周志强，崔国民，杨岭，马秀宝，肖媛，杨其国

（1 上海理工大学能源与动力工程学院，上海 200093； 2 上海市动力工程多相流动与传热重点实验室，上海 200093）

引 言

换热网络优化问题是过程系统集成的研究热点，被广泛应用于化工生产等相关的热量回收领域，其意义在于有效提高工业生产经济性的同时并降低能耗[1]。换热网络综合方法一般可分为夹点法和数学规划法。夹点法[2]作为一种基于热力学准则的优化方法由于其具有简单、实用的特点，已经被广泛采用并趋于成熟，但是由于其在设计方法特别是最小温差的选取上受限于人为经验，很难给出理论上的最优解。因此，随着优化算法与计算技术的发展，数学规划法中的同步综合法[3]逐步成为了研究的重点[4]。

Grossmann 等[5]首先提出了基于同步综合法的分级超结构模型(SWS)，之后得到了不断发展和改进。Huang 等[6]在经典的SWS 模型的基础上考虑了非等温混合的情况，使得优化范围进一步扩大。Pavão 等[7]提出了一种包含子级、子分流以及绕流的增强SWS 模型，取得了较好的优化效果。近年来，一些学者也提出了新的同步综合法模型，例如Xu等[8]的有分流节点非结构模型(NNM-SS)，由于其模型取消了SWS 模型中级数的限制，因此潜在的换热网络结构得以极大的丰富。然而，基于同步综合法的换热网络数学模型本质上仍是一个混合整数非线性规划问题(MINLP)[9]，其具有高度的非凸、非线性，很难获取相应的导数信息，所以确定式算法往往在小规模问题上表现良好，但是随着算例规模的加大，其求解时间和质量难以令人满意[10]。启发式算法则由于其适用条件比较宽松、全局搜索能力强的特点，可被用来解决不同规模的换热网络优化问题。

许多启发式算法已经被应用于换热网络优化中，常见的有遗传算法(GA)[11]、粒子群算法(PSO)[12-13]、蚁群算法(AA)[14]、微分进化算法(DE)[15]等。为了更好地求解换热网络优化问题，很多学者结合不同算法的优势逐步开发了一些混合启发式算法。Yu 等[16]将GA 算法与模拟退火算法(SA)相结合，有效地避免了GA 算法的早熟问题，提高了优化质量。Santos 等[17]采用了一种双层优化算法，其中利用SA算法进行外层整型变量的优化，PSO 算法用于内层连续型变量的优化，其算法在减少决策变量的基础上进一步降低了优化难度。强制进化随机游走算法(RWCE)[18]作为一种新型启发式算法能够同步实现整型变量和连续型变量的优化，并且其种群之间独立进化，避免了经典启发式算法由于个体之间太多联系从而导致目标函数过早收敛的问题，在解决换热网络优化问题上具有良好的表现，但这种机制也会导致算法后期处理整型变量优化上效率较低以及存在弱势个体无法更新的不足。因此，本文提出使用GA 算法与其混合，在保留前一半优势种群的个体独立进化的基础上，使用交叉、变异等操作产生子代来对弱势种群进行更新从而提升其优化性能，并通过合适的编码方式在NNM-SS 模型上实现。另外，对于RWCE 算法和GA 算法这类群智能优化算法，种群数的增加虽然会提高优化的质量但是其优化时间会成倍增加，因而有必要将本文提出的算法进行并行化处理。目前，针对换热网络优化的并行启发式算法研究仍较少，已知的有康丽霞等[19]通过将GA 算法并行化来求解两个较小规模算例，Pavão 等[20]则将一种GA-PSO 混合算法进行并行化处理来提高优化质量，不过部分算例求解质量不佳。

鉴于此，本文将提出的RWCE-GA 算法通过OpenMP来实现并行化设计，并用3个不同规模算例验证算法性能。

1 换热网络数学模型

1.1 有分流节点非结构模型

本文选用有分流节点非结构模型来优化换热网络，作为一种新的换热网络结构模型，相比Grossmann 等[5]所提出的分级超结构模型其考虑了跨级匹配的可能性，因此潜在的结构可能性更多，流股匹配以及分流的布置也更加灵活。

