马茂年

摘  要：以人教A版教材“函数模型的应用”中例5和例6的教学设计为例，阐述在教学中通过整体化解读教材内容、整体化分析学情、整体化设计教学流程优化教学过程，通过提出问题、分析问题、解决问题的结构设计教学过程，通过开放性问题引导学生学以致用，从知识、方法、思想三个方面对课堂进行归纳总结和提炼升华.

关键词：函数模型;整体设计;结构设计

众所周知，数学知识间相互联系，具有很强的整体性与连续性. 教师在进行教学分析时不能简单停留在对某节课教材文本的解读上，而是要站在知识系统的高度，开展“整体化”教学分析. 具体而言，就是站在章节、模块甚至数学课程的高度去认识教学内容，全面整合教材，连贯理解目标，突出学科知识的系统性和教学的方向性，从而形成有生命的、有灵魂的整体的知识. 课堂教学设计则要求教师系统而全面地关注和解析教学的方方面面，包括教学目标和内容设计、教学起点设计、教学方法和教学媒体选用设计、教学评价设计、课堂教学结构设计等. 那么，我们应该怎样进行整体化课堂教学设计呢？笔者以人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册中的“函数模型的应用”中的例5和例6的教学设计为例，谈谈在教学中教师应该如何着眼于“引”，引导学生发现问题、解决问题，如何让学生着眼于“探”，自主合作探究知识，广泛交流，不拘于“标准答案”的局限，感受探究推理过程中的数学乐趣，引领学生智慧地穿越知识的“原野”.

一、整体化解读教材内容

整体化解读教材内容不仅要吃透教材，而且要寻找教学的重点和难点，寻找并识别适合学生认知规律的教材因素. 在此基础上选择、组织需要讲授的内容. 解读并分析教材内容还要注意研究教材的学科学习方法，因为在教学过程中传授必要的学科学习方法是非常重要的. 从提出问题到假设再到提出模型确定研究对象，通过实验或实例使学生形成表象，再进行抽象概括，形成概念、规律、方法等，有其自身特殊的规律. 通过解读和分析教材，确定有效的教学目标. 课堂教学目标的作用在于心理学与课堂教学的整合，即导向—外显、起动—沟通、凝聚—合作. 一个有效的教学目标有助于教学内容的组织、教学材料的选择、教学方法的调适和教学手段的优化，从而减少教学过程中的盲目性和随意性.

“函数模型的应用”中的例5和例6是第四章“指数函数与对数函数”的结尾课. 该课中学生将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而在同为增函数的函数模型中，认识各种函数存在增长的差异，理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，认识研究函数增长（衰减）差异的方法，感受数学建模的思想.

本节课的教学内容如表1所示.

教学重点是将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义. 教学难点是怎样选择数学模型分析并解决实际问题. 在此之前，学生已经学习了函数的性质及基本初等函数. 本节课的内容是几类不同增长的函数模型的综合应用. 从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数及函数的性质的综合应用;从思想方法上看，本节课是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，也为后面继续学习和运用各种不同的函数模型解决问题奠定基础. 因此，本节课的内容既是第四章学到的一些基本初等函数知识的综合呈现，又是函数建模学习的基础，起着承前启后的作用.

二、整体化分析学情

学生既是学习的主体，又是自主发展的主体. 教师要充分尊重学生的主体性和差异性，根据学生已有的水平来设计教学. 教师还要全面了解学生心理发展的一般特点，并以学生的心理特点为依据，选择相应的教学方法和教学媒体，安排不同的课堂教学结构，营造适合学生内在条件的外部环境. 教师要通过测验、谈话等方式关注学生的知识表征和能力水平，悉心观察、关注学生活动，不断研究怎样才能使学生的学习进入最佳状态.

本節课的授课对象是高一学生，他们正处在初、高中衔接阶段. 从知识的起点上看，学生在此之前已经学习了函数的性质及基本初等函数，对本节课的学习有一定的知识基础;从学生的能力上看，高一学生的逻辑思维能力比初中阶段有所增强，但其抽象思维能力仍然薄弱，对理解指数函数的指数爆炸存在困难;从学生的情感上看，高一学生探究性强，希望探索新事物. 因此，在教学时，教师要充分利用图象引导学生体会各类函数模型的增长情况，帮助学生建构新知.

