安宏

[摘  要] 在数学学科核心素养的六个要素中，与学生关系最密切、学生最熟悉，同时又有着较大培养空间的要素是数学运算. 在核心素养培育的背景下，数学运算也包含着关键能力的培养要求，因此在培育学生的数学运算素养时，教师应当有更多的理解、更多的实践，以及更多的反思. 数学运算中的逻辑关系可以帮助学生深化数学知识理解、建构数学知识体系、形成数学运用能力;高中数学视野下的数学运算所蕴含的组合、推理等思维，反映着集合之间的映射，反映着函数所蕴含的对应法则.

[关键词] 高中数学;核心素养;数学运算

当核心素养的概念被正式提出后，高中数学教学就一直面临着一个基本的任务，那就是如何让核心素养落地. 在数学这门具体的学科中，需要培养的是核心素养的下属概念，也就是数学学科核心素养. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》以六大数学学科核心素养要素为主题，明确了数学学科核心素养的组成部分，这些要素分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，并且新课标强调数学学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力. 那么在具体的教学过程中，这些核心素养要素如何能够得到有效的培养呢？笔者以为这与具体的核心素养要素有关. 比如，要培养学生的数学抽象素养，那就应当给学生提供一些形象的事例让学生去完成抽象. 相比较而言，在数学学科核心素养的六个要素中，与学生关系最密切、学生最熟悉，同时又有着较大培养空间的要素是数学运算. 可以说从学生开始接触数学学科的那天开始，数学运算就已经正式走入了学生的思维，义务教育阶段的数学学习，很大程度上就是数学运算的学习;到了高中学段，数学运算被赋予了更多的内涵，尤其是在核心素养培育的背景下，数学运算也包含着关键能力的培养要求，因此在培育学生的数学运算素养时，教师应当有更多的理解、更多的实践，以及更多的反思.

数学运算素养的培养价值

对于高中学生而言，在数学学习的过程中培育数学运算素养有着什么样的意义和价值呢？弄清楚这个问题，是数学运算素养得以培育的基础. 需要指出的是，数学运算不同于数学计算，不只是简单的加减乘除或者其他的算式算法，在高中数学的知识体系里，数学运算能帮助学生寻找数学概念之间的联系、发现数学规律，因此可以说培养数学运算能力是提升学生核心素养的关键. 在课堂教学中，教师应着力培养和提高学生的数学运算能力，使他们熟练掌握运算技巧，并以此夯实基础. 具体地说，数学运算素养的培养价值主要有如下两个方面：

一是数学运算中的逻辑关系可以帮助学生深化数学知识理解、建构数学知识体系、形成数学运用能力. 形成这一理解意味着认识到了数学运算所具有的工具性作用，事实上，很多数学概念之间的联系都可以在数学运算的过程中得以体现，学生也总能够通过数学运算去发现这些联系，并且建立起规律性的认识. 只不过在日常的教学中，教师与学生往往追求的都是数学运算的结果而不是过程，导致数学运算的过程所具有的营养价值也就流失了.

二是高中数学视野下的数学运算所蕴含的组合、推理等思维，反映着集合之间的映射，反映着函数所蕴含的对应法则. 认识到这一点，也就意味着认识到了数学运算所具有的功能性作用. 从高中数学知识体系的角度来看，假如没有数学运算，那么作为最重要的函数知识及其思想，就很难支撑起整个高中数学知识体系的大厦. 从这个角度来看，任何一个数学知识的教学，都可以培育学生的数学运算素养.

认识到以上两个方面，在具体的教学过程中，教师也就有了有效的施力点，从而可以让数学运算素养落地得到真正的保证.

数学运算素养的培养途径

更加精细的研究表明，数学核心素养中的数学运算素养主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果，因此具体的数学运算素养的培养就可以从以上几个方面进行.