图1 为一个包含2 条热流股和冷流股的结构模型。其中每一个黑色节点代表换热单元可能生成的位置，通过热流(H1、H2)和冷流(C1、C2)之间的节点匹配形成一个换热单元，而分流结构的实现，则是在每个主节点（上下的一组节点可视为主节点）中预先考虑分流可能性，若主节点中分流数大于等于2个则形成分流，反之则视为无分流，分流数可以按照优化对象的不同事先设置，且分流中也可设置多个节点。在每条流股的末端布置冷热公用工程(C、H)，以此来满足出口温度的约束条件。

图1 有分流节点非结构模型示意图Fig.1 The sketch of node unstructured model with split

1.2 目标函数及主要约束条件

换热网络是在已知流股的进出口温度、热容流率、传热系数的条件下，通过建立合理的流股匹配达到回收热量的目的。其目标函数是由换热器的固定投资费用、换热器面积费用和公用工程使用费用组成，这三部分组成了年度投资费用(total of annual cost,TAC)。

式中，Cfix为换热器的固定投资费用;CA为换热器面积费用系数;Chu、Ccu为热公用工程和冷公用工程的费用系数（式（1）中所有的费用系数都进行了年度化折算）；A代表换热面积；Q代表换热量；Z代表换热单元是否存在的0-1 变量；β为面积指数项；Nc,Nh分别为冷、热流股数；Nhn和Nhf分别为热流股上的节点数以及分流数。

换热面积计算：

为避免无限大换热面积，ΔTmin在文中设定为0.01℃，若小于最小值则违反约束。

2 RWCE-GA算法

2.1 RWCE算法

RWCE 作为一种新的启发式算法，具有高度随机的特性，能够同时处理整型变量和连续变量的优化，且种群之间独立进化互不干扰。肖媛[21]分别将其与DE 算法和PSO 算法进行了比较，证明了其在处理换热网络优化问题时，有更强的全局优化能力。其主要流程包括初始化、游走进化以及接受差解机制，其具体算法流程如下。

Step1:设置种群规模，初始化时，换热网络上的所有节点不存在换热单元匹配，即Qn= 0，n为个体编号。

Step2:以一定概率φ判断网络上存在的换热单元是否需要游走进化，若被选中其连续型变量、热量Q和分流比SPH和SPC按式(14)进行游走，这三者任何一个小于设定最小值时，此换热单元将会被消去。

式中，α1、α2、α3是服从(0,1)分布的随机数；Z′是判断游走的0-1变量；ΔL是游走步长；X和X′分别代表算法游走前后的连续型变量。

Step3:新生成换热单元阶段，以一定概率随机选取冷热流股上的空节点形成新的换热匹配，其换热量与分流比分别按式(15)、式(16)、式(17)生成。

式中，Qmax为换热单元热量生成的最大值；r1,r2,r3为服从(0,1)分布的随机数。

Step4:选择与接受差解阶段，RWCE算法具有接受差解机制，即小概率在迭代时接受差解使得算法具有了爬山能力从而能够实现持续优化。其公式如下。

式中，S和S′分别是迭代前和迭代后的解向量;r4是满足(0,1)分布的随机数;δ是接受差解的概率。

当在优化过程产生违反最小温差约束的情况时会使用罚函数法来对目标函数进行惩罚，出口目标温度的等式约束则可以用公用工程来调节，罚函数的具体公式如式(19)所示:

式中,Pe是罚因子常数;ε是罚因子系数,通常取为0.5；ΔTleft与ΔTright是换热单元左右两边的温差。

2.2 GA算法的结合

RWCE 算法的种群之间相互独立进化，互不干扰，能够增加全局优化的能力，然而这种做法也存在不足之处，主要体现在如下两点：（1）由于种群之间的独立进化，缺乏交流，导致在处理整型变量的优化时效率不足，中后期新的换热单元匹配除了少部分引起TAC 下降被接受，大多数匹配只能通过接受差解和新生成单元操作的联动实施才能得以挖掘，另外，由于生成单元的位置是随机的，很难保证其流股匹配是相对优秀的；（2）基于NNM-SS模型的RWCE 算法在优化换热网络时，往往会存在一些劣势个体，因为初始结构在形成时偏离正确的优化路径，产生长时间无法继续优化的现象，然而RWCE算法由于个体独立进化无法对这些个体进行更新，这样就造成了部分个体的浪费从而无法充分利用种群规模大的优势。

GA 算法作为一种元启发式方法，已经被大量运用于换热网络这类组合优化问题，将GA 算法与RWCE 算法进行混合的主要目的是利用其种群之间进行交叉繁衍的机制来分享好的整型变量匹配关系，减少中后期整型变量在整个求解域中的搜索范围，进而增强算法搜索效率与性能。同时，由于在GA 算法实施的过程中会产生子代来替换掉落后个体，因此劣势个体无法更新的不足也得到了解决。

