结构不良试题的研发背景、演进历程及教学建议

2022-03-07张志刚

中国数学教育（高中版） 2022年2期

张志刚

摘要：在简要阐述数学学科结构不良试题的含义、特征、功能设定的基础上，重点梳理了该类题型研发的历史背景、依据和编制历程，并提出了相应的教学建议，以期深化对该类试题的认识，把握题型改革的趋向.

关键词：高考改革;结构不良;高考评价体系;研发背景;学科素养

一、问题的提出

在《中国高考评价体系》（以下简称《体系》）的科学引领下，2020年高考数学试题继续落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，坚持素养导向与能力并重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用. 与此同时，试题稳中求进，在考试内容、题型编制、结构布局、难度调控等方面进行了改革. 题型创新方面，首次出现了如例1、例2所示的结构不良试题.

例1 （2020年全国新高考Ⅰ / Ⅱ卷·17）在①[ac=] [3，] ②[csinA=3，] ③[c=3b]这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求[c]的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在[△ABC，] 它的内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c，] 且[sinA=3sinB，C=π6，] ？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

例2 （2020年北京卷·17）在[△ABC]中，[a+b=11，]再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）[a]的值;

（2）[sinC]和[△ABC]的面积.

条件①：[c=7，cosA=-17;]

条件②：[cosA=18，cosB=916.]

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

两道试题均设计了解三角形的问题，要求学生在“半成品”下自主选择一个条件，然后进行解答. 条件开放、结论开放，自问自答式的命题形式更显活泼灵动. 借助问题解决，引导学生从知识的习得与记忆转向问题的解决和策略的选择，使得数学应用在思维层面真正发生，有效考查了学生建构数学问题的能力，以及分析问题和解决问题的能力，有利于学生批判思维、创新思维等高阶思维能力的培养，体现了基础性、综合性、应用型和创新性的考查要求. 然而，由于结构不良试题问题情境的复杂性，其解决需要综合应用认知观、价值观、态度、信念、动机和情感等多种问题解决成分. 因此，多数研究者认为解决结构不良問题比解决结构良好问题复杂得多（Herbert等6人六项研究，1988—1993），而且运用解决结构良好问题的技巧不足以解决结构不良问题（Brabeck等7人五项研究，1981—1991）. 从高考阅卷反馈来看，学生答题情况亦不容乐观. 从教学现状来看，该题型的研究成果较少，广大教师对该类题型的出现倍感突然，对该类试题编制的背景、进程与功能等认识还非常粗浅. 学生也普遍感觉迷茫、无所适从，表现出不同程度的“选择困难症”. 鉴于此，本文将简要阐述结构不良试题的含义与特征，着重对该类题型研发的历史背景、历程等进行系统梳理，并提出教学建议.

二、结构不良试题的含义与特征

Reitman（1965）最早从认知心理学的视角区分了结构良好问题和结构不良问题. 作为现实生活问题的理想化模型，学校情境中多是结构良好问题，即初始状态、目标状态和解决方法都清晰明朗，运用相关概念、规则、方法和原理足以解决问题. 解决过程有相对固定的套路与程式.

而日常生活中人们面临的多是结构不良问题，该类问题的初始状态、目标状态和解决方法至少有一个是不确定的，即可能缺少解决问题的必要条件或者某个条件存在变数，问题的解答过程千差万别，结论也是多样化的，也可能是无解的. 结构不良问题并非问题本身存在错谬或不当，而是指它没有明确的结构、要求或解决的途径. Namsoo Shin Hong在《解决良构问题与非良构问题的研究综述》一文中指出，从问题的本质、解决过程和解决成分来看，结构良好问题与结构不良问题差异明显，详见下表.

可见，结构不良问题具有条件模糊、解决方案多样、结果开放等特点. 结合数学学科和高考的特征，教育部考试中心任子朝先生在《数学考试中的结构不良问题研究》一文中概括了数学学科结构不良问题的主要特征：（1）问题条件或数据部分缺失或冗余;（2）问题目标界定不明确;（3）具有多种解决方法、途径;（4）具有多种评价解决方法的标准;（5）所涉及的概念、规则和原理等不确定.

