⦿江苏省南通市海门区海南中学 朱爱平

1 引言

本文中以人教版八年级下册第十八章“平行四边形”第69页的第14题为例，分析如何挖掘教科书上的习题，通过设置阶梯问题引导学生进行深度思考分析，利用图形变式提升学生迁移能力.通过一题多变、一题多解，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从不变的本质中探究“变”的规律，培养学生的探索精神和创新意识，提高学生数学核心素养，给予学生带得走的知识.

2 原题呈现

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的角平分线CF于点F，证明：AE=EF.(提示：取AB中点G，连接EG.)

图1

图2

3 分析引导

思路分析：从结论需要证明AE=EF出发，联想到可证明全等，观察图形需要构造全等，由条件点E是BC的中点联想取AB的中点G.如图2，证明△AGE≌△ECF.根据练习后面给予的提示，学生能够自行解决此问题.但如果仅仅停留在表层问题的解决，那真是入宝山而空手回了.

引导1：点E是BC的中点这个条件是否可以修改呢？

学生容易想到：点E为BC上任意一点.

引导2:如果点E为BC上任意一点，其余条件不变，如图3，那么AE=EF还成立吗？

引导3：动手画一画，探究一下.此时在构造全等时，还是取AB的中点G吗？你是怎么取的？为什么这样取呢？

图3

图4

这样的变式问题，学生能够迁移方法，还是会去构造△AGE≌△ECF(如图4)，则需要AG=EC.所以在AB上截取AG=EC,连接EG，在证明∠AGE=∠ECF=135°时，需要根据等式性质证明BG=BE，所以在作辅助线时，也可以在AB上截取BG=BE，再去证明.

设计意图:通过画图简单的变化，锻炼学生的画图能力，这个过程每个学生都能够尝试，在学生尝试画图的过程中发现自己又能够尝试去解决问题，从而增加学生尝试探究的信心.在学生最近发展区设置问题，遵循了学生的认知规律，增强了学习数学的信心，给足学生探究的时间，慢慢使学生敢于创新.

引导4：你还能对点E的位置做怎样的改变？请把它画出来，此时AE=EF还成立吗？画一画，观察尝试一下.

学生会将点E的位置联想到BC的延长线上或CB的延长线上，如图5、图6.

图5

图6

引导5:变式后的图形看上去变得复杂，但方法还是可以迁移过来的，我们还会考虑哪两个三角形全等？需要构造哪个三角形？图上标记出△ECF，想想如何构造△AGE？同学们试试，待会请同学分享你的探究结果.

图7

图8

设计意图：学生通过这样的尝试画图，如图7和图8，对画图和分类讨论、迁移能力等有更深的体悟.给足学生画图探究的时间，学生的思维才会在经历的过程中留下成长的足迹.在学中做，在做中学，是学生最喜欢的成长方式.同时点G的寻找，也可以看成点E绕点B逆时针旋转90°，构造等腰直角三角形而得到.

图9

引导6：如图1，构造与△ECF全等的三角形还有其他方式吗？这里有AE⊥EF，又需证明AE=EF，说明AE与EF是既垂直又相等，是否联想到把△ECF绕点E旋转90°这个思路来构造全等三角形呢？如图9，把点C绕点E逆时针旋转90°到点G，连接AG，是否能证明△AGE≌△FCE？

引导7：如图9，易证∠AEG=∠FEC，EG=EC，其中∠ECF=135°，如何推导∠AGE=135°，即需要证明点A，G，C共线.进而能深入思考：由∠ECG=45°和∠ACB=45°得点A，G，C共线.如果不去证明A，G，C三点共线，而是过点E作EG⊥BC交AC于点G，那么能证明△AGE≌△FCE吗？试一试，再分析图10和图11的情况.

图10

图11

引导8：我们把△AEC绕点E顺时针旋转90°去构造和△ACE全等的三角形，即过点E作EG⊥BC交CF或其反向延长线于点G是否可以构造全等三角形解决问题呢？如图12，挑选一种进行证明.

图12

图13

引导9：能否过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H(如图13)去证明AE=EF？

引导10：对于解决正方形、长方形、等边三角形等特殊的几何图形中线段的位置或数量关系，我们也可以将图形放入直角坐标系内研究，运用两直线垂直时，两条直线的斜率之积为-1及两点之间距离公式也可以解决这个问题.大家可以尝试几何问题代数化求法.

设计意图：本题的证明可以构造手拉手型模型、一线三等角模型等来解决，让学生感悟模型的构造，能用数学模型的眼光观察几何图形，发现隐性的数学模型，从而使解题有章可循，有法可依，又能从多个角度思考问题，培养思维的多样性.

分析：(1)如图12.

图12

(2)如图13和图14.

图13图14

①当AD=AE时，由2x+x=30°+30°，得x=20°.

②当AD=DE时，由30°+30°+2x+x=180°，得x=40°.

所以x的值是20°或40°.

点评：从上面的探究可以发现，利用方程和角之间的关系，可求解有关角的问题.

本文从形、点、线三个方面探讨了三角形的新定义问题.一方面，开阔了学生的视野，从新的视角关注三角形中一些特殊的点与线段，它属于知识新的增长点；另一方面，将旧知识融合在新知识里，发挥旧知识在解决新问题时的价值，提高了学生创造性解决问题的能力.Z