赵玉峰, 张 淼

(兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)

随着高温超导材料在众多领域的广泛应用，裂纹的扩展问题已经成为重要的课题之一.由于高温超导体处于强电磁场下，会产生较大的洛伦兹力[1-4]，会导致高温超导材料的断裂，所以其力学性能在一定程度上会限制高温超导材料的应用.国内外已经有众多学者研究了高温超导材料的断裂的问题，Zhou等[5]研究了磁场作用下超导体的断裂行为，介绍了用于零场冷却和场冷却超导体的应力强度因子.Yong等[6]不同的裂纹问题考虑到裂纹对电流分布的影响，发现应力强度因子不是裂纹长度的单调函数.赵玉峰等[7]研究了在不同条件下裂纹和夹杂的相互作用.但以上的研究主要都是以静态裂纹为主，超导体经常受到动态磁场的影响，其动态断裂行为却很少受到科学界的关注.Gao等[8]研究了高温超导体中Ⅰ型裂纹的动态断裂因子，表明增加高温超导体的厚度有利于降低动态应力强度因子的峰值.Yong等[9]研究了高温超导体在洛伦兹力作用下的动态断裂问题，表明对于边缘裂纹问题，较小的裂纹长度会导致较大的动态应变能释放率.以上研究的不足之处是没有考虑到高温超导材料的特性之一的磁通粘滞流动，而磁通粘滞流动对俘获磁场的影响是明显的.

Anderson[10]研究了在超导体内部存在的磁通流，并且引入磁通蠕变的概念.之后，Kim等[11]研究了在高磁通速度下，类流体的速度受到粘性的影响.由以上研究可知，磁通粘滞流动的存在必然会改变材料内部的磁通变化，从而导致洛伦兹力的变化，进而影响含有裂纹的超导材料的应力强度子.Zhao等[12]研究了磁通粘滞流动对超导体中心裂纹的影响，磁通粘滞流动的存在改变了裂纹尖端的应力强度因子.基于以上文献，发现没有关于磁通粘滞流动对于动态裂纹扩展问题的研究.本文通过平面应变方法和有限元理论，研究了磁通粘滞流动对含有中心裂纹的高温超导材料的动态应力强度因子的影响.

1 几何模型和基本方程

假设圆柱体的超导材料模型，中心有一贯穿的裂纹，将其置于下降的外磁场中，以裂纹中点为原点，裂纹扩展方向为x轴，在圆柱的横截面内垂直于裂纹的方向为y轴，过原点垂直于圆柱横截面为z轴建立空间直角坐标系.外磁场为Ba，其方向平行于z轴，超导材料的直径为2R，中心裂纹的长度为2a.假设超导材料足够长，不考虑退磁效应的影响，并且假设高温超导体为各项同性材料，则此问题可以简化为平面应变问题.

首先确定磁通量分布[13]的表达式为

(1)

式中:B是超导体内的俘获场;Jc是临界电流密度，在Bean模型下，Jc为常数，∓号表示超导体中磁场的斜率;φ0是磁通量子;η是与磁通运动相关的粘度系数;v是局部磁通流动速度.

根据圆柱的磁通连续性方程可以表示如下：

(2)

根据Liu等[14]的研究，假设其中v0是由外磁场随时间的变化确定的恒定通量流速，显然B(r,t)=B(ξ)，ξ=r-v0t，其中v0是由外磁场随时间的变化dBa/dt确定的恒定通量流量，显然B(r-v0t)是v=v0时式(2)的解.

基于临界态Bean模型[15]，定义完全穿透场为Bp=μ0JcR，由于裂纹的扩展出现在磁场的下降阶段，因此本文只分析降场阶段，外磁场从Bm降至0的过程中磁通密度分布为

式中

超导圆柱体中心裂纹部分，即0

(6)

由式(3)和式(6)可知超导圆柱的洛伦兹力是随时间变化的，其关系为

(7)

裂纹尖端的应力是奇异的，根据裂纹扩展时的能量释放率定义J积分,可以采用式(8)定义[17]

(8)

式中：Γ为从裂纹底表面开始顶表面结束的封闭曲线；W为应变能密度；T为作用在积分曲线上的力；u为积分曲线的位移.在合力的作用下，中心裂纹为张开型裂纹，应力强度因子可以通过式(9)得到[18]

(9)

式中:ν为泊松比，取为0.3；E为杨氏模量，取为80 GPa.

