许礼进， 陈青， 代鹏， 王风涛

（1.埃夫特智能装备股份有限公司，安徽 芜湖 241000；2.安徽工程大学 机械工程学院，安徽 芜湖 241000）

0 引言

鉴于渐开线直齿轮副瞬时传动比稳定、传递功率范围广、使用寿命长等优点，被广泛应用于现代机械传动机构中。作为主要动态激励，时变啮合刚度与齿轮副的振动息息相关，成为研究齿轮副振动特征的重要参数[1]。然而，受装备工艺的影响，高速转轴和低速转轴的轴心线出现平行度误差，齿轮副不能进行正常的啮合传动，啮合刚度受到重大影响[2]。

目前对渐开线直齿轮副时变啮合刚度理论的研究趋于成熟，众多学者也讨论了齿轮副出现故障时的振动特性和故障检测。在齿轮副的时变啮合刚度的研究中，Yang[3]通过势能法推导轮齿的弯曲刚度、径向压缩刚度和赫兹接触刚度，进而建立齿轮副时变啮合刚度计算模型。Tian[4]在2004年基于齿轮剪切变形能提出观点，齿轮副时变啮合刚度还包括剪切刚度分量。Sainsot和Velex[5]研究了直齿轮传动过程中因齿轮基体形变而产生的基体刚度，进一步完善了齿轮副啮合传动时变啮合刚度理论。在对齿轮副时变啮合刚度计算时，此5种刚度分量被大量学者验证和应用。

齿轮副在润滑失效工况下运行时，轮齿表面会出现严重的摩擦，加速齿轮副的疲劳磨损，也降低齿轮副的使用寿命。并且齿面摩擦力与啮合线相垂直，激发齿轮副的垂直于啮合方向的振动，对齿轮副的啮合刚度和振动特征有着重要的影响。Saxena等[6]将库伦摩擦模型应用到齿轮副齿面摩擦的计算中，将齿轮简化为基圆加悬臂梁模型，研究了定摩擦因数对齿轮副时变啮合刚度的影响。在此模型基础上，杨勇等[7]建立了基于时变摩擦因数的啮合刚度计算模型，分析了可变摩擦因数下齿轮时变啮合刚度变化规律；王明凯等[8]研究了不同工况条件对直齿轮副弹流润滑特性的影响，分析了不同齿轮副运转工况下齿面时变摩擦因数。

目前国内针对齿轮副故障时变啮合刚度研究中，大多数是主动轮和从动轮的故障，而忽略了传动轴的安装误差，所以本文对直齿轮副传动轴安装的平行度误差进行研究，讨论在非标准安装下齿轮副的时变啮合刚度。同时考虑齿面摩擦，研究传动轴平行度误差和齿面摩擦对齿轮副时变啮合刚度的耦合作用，为研究齿轮副动力学提供参考。

1 传动轴的安装平行度误差

齿轮副在不对中时受力如图1所示。当传动轴出现平行度误差后，将直接影响主动轮和从动轮之间的受力，改变齿轮啮合传动过程中弯曲刚度、剪切刚度和径向压缩刚度。下面利用势能法对齿轮副啮合刚度进行建模[3]。齿轮副出现平行度误差时各分力的表达式如表1所示。

表1 轮齿间传力

图1 齿轮副轮齿受力分析

当齿轮轴存在平行度误差时，假设两轴夹角为θ，啮合轮齿间载荷分布不均，呈现抛物线分布，如图2所示。由于轮齿两侧受力不均，以致轮齿发生扭转变形，产生齿轮副扭转刚度。于是，将抛物线分布载荷采用等效作用力矩代替，以势能法计算齿轮副扭转刚度。