例如，“用‘二分法’求方程的近似解”这一知识的教学中，如果先分析学生的认知基础，就会发现绝大多数学生都认为方程是应当求精确解的，求近似解有什么意义呢？这时教师可以向学生提供一些方程，如lnx+2x-6=0. 当学生看到这个方程后，自然会发现用一般的方法无法求出方程的精确解. 在这种情况下，教师先不要把“二分法”介绍给学生，而是让学生通过自主学习和合作学习进行探究.

教学实践表明，在这个环节尽管绝大多数学生并不能一下就找到解方程的方法，但是他们会自然而然地形成一种解题思路，那就是用具体数取代未知数，这时学生进行的数学运算过程就是：先估计一个x的值，然后去计算lnx，6-2x的值分别是多少;如果lnx和6-2x的值差距较大，那么学生就会判断应当将估计的x的值增大或者减小，这时有可能出现的情况是增大或者减小得太多，反而使得结果偏差更大，那么学生就会相应地修正自己的猜想，直到最终得到一个相对精确的结果.

经历了这样一个过程学生就会发现，原来对于一些特殊的方程而言，求其近似值是有意义的. 更重要的是，在这样的学习过程中，学生通过自己的摸索，实际上已经初步接触了“二分法”的运用本质. 因为在这样的过程中，学生的思维在逐步完善：从估计开始，再去判断，然后通过计算进行比较. 这体现出了数学运算的一些基本环节（实际上也体现出了数学运算与数学计算的区别）.

在学生有了这一认知基础后，教师就可以向学生介绍“二分法”了. “二分法”的运用当然是从函数切入的，由于学生已经知道了函数与方程的关系，自然也就知道了求方程lnx+2x-6=0的解实际上就是求函数f（x）=lnx+2x-6的零点——当然这需要约定区间，比如在区间（2，3）内. 在这个环节，教师可以借助于计算器提高教学效率，也可以让学生更快地验证自己的猜想.

總之，经历这样一个过程，学生可以迅速地掌握“二分法”. 而作为求函数近似值最基本的方法之一，学生对“二分法”的理解与运用，体现出了数学运算在高中数学教学中的价值. 这时教师有必要引导学生进行反思. 反思就是比较，比较的对象就是自己在初步探索时所经历的猜想、判断、计算等过程，与掌握了“二分法”后进行计算的过程. 将这两个过程进行比较，学生会发现在运用“二分法”时，由于区间明确，因此可以先从x=处判定方程的结果，不仅能提高计算效率，而且能保证结果更加准确.

数学运算素养的培养展望

在上面的例子中，学生能够建立一个比较完整且具体的数学运算过程，经历这个过程，不仅能够培养学生的数学运算能力，而且学生对数学运算的理解也会更加深刻. 这实际上就是从实际运用与理论理解两个角度帮助学生建立起了对数学运算的认识. 相对于学生原有的认识而言，此时的认识无论是从广度还是从深度来看，都有明显的突破. 相应的，在这个过程中，学生所形成的数学运算能力也更容易上升为数学运算素养，从而奠定数学学科核心素养培育的基础.

数学运算来自运算技能同思维能力的结合，十分重要，有着极广的应用范围，所以更应该重视数学运算的学习. 在高中数学教学中展望数学运算素养的培养，笔者以为数学运算的价值还有待进一步挖掘，无论是教师还是学生，都需要进一步深化对数学运算素养的认识. 如同本文章开始所强调的那样，首先要突破的一点认识就是不能把数学运算当作数学计算：计算只是运算的一部分，其所用的只是计算法则;而数学运算往往面临着更加复杂的情境，面对着更多的不确定性，当学生在建构数学概念以及寻求数学概念之间的联系时，往往正是借助于数学运算来解决问题的. 因此更多地重视数学运算的这种价值，并且培养起学生熟练掌握数学运算技巧的能力，对于促进学生提升数学学习能力与品质来说，将是一件非常有意义的事情.

综上所述，高中数学教学要充分认识并且努力发掘数学运算的价值，要努力使其成为数学学科核心素养培育的有机组成部分.