遗传算法的构成要素包括种群规模、编码方式、遗传算子和选择策略等，其核心在于编码方式和遗传算子的建立，传统的遗传交叉算子有单切点和双切点操作，但均不适用于NNM-SS模型。因此，本文针对NNM-SS 模型进行了编码，并建立了一种适用的交叉算子来优化整型变量，具体方法如图2所示，其展示的是两个包含3 条热流和2 条冷流的换热网络在NNM-SS模型下进行交叉的操作。

在选定父代与母代之后，以热流股作为交叉对象。当进行交叉操作时，通过设置交叉判定值θ，分别从父代和母代中选取热流股，并继承原热流股中的所有匹配信息（图2 中子代的H1 和H3 流股来自父代，H2来自母代），节点匹配的信息记录方式如式(20)、式(21)所示：

图2 交叉操作应用于NNM-SS模型示意图Fig.2 Application of crossover operation to NNM-SS model

其中，i0～2、j0～2代表流股上各节点的编号，当k=0 时代表下角标不存在。交叉后的结构由于自身融合了两个不同个体的结构信息，再继续用RWCE 算法优化时，算法更有可能从中发现真正优势的匹配，从而发现潜在的优势换热网络结构。

值得注意的是，在进行交叉操作时可能会出现冷流股节点被重复连接的情况。因此，有必要采取修复措施，即当检测到出现节点重叠时，将重叠的节点随机在冷流股选取空节点形成新的匹配。这样的修复措施不仅能解决节点重叠导致的不可行解问题，而且选择同一冷流股上的空节点进行匹配，能促进父代和母代的匹配关系进行竞争，保留下优秀的基因。修复措施如图3 所示，图中虚线代表重新形成的匹配。

图3 节点重叠时的不可行解修复操作Fig.3 Repair operation of infeasible solution when nodes overlap

在RWCE 算法基础之上实施GA 算法的具体算法流程如下。

Step1:当RWCE 算法优化到一定迭代步数λ时进入GA算法，将种群按TAC值划分为两部分。

Step2:按式(22)计算每个个体的适应度值，父代从前一半个体中根据适应度值使用旋轮法进行选取。

式中，ξ是一个较小的数，确保劣势的个体也有繁殖的机会。

Step3:交叉操作，按式(23)进行交叉，调取满足(0,1)分布的随机数α4，如果α4小于判定值θ，则从上一步挑选的父代中选取热流股，否则仍依旋轮法在所有个体中选取母代的热流股，直到所有热流股都被选取。若在交叉后，子代冷流股上的节点出现重叠，则按前文所述进行修复。一般θ设置大于0.5，以确保多数热流股能继承到父代的优秀基因。

需要强调的是，交叉后形成的网络结构都将进行换热量的重新分配，增加子代的独立进化能力。

Step4:变异操作，将交叉子代换热网络结构与父代换热网络进行结构对比。若结构不同则按小概率μ选取冷热流股上的空节点形成匹配并按式(24)赋予换热量；若结构没有发生变化则强制变异，按式(24)挑选空节点生成换热单元。

Step5:重复Step2～Step4 直到获得数量等同于后半部分种群的子代，并将子代的结构信息传递给后一半劣势种群继续使用RWCE算法进行优化。

RWCE-GA 算法的主要思想是通过GA 算法将RWCE 算法所搜寻到的结构匹配信息进行交叉、变异后来循环往复地淘汰后一半劣势个体，并继续使用RWCE 算法进行优化发挥其随机游走独立进化的能力。在保留优势个体的过程中，新产生的较优个体若能在下一轮次的GA 算法执行之前进入前一半部分的优势种群中，就能得到充分优化的机会，从而不至于遗漏其通过父代和母代繁衍之后产生的优良整型变量基因。整个过程中，优势种群间的个体和劣势种群间的个体是动态变化的，且能实现整型变量匹配的信息共享，弥补了基础RWCE 算法种群独立进化所导致的缺陷，同时由于前一半优良个体独立进化仍能保持较强的全局范围内独立进化能力，避免GA 算法杂交导致的早熟问题。