2 结果及分析

使用有限元ABAQUES软件，在裂纹尖端附近的区域采用六节点二次单元，其他区域采用八节点二次单元进行网格划分，如图1所示.由于几何模型和受到载荷具有对称性，因此只分析I型动态应力强度因子KΙ，动态应力强度因子通过式(10)正则化

图1 圆柱的有限元网格划分Fig.1 Finite element mesh generation of cylinder

(10)

式中

(11)

当最大外磁场为Bm=4μ0JcR时，取圆柱上一点进行磁场分析，圆柱内部的磁场的变化如图2所示.由图可知，随着时间从0 s增大到2 s时，处在非活跃区域的磁场是不变的，而处在活跃区域部分的磁场随时间线性降低.磁通粘滞流动速度的变大，不会影响非活跃区域俘获磁场的大小，而会增大磁场进入活跃区域的时间.并且发现，磁通粘滞流动速度改变了活跃区域的磁场下降的速率，磁通粘滞流动速度越大，下降的速率越大.由此可知，磁通粘滞流动对超导圆柱磁场分布的影响是显著的，在对于超导体的研究中，这一点是不能忽略的.

图2 超导圆柱内在不同时刻的磁通分布

由于降场时，活跃区域产生了对材料的拉应力，而非活跃区域依然保持压应力.如图3所示，当t=0.75 s时，圆柱内部的体力.图3a表示0.1

图3 超导圆柱内的体力分布Fig.3 Distribution of physical force in superconducting cylinder

图4表示了在外磁场下降的过程中，改变磁通粘滞流动速度会对动态应力强度因子的峰值产生较为显著的影响.外磁场下降初，圆柱内部的压力是大于拉力的，则合力产生了负的动态应力强度因子，不影响裂纹的扩展.随着时间的增大，发现超导圆柱内部的拉力逐渐超过压力，这时动态应力强度因子变为正值，并且在增大到峰值时，又开始下降，这是因为外磁场的下降，导致俘获场降低的缘故.从图中发现，磁通粘滞流动速度v0/R=1和v0/R=0.5时在0到0.8 s时动态应力强度因子还处在上升阶段，而v0/R=2时，动态应力强度因子在0.4 s已经达到峰值，并且开始下降.由此可知，磁通粘滞流动的存在改变了磁场下降过程所用的时间.当磁通粘滞流动速度增大，不仅提高了动态应力强度因子上升的速率，而且也增大了动态应力强度因子的峰值.

图4 改变超导体磁通粘滞流动速度，动态应力强度因子随时间的变化Fig.4 The dynamic stress intensity factor (DSIF) changes with time when the flux viscous flow velocity is changed

图5是高温超导体中裂纹长度对动态应力强度因子的影响.通过图中曲线可以看出，裂纹长度的改变并不影响整个过程动态应力强度因子的变化趋势，但是值得注意的是，每条曲线应力强度因子的峰值都在同一时间产生，并且裂纹长度的改变会使动态应力强度因子增大.在动态应力强度因子上升的过程中，斜率是缓慢下降的，即动态应力强度因子上升速率是缓慢下降的.中心裂纹长度的不同，对动态应力强度因子的影响是显著的.通过图4与图5的对比，发现裂纹长度为0.4时，动态应力强度因子的峰值已经达到6.2.而当裂纹长度不变时，磁通粘滞流动速度的改变使动态应力强度因子强度因子的峰值最高达到了3.即裂纹的长度对于动态应力强度因子的影响更显著.

图5 不同裂纹长度对高温超导体动态应力强度因子的影响Fig.5 Effect of different crack length on dynamic stress intensity factor

图6是最大外磁场Bm对动态应力强度因子的影响.最大外磁场的大小，会影响动态应力强度因子的峰值，并且影响产生峰值的时间，最大外磁场越小，产生的峰值越低，达到峰值所需要的时间也越小，反之亦然.最大外磁场的大小和磁通粘滞流动速度决定了磁场下降过程中所用的时间，当磁通粘滞流动速度不变时，较大的外磁场实际上增大了整个过程的时间，进而推迟了动态应力强度因子达到峰值的时间，图6恰恰验证了这一过程.

图6 最大外磁场对动态应力强度因子的影响Fig.6 Effect of maximum external magnetic field on dynamic stress intensity factor

3 结论

本文研究了在磁通粘滞流动的作用下，外磁场降低的过程中，高温超导圆柱的动态应力强度因子随时间的变化.通过计算可知：

1) 磁通粘滞流动速度会改变磁场活跃区域下降的速率.

2) 高温超导体裂纹长度的改变，对动态应力强度因子上升的速率有显著的影响.

3) 磁通粘滞流动速度的增大会提高动态应力强度因子的峰值，并且会增大超导圆柱裂纹的动态应力强度因子升高的速率.