三、我国数学学科结构不良试题产生的历史背景

结构不良试题的出现不是偶然的，其产生与发展有广博的环境与丰腴的土壤. 一方面，结构不良试题具有独特的考试价值与功能. 结构不良试题以核心素养为育人目标，培养学生面对不确定的现实情境或任务时，能够做出灵活、恰当的反应，结合相关的知识、技能、方法或观念解决实际问题，可以有效考查学生思维的深度和广度，给各层次学生搭建了展示才华的舞台. 另一方面，结构不良试题是社会发展和教育变革的必然结果. 新课程改革、新高考改革、高考评价体系的构建等共同呼唤试题吐故纳新，题型创新的诉求贯穿“教学—考试—评价”的人才培养与选拔全程.

1. 新课程改革稳步推行

高中数学课程以学生发展为本，旨在培育学生的科学精神和创新意识. 至2022年秋季开学，全国所有省（区、市）均启动实施新课程、新教材，到2025年将全面落实. 新时期要求课程和育人方式与时俱进，不断深化改革.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，命题时，应有一定数量的应用问题，还应包括开放性问题和探究性问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识. 结构不良试题作为探究性和半开放试题的代表，能有效激发学生的求知欲，帮助学生多角度把握问题本质、追寻知识背后的价值，对培养学生的创新意识和应用意识能够起到积极的引导作用，有利于推进素质教育，促进学生全面而有个性的可持续发展，契合新课程改革的理念.

2. 新高考改革全面推进

当前，新一轮高考综合改革进入全面推广阶段. 2020年北京等四个省、市实行新高考，2021年又有江苏等八个省、市执行新高考. 新时期高考改革的重要特征是实现从能力立意向素养立意的转变. 突出表现为考核目标从常规性的问题解决技能到创造性的探究能力;考查情境从学科知识化到真实情境化;试题条件从结构良好到结构不良;试题要素从单一因素到复合因素. 另外两点变化值得关注，一是作为统考科目的数学不再区分文理科. 文理合卷后，需要研究数学学科的考试目的、考试要求，以及合卷后学生的特点;创设面向全体学生的试题，要更关注对最基本思维能力的考查，特别要适合文理不分科后文科学生的特点和数学水平，使那些在数学计算、数学整理变形技巧等方面有差距的学生也能发挥自己的水平. 考试的功能定位、内容和形式都发生了变化，高考的考查目标和考查重点进行改革以后，需要新的题型呈现考查要求、实现考查目的. 二是新高考不再制定考试大纲.“后考纲”时代破除了考纲的禁锢，将师生从“超纲”与“不超纲”的纠结中解放出来，也将推动试题编制更加灵活生动. 而结构不良试题具有很好的开放性，对学生数学理解能力和探究能力的考查是积极和深刻的. 可见，结构不良试题是新高考改革的应然选择，有利于实现对学生学科知识的全面评价向学习能力的重点测量转变.

3. 高考评价体系颁布实施

教育部考试中心于2020年1月颁布的《体系》，为高考测试评价提供了科学依据，是新时代高考内容改革的理论基础，也是高考命题的实践指南.《体系》提出，高考试题应合理呈现情境，设置新颖的试题呈现方式和设问方式，促使学生主动思考，善于发现新问题、找到新规律、得出新结论，考查学生敏锐发觉旧事物缺陷、捕捉新事物萌芽的能力，考查学生进行新颖的推测和设想并周密论证的能力，鼓励学生摆脱思维定势的束缚，勇于大胆尝试. 结构不良试题通过改变问题呈现样态，给予学生广阔的选择空间和思考空间，以及更多的思考角度，有利于减少考试固化给机械训练和大量刷题带来的收益，与《体系》的要求高度吻合.

结构不良试题通过改变设问方式，启迪学生摆脱思维定势的束缚，大胆推测、周密论证，为学生提供了更宽阔的施展才华的舞台，符合数学课程改革和高考改革的要求，是《体系》引领命题改革的有益尝试，凸显了高考立德树人、服务选才、引导教学的核心功能.