3 算法的并行化和并行有效性分析

3.1 算法的并行化设计

RWCE 算法和GA 算法都十分依赖于种群个数，种群规模越大，RWCE 算法的优化路径就越多，从而优化质量会大大提升，而GA 算法就越能通过交叉、变异繁衍出好的后代。不过，随着种群规模的增大会使一般的串行算法效率低下，优化时间急剧上升。从算法的时间复杂度来看，有分流的节点非结构模型相比无分流模型多了分流数和分流上的节点数，在遍历热流股节点进行计算时其时间复杂度可以达到O(N5)，并且循环中还要做多次运算，这显然在大规模种群优化时是不合理的，因此十分有必要在基础串行算法之上进行并行化。

并行算法使用Fortran+OpenMP 来实现，其中OpenMP 是一种基于共享内存进行多线程并行设计的指导性注释[22]。共享内存模式如图4 所示，指的是CPU 的每个核心中的每个线程都能对同一内存位置的变量值进行读写，而整个并行程序由多个共享内存的并行任务所组成。基于此，本文通过合理地将算法涉及到的变量划分为私有变量、线程私有变量和共享变量，并重新设计算法来实现并行化，其流程如图5所示。

图4 共享内存模式示意图Fig.4 Schematic diagram of shared memory mode

图5 并行RWCE-GA算法流程图Fig.5 Flow chart of parallel RWCE-GS algorithm

算法一开始产生初始种群后将RWCE 算法分配到不同的线程中，而在最优结构信息记录时则会让线程依次串行通过来确保变量记录的准确而线程之间不发生冲突，当迭代步数达到设定阈值时会让主线程执行GA 算法，算法会在进行了一系列交叉、变异的繁殖操作之后，将所获取的结构重新分配给不同线程继续优化。

3.2 并行算法有效性分析

本文算法通过Visual Studio 2017 编程，计算机的操作系统为Windws10, CPU 为Intel(R) Xeon(R)Gold 6226R@2.90GHZ(2处理器64核128线程)。

并行算法的有效性的核心指标是加速比，分别测试了H6C10算例下种群分别在10～60个体数时运行100000 步的运算执行时间和效率，结果如图6 所示。在60 个个体时，串行程序的运行时间为408 s，在并行程序60个线程的加速下（一个个体对应一个线程）仅为17.8 s，而加速比随着线程数的增多先增加后减小，其最大加速比在30 个线程时可达38.5。加速比先增大后减小的原因是在线程数较少时串行部分较少，算法的并行部分对比串行部分能起到更大的作用，因而加速比能够先增大，但随着线程的增加，通过串行部分的线程数不断增加，同时算法中为了记录数值的精确还设置了线程堵塞从而导致了加速比的不断减小。另外作为比较，本文还测试了在30 个线程下H4C5、H13C7 算例的加速比，它们分别为25.2 和46.3，这表明随着算例规模的扩大，并行算法的加速效果更加显著，这与文献[19]得出的结论一致。由此可见，将RWCE-GA 算法进行并行化可大幅度提高求解效率，从而可以实现算法在大种群规模数下的求解，弥补串行算法运算速度的不足。

图6 并行算法和串行算法执行时间对比及其加速比Fig.6 Comparison of execution time and speedup between parallel algorithm and serial algorithm

4 算例分析

4.1 算例1

算例1 是由Linnhoff 等[23]提出的一个芳烃厂的案例。它由4 条热流股和5 条冷流股组成，是一个被广泛研究的经典算例，算例参数如表1 所示。本文通过并行RWCE-GA 算法优化所得的最后结果为2891952 USD·a-1，优化时间为3782 s，换热量游走步长ΔL=150 kW，Qmax=200 kW，λ为3000000 步，交叉概率θ=0.6，变异概率μ=0.1,并行线程数设置为64。

表1 H4C5 算例流股参数Table 1 Parameters of the case involving 9 streams

算例1 规模不大，对于优化来说，容易发生早熟，并且2.2 节已述基础RWCE 算法由于个体独立进化的缘故会使得弱势个体缺乏矫正的机会导致优化难以进行。因此，在此算例下跟踪了四个个体优化过程中TAC 的变化，并将它们优化到最优值时遗传代数为第十代种群TAC 的排序情况和进行第一次执行GA 算法时第一代种群TAC 的排序情况进行了对比，如表2所示。可以发现，原本在第一代中处于最后的26 号和21 号个体经过遗传杂交以后在找到最优解时变为最优个体，而一开始的最优个体59 号和31 号个体在算法找到最优解时进入了后一半种群。这就说明遗传算法弥补了基础RWCE 算法的不足，通过遗传算法交叉、变异后的劣势种群能重新具有活力，许多有更优秀结构匹配的个体能够涌现，充分发挥多种群的优势并解决了原有算法劣势个体无法更新的缺点，同时混合算法由于前一半个体仍独立进化，可以使这些个体能得到充分的优化。