三、整体化设计教学过程

设计符合学生心理活动规律的课堂教学结构，使课堂教学适应学生的认识发展规律和心理活动规律，很有必要. 运用认知冲突、表扬、鼓励等方式，使课堂教学活动适应学生的心理状态的需要，从而达到教学和学生心理活动的同步发展. 课堂教学结构的设计应该注意针对性和适应性，即把握教材的特点并注重学生的实际能力和水平. 可以针对不同层次、不同学习特点的学生设计层次分明、教学策略各异的课堂教学结构. 设计课堂教学结构要关注各个环节之间联系及衔接的自然性，各环节之间协调有序，从而组成具备整体性功能的有机结构. 成功的教学设计，是课堂教学成功的关键. 本节课的教学过程设计如图1所示.

1. 创设情境，感受新知

（1）引入情境，提出问题.

问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由几只发展到几亿只？

澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中的一种增长现象：在理想条件（食物或养料充足、空间条件充裕、气候适宜、没有天敌等）下，种群在一定时期内呈指数增长.

问题2：你还能举出生活中的其他增长的例子吗？

（2）引出函数模型.

在学生回答问题的基础上，引出各种不同类型的函数增长模型.

（3）揭示课题.

几类不同增长的函数模型.

【设计意图】运用生活实际创设问题情境，感知兔子种群的增长情况，产生应用函数的需要，激发学生的学习兴趣.

2. 实例递进，建立模型

（1）提出问题.

例1 （原例5）某公司为了鼓励员工提高业绩，对工作优秀的员工进行奖励，但是员工每个月的奖金不得超过[3 000]元. 现制定以下三个方案.

方案1：每个月奖励400元.

方案2：第一个月奖励100元，以后每个月比前一个月多奖励100元.

方案3：第一个月奖励40元，以后每天的奖励比前一个月翻一番.

如果你是公司管理层，你会选择哪种方案？如果你是公司员工呢？

（2）分析问题.

① 引导审题，抓住比较因素.

问题3：你选择哪个奖金方案？怎样比较不同方案奖金的多少？

从解决问题的角度来看：比较三种方案下的每月奖金;比较三种方案在一年内的累计奖金.

② 引导学生分析数量关系，建立函数模型.

仅从月奖金的角度引导学生根据数量关系归纳、概括相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式.

【设计意图】引发学生思考，使他们经历建立函数基本模型的过程.

累计回报的本质是数列求和问题，由于学生目前的知识储备还不够，仅要求学生通过列表计算、图象观察对函数模型进行判断和选择.

3. 组织探究，解决问题

（1）教师提出问题.

问题4：如果你是公司管理层，你会选择哪种方案？如果你是公司员工呢？用数学语言呈现你的理由.

（2）学生分组操作，比较不同增长.

解决问题的方式：用解析法确定函数;用列表法比较;画出函数图象进行分析.

（3）不同身份，产生分歧.

由学生回答问题4，教师总结：公司管理层希望的奖金方案是方案1和方案2，但是由于方案1每月奖金没有增长，不利于调动员工工作的积极性，所以公司管理层倾向于选择方案2;公司员工倾向于选择方案3.

（4）折中方案，解决问题.

问题5：公司管理层和公司员工会由于利益不同选择不同方案. 为了权衡公司和员工的共同利益，有没有其他方案？

总结学生答案，教师引出对数函数模型，并画出对数函数图象综合对比分析，最终确定对数函数模型符合公司管理层和公司员工的共同利益，是最终选择的方案.

【设计意图】学生能借助计算器，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，促进了学生的合作探究和动手实践. 同时，促进学生经历“发现问题—完善方案—解决问题”的过程，使学生感受到对数函数的增长与指数函数、一次函数的增长之间的区别，提升了学生解决问题的能力.

4. 成果交流，阶段小结

（1）学生交流.

让学生交流小组探究的成果（表格、图象、结论）.

（2）师生互动.

教师通过多媒体动态演示，让学生进一步体会不同函数模型的增长之间的差异. 在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点. 当自变量变得很大时，指数函数增长的速度比一次函数要快得多，而对数函数在两者之间，呈平缓增长.

（3）归纳小结.

① 通过小结，增强学生对增长差异的认识，如表2所示.

② 通过将实际问题中的数量关系抽象、概括成一个函数问题，借助解析式、数据表格、图象这三种函数表达形式，解决了上述问题.