四、我国数学学科结构不良试题的研发历程

高考作為连接基础教育和高等教育的关键环节，既承担着科学选才、提高质量、促进公平的重任，也对基础教育教学的引导作用具有较强的现实动能和深厚的社会根基. 作为大规模、高利害考试，高考改革牵一发而动全身，对我国产业、行业发展有着连锁影响. 因此，需要科学、专业、谨慎地推动高考改革. 但是，在“稳中求变、稳中求新、稳中求进”的基调下，包括题型在内的高考改革从未停止创新的脚步，伴随经济、科技的迅猛发展，以及社会生活的深刻变化，革新的脚步也越来越快. 梳理近几年教育部考试中心命题的实践历程，不难发现，结构不良试题的研发也是循序渐进的，经历了以下几个阶段.

1. 萌芽孕育

高考数学试题历来以结构良好试题为主. 直至1999年，为配合应试教育向素质教育的转变，提出了高考试题要体现“能力立意”. 2002年高考全国卷文科第22题（例3）是难得的代表“能力立意”的典型试题，也可视为结构不良试题的早期雏形.

例3 （2002年全国卷·文22）（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明;

（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;

（3）（附加题）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等. 请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明.

此题选取学生熟悉的拼剪手工游戏情境，要求学生在不提供剪刀、纸片的前提下，自行设计方法，剪拼成符合题意的几何体，考查学生的知识获取、实践操作、抽象思维等能力. 尤其是第（3）小题，给学生以自由发挥的空间，使学生的主观能动性和创造性得到了充分的发挥. 从情境设置的鲜活性、设问方式的开放性、方案选定的自由性等方面进行比较，发现例1与例3有异曲同工之妙，而在答案可控性和阅卷的可操作性上得以改良，是此题的继承和发展.

2. 调研试测

2015—2018年间，任子朝先生及其团队科学构建了学科化的评价框架，开发了新题型，命制了新题型测试卷，并选取部分地区进行了多轮次试测和问卷调查. 问卷调查中，受访者表达了创新高考题型的强烈意愿，在增加新题型的情况下，开放题和逻辑题的支持者较多，认为应增加答案不唯一试题，以破除学生的思维定势，灵活考查学生的批判性思维能力.

由《高考数学新题型测试研究》一文可知，2015年的试测卷中包含了例4所示的开放题.

例4 类似于圆的切线，将与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线. 已知椭圆[C： x24+y22=1]的中心为[O，] 右顶点为[A，] 在线段[OA]上任意选定一点[Mm，0 0<m<2，] 过点[M]作与[x]轴垂直的直线交[C]于[P，Q]两点.

（1）设[m=1，] 在[OM]的延长线上求一点[N，] 使得[OM， OA， ON]成等比数列，并证明直线[PN，QN]都是[C]的切线;[]

（2）通过解答（1），猜想求过椭圆[x2a2+y2b2=1 a>b>0]上一点[Gx0，y0 x0≠0，y0≠0]的切线方程的一种方法，再加以证明.

例4一改存在性问题“是否存在……”的固化形式，要求学生通过类比、联想、迁移、猜想、证明等思维活动，给出过椭圆上一点的切线的一般性证明思路与方法. 试题开放程度较高，学生可以通过多种途径解决问题，得到不同的答案. 能够全面考查学生的数学关键能力，发挥了较好的区分功能.

2018年3月—5月，广东等地的试测表明，文、理科学生在不同考查內容上的得分率差异从大到小依次为：立体几何、概率与统计、三角函数、解析几何、代数. 文、理科学生在不同能力成分上的得分率差异从大到小依次为：空间想象能力、创新应用能力、数据处理能力、运算求解能力、逻辑思维能力. 本次试测为新高考题型创新提供了实践基础，也为结构不良试题的命题选材和难度调控提供了依据. 文理合卷后，高考命题需要控制好试题的难度，考查内容以中等难度的三角函数（解三角形）、数列、解析几何为主，例1和例2即对解三角形进行了考查.