图2 齿间分布载荷

扭转变形能Uτ的计算公式为

化简后，可得齿轮副扭转刚度kτ的计算公式为

赫兹接触刚度和基体形变产生的刚度可参考文献[3]和文献[6]。因为轮齿发生扭转变形而产生扭转刚度，所以此时齿轮副的时变啮合刚度可由下式计算：

单齿啮合时，

利用以上所建立的数学模型，选定表2为齿轮副主要参数，选取不同的平行度误差θ，进行计算，得到齿轮副啮合传动过程中轮齿扭转刚度和齿轮副时变啮合刚度如图3和图4所示。

表2 齿轮副主要参数

图3 齿轮副扭转刚度

由图3和图4可以看出，当齿轮副传动轴出现平行度误差时，由于轮齿的齿间受力不均，导致轮齿发生扭转变形，从而产生轮齿的扭转刚度，而且扭转刚度随齿轮轴平行度误差增加而减小。同时齿轮副时变啮合刚度受齿轮轴安装误差影响较大，当齿轮轴出现平行度误差时，时变啮合刚度减小，而且随着误差角θ增大，时变啮合刚度减小幅度增大。在实际工程应用中，应尽量减小齿轮轴的安装误差，保证齿轮副的正常运行，延长实用寿命。

图4 齿轮副时变啮合刚度

2 齿轮轴不对中与摩擦学耦合

图5给出从动轮一个轮齿的啮入和啮出阶段摩擦力方向示意图，可根据势能法建立齿轮轴安装误差和摩擦学的耦合模型。表3给出了考虑齿间摩擦力后的轮齿受力。

图5 从轮齿啮入阶段和啮出阶段

表3 考虑齿面摩擦后轮齿受力

因为考虑了齿间摩擦力，其啮入阶段和啮出阶段的弯曲刚度、剪切刚度、径向压缩刚度和扭转刚度数学模型如下。化简得到弯曲刚度kb的计算公式为：

式中：v0为润滑油动力黏度；S为齿面粗糙度；PhK为最大赫兹接触应力；Vek为卷吸速度；SRk为齿轮滚滑比；Rk为综合曲率半径；bi（i=1…9）为回归系数。各参数具体计算可参考文献[10]。

根据此模型计算直齿轮副传动过程中齿面时变摩擦因数，齿轮及润滑特性如表4所示，回归系数如表5所示，可得到一个轮齿啮合过程中时变摩擦因数，如图6所示。

表4 齿轮及润滑特性

表5 回归系数bi

如图6 所示，齿面时变摩擦因数随啮合参数变化，并且在节点位置处，两啮合轮齿纯滚动，摩擦力为零，当啮合点远离节点时，摩擦因数增大，而且在整个轮齿啮合过程中，摩擦力不发生突变。

图6 时变摩擦因数

将弹流润滑理论下齿面时变摩擦因数代入齿轮副传动轴安装误差和齿面摩擦学的耦合模型，可得到基于时变摩擦因数下齿轮副时变啮合刚度，如图7所示。

图7 安装误差和摩擦耦合作用齿轮副啮合刚度

由图7可以看出，当采用齿面时变摩擦因数时，因时变摩擦因数随啮合状态连续变化，齿轮副在单啮合区间啮合刚度也呈连续变化的趋势。并且在双齿啮合区间内，齿轮副的啮合刚度减小。在单齿啮合区间的啮入阶段，啮合刚度增大，在啮出阶段，啮合刚度减小。在齿轮副的节圆位置处，啮合刚度几乎不发生变化。

3 结语

针对齿轮副中传动轴出现安装平行度误差时齿轮副时变啮合刚度变化规律问题，本文建立齿轮轴安装平行度误差模型，发现轮齿会发生扭转变形并产生扭转刚度，并根据势能法推导出现故障后的齿轮副时变啮合刚度计算解析式，进行仿真计算后，发现当齿轮轴出现安装误差时，齿轮副时变啮合刚度减小，且减小的幅度随安装平行度误差的增大而增大。

根据弹流润滑理论得到随齿轮副啮合状态连续变化的摩擦因数，当采用时变摩擦因数计算时，在单齿啮合区间的啮入阶段，啮合刚度增大，在啮出阶段，啮合刚度减小。在齿轮副的节圆位置处，啮合刚度几乎不发生变化。