【设计意图】分享学生成果，实现生生互动、师生互动;借助多媒体展示，帮助学生理解不同增长函数模型的增长差异，同时初步体验数学建模的基本思想，认识函数问题的研究方法.

5. 深入探究，理性分析

（1）提出问题.

例2 （原例6）某公司为了实现[1 000]万元利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：萬元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%. 现有三个奖励模型：[y=0.25x]，[y=log7x+1]，[y=1.002x]. 哪个模型能符合公司的要求？

（2）引导分析.

问题6：你能立刻做出选择吗？选择的依据是什么？

问题7：公司的要求意味着怎样的数学关系？

问题8：提供的三个增长型函数中，哪一个符合限制条件？

（3）解决问题.

① 通过多媒体演示，发现增长差异.

② 结合限制条件，进行初步选择.

③ 通过计算，进一步确认，验证所得结论.

④ 再次体会对数增长模型的增长特征：当自变量变得很大时平缓增长.

⑤ 揭示函数问题的研究方法，即观察—归纳—猜想—证明.

【设计意图】让学生在观察和探究的过程中学会理性分析，并再次体会对数函数模型增长的特点.

对于判断模型[y=log7x+1]是否满足限制条件[log7x+][1≤0.25x]，考虑到学生当前的知识储备和接受水平，采用直观教学，通过构造新函数并观察新函数的图象来解决（因为该函数单调性的判定必须运用高二学习的导数知识与方法才能解决）.

6. 拓展延伸，函数拟合

（1）教师提出问题.

这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上. 但是随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.

问题9：之前的奖励方案有什么弊端？

问题10：你能否设计出更合理的奖励方案模型？

（2）例2的拓展延伸.

为了实现[1 000]万元利润的目标，在销售利润达到10万元后，按销售利润进行奖励，且奖金[y]（单位：万元）随着销售利润[x]（单位：万元）的增加而增加，要求如下：10万 ～ 50万，奖金不超过2万;50万 ～ 200万，奖金不超过4万;200万 ～ 1 000万，奖金不超过20万.

选择适当的函数模型，思考其定义域，并用图象表达你的设计方案. 四人一组，合作完成.

【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对不同函数模型增长差异的掌握情况，又鼓励了学生学以致用、用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.

（3）兔子的故事的拓展延伸.

问题11：还记得刚开始上课时介绍的兔子吗，它展现出的是在理想条件下兔子的增长情况，但是兔子的数量会一直呈指数增长吗？

学生思考，教师总结：一般而言，在理想條件（食物或养料充足、空间条件充裕、气候适宜、没有天敌等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线，如图2所示;在有限制的环境（空间有限、食物有限、有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不再增长，增长曲线呈“S”型（种群增长符合Logistic阻滞增长模型），如图3所示.

7. 归纳总结，提炼升华

问题12：通过本节课的学习，你有哪些收获？从知识、方法、思想三个方面进行归纳总结.

教师与学生一起归纳、总结.

知识：对函数的性质有了进一步了解，体会到同是增长型函数，但是不同函数模型之间有较大的增长差异：常数函数没有增长;一次函数直线上升;指数函数爆炸增长;对数函数平缓增长.

方法：函数有三种表示方法，即解析法、列表法和图象法;函数问题的一般研究方法是“观察—归纳—猜想—证明”.

思想：两道例题都体现了数学建模思想，即把实际问题数学化. 面对实际问题，要先读懂问题，运用所学知识，将实际问题转化为数学模型，最终得到实际问题的解.

【设计意图】上述教学设计的最大优点是充分兼顾知识的前后联系，整体把握解析几何教学的总体设计思想，在理解几类不同增长的函数模型的增长差异的同时，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值.

正如美国学者加里·鲍里奇所说，系统的力量在于整体大于部分之和. 当我们沉浸于课堂教学设计时，除了要考虑教学目标的确定、教学内容和方法的设计等之外，还要考虑如何在有效的教学时间内使得各个教学环节和整个系统有机、和谐地运作. 教师要多问自己：这样的教学设计可行吗？这样的教学设计究竟有利于教师的教还是学生的学？还有更恰当、更合适的教学设计吗？这样的教学设计可能会出现什么问题？若出现问题，该如何处理？

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.