高而提高，变化规律视情况可分别使用分段线性函数和二次函数表示，同一步频下的动载因子的概率分布服从正态分布；

(2)在常见民用建筑楼梯踏步高宽比范围(1∶1.6～1∶2.3)内，踏步尺寸引起的竖向、横向和纵向前三阶动载因子偏差在30%以内，小于行人个体差异和步态随机性的影响，设计荷载取值可不考虑踏步尺寸的影响；

(3)基于均匀试验和ACE回归相结合的响应面算法，可识别二阶、三阶荷载分量与一阶荷载分量之间的相位差(见表7)，并较为准确地重构出不同概率分位值下，竖向、纵向和横向的荷载时程。