3. 模拟适应

为了顺利接轨新高考，2019年11月，山东省举行了2020年高考数学模拟考试. 试卷第17题（例5）作为结构不良试题首次进入公众视野，引起了极大的关注.

例5 在①[b1+b3=a2，] ②[a4=b4，] ③[S5=-25]这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的[k]存在，求[k]的值;若不存在，说明理由.

设等差数列[an]的前[n]项和为[Sn， bn]是等比数列，[b1=a5，b2=3，b5=-81，] 是否存在[k，] 使得[Sk>Sk+1]且[Sk+1<Sk+2]？

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

此题以往年文科试题的难度呈现，既体现注重考查基础知识、回归教材的特点，也是对数学学科不分文、理科的积极回应.

4. 登录高考

经历多个轮次的调研试测、模拟演练、反馈调整，结构不良试题的研发渐趋成熟，于2020年正式亮相高考试卷，迈出了题型创新的关键一步.

五、教学建议

1. 搭建适切的问题场域，体现情境的育人功能

《体系》规定了高考的考查载体——情境，以此来承载考查内容、实现考查目的. 每个问题情境都是一个生态圈，在此系统中，学生通过自己的逻辑思辨，发表独立的、有创造性的看法，经历自主尝试、探究，完成个体成长. 教师可以选取学科内容材料，也可以选取自然、社会等真实素材并进行结构化处理，对问题的条件、结论、方法等问题结构要素合理配置，生成具有一定现实意义的真实性任务或探究性项目，保持适度的开放性，驱动学生与真实情境之间持续而有意义的互动，引导学生从多个视角观察、思考问题，从中发现复杂、新颖情境中的关键特征，将所学知识迁移到新情境，解决新问题. 当然，为了保证教学的有效性，要尽量选取学生熟悉的情境，避免过于陌生、繁难的情境;要尽量创设真实情境，避免人为创设、生搬硬套的无效情境.

2. 提供充裕的探究时间，凸显学生的主体地位

张奠宙先生说：数学的对象是抽象的形式化的思想材料. 数学教学活动就是学生在教师的带领下进行的思维活动. 章建跃博士说：教之道在于“度”，学之道在于“悟”. 然而，正如曹一鸣教授描绘的，当前的师生活动多是“以高水平听讲为特色的学生知识输入、以集体做题为特色的学生做题参与、以提问频发为特色的教师启发式讲解、以‘知识传输—接收’为特色的双边活动”，教师独霸课堂、挤占学生思考与领悟时间的弊病依然普遍，学生的主体意识不同程度地被边缘化、形式化、表面化. 课堂看似快捷高效、省时省力，实则剥夺了学生探究的时间和空间. 教师占得过多、让得过少，扶得过多、放得过少，容易导致学生思维僵化、窄化、孤化，甚至“奴化”，学生的主体地位被架空虚置. 结构不良试题由于情境的复杂性需要更为充足的时间去甄别、辨析待选条件，进而做出合理决策. 教师不应该忽略看似费时费力的学生探究过程，要改变浅表化、琐碎、被动、机械的学习程式，将学生视为多维度的鲜活个体，为学生提供充裕的时间进行探究，尤其对思维痛点、症结点，要以慢动作、放大镜似的方式呈现，实现思维的可视化及师生之间的深度对话.

在《数学考试中的结构不良问题研究》一文中，任子朝先生以上述例5为例阐述了结构不良试题的命题技术和考查要求. 试题命制要综合考虑多种因素，如核心素养培育要求、教育科学和规律、能力考查深度、试题开放程度、情境选取的公平性、阅卷的可操作性等. 因此，为顺利实现教学目标，试题编制不宜太难，应控制在中等难度;知识内容不能过于复杂，所涉知识点不能过多;能力要求不能太高，要限制考查能力的种类和梯度;设问开放程度要恰当，不宜过大;兼顾城乡区别，要保证试题公平;等等.

总之，在价值引领、素养导向、能力为重、知识为基的高考命题理念下，我们要加强对该类试题命题规律的研究，做到问题开放有度、解决有法，启发性和思考性相得益彰.

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