表2 四个跟踪个体不同遗传代数下的费用排序对比Table 2 Comparison of TAC under different genetic generations of four tracking individuals

算例1 的最优结果如图7 所示，结果对比如表3所示，其中目前的文献最优解是由Zamora 等[28]通过在他人已知的换热网络结构上通过一种公用工程位置重置策略进行强化所保持，其结构包含17个换热器，TAC 为2892406 USD·a-1，然而其换热网络的结构并非是通过算法寻优的结果，其策略依赖于与一个好的基础结构才能实施其策略进行强化，因此其普适性略显不足。本文最优解与其相比，虽然增加了设备投资费用，但是公用工程能耗费用下降却达40948 USD·a-1，能量回收更多，从而最终TAC 下降了454 USD·a-1。另外，本文1096 s 下算法的优化结果为2894686 USD·a-1，求解质量较文献[26]有很大的提高，这也表明本文的并行混合算法的优化效率较好。

图7 并行RWCE-GA算法优化算例1最优结果Fig.7 The optimal result of example 1 under the optimization of parallel RWCE-GA algorithm

表3 算例1文献结果对比Table 3 Comparison of case 1 with literatures

4.2 算例2

算例2 来自Khorasany 等[29]的研究，这是一个从实际香料厂简化而来的算例，包含6 条热流股和10条冷流股，并且每条流股的热负荷较大，其中热蒸汽价格为35 USD·(kW·a)-1，冷却水价格为2.1 USD·(kW·a)-1，换热器计算价格公式为(26600+4147.5A0.6)USD·a-1。在此算例情况下，算法的主要参数设置为：换热量游走步长ΔL=150 kW，Qmax=350 kW，λ为5000000 步，交叉概率θ=0.6，变异概率μ=0.1。另外，算例的热流股较少，而程序中的遍历节点以热流股为基准，因此并行线程数可设置为64。

为了进一步证实混合算法有效性，将其TAC 的迭代曲线与基础RWCE 算法在并行情况下的迭代曲线进行对比，如图8所示，发现混合算法收敛性大幅提升，特别在前一亿步实施GA 算法的迭代步数时经常能产生TAC 的下降，证明了混合算法相比基础RWCE 算法能有效提升优化的效率。相较而言，基础RWCE 算法由于过于强调个体独立进化，好的结构匹配无法共享，导致整型变量的优化过于随机，而本身换热网络所存在的潜在匹配十分庞大，所以其优化效率偏低。

图8 RWCE算法和RWCE-GA算法在并行情况下的迭代曲线对比Fig.8 Comparison of iterative curves between RWCE and RWCE-GA in parallel algorithm

从优化质量来看，混合算法优化的最终结果为6650082 USD·a-1，而基础RWCE 算法的优化结果为6807138 USD·a-1，优化到最优解的时间为35699 s，其算例对比如表4 所示，最优结果如图9 所示。虽然优化时间较长，但从突破最优解角度来看，这些时间上的花费是可以接受的，并且本文在与文献[27]相同的计算时间下的优化结果为6689341 USD·a-1，也超过了大部分文献结果。目前，该算例已知最优结果是由Rathjens 等[27]通过一种有结构辨识功能的定制遗传算法优化所得，其结果为6657080 USD·a-1。相比文献最优解，本文结果不仅设备投资费用下降了2368 USD·a-1，而且能耗费用也下降了4630 USD·a-1,TAC 总的下降了6998 USD·a-1。这表明RWCE-GA 算法在后期通过优势结构的杂交、变异能够增强其全局搜寻能力，改善了基础RWCE 算法在处理整型变量优化时效率低的缺点。其次，对比文献[27]中所得到的换热网络结构，其同时在H1、H2、C8上都产生了分流，而本文结构仅在H2产生了分流，对于实际工程而言，分流数的减少能简化管网布置以及整套换热网络系统的复杂性，这是有利的。

图9 并行RWCE-GA算法优化算例2最优结果Fig.9 The optimal result of example 2 under the optimization of parallel RWCE-GA algorithm

表4 算例2文献结果对比Table 4 Comparison of case 2 with literatures

4.3 算例3

为了进一步检验混合算法的优化能力和普适性，选用了H13C7[33]这一大规模的算例来检测算法在处理大规模换热网络优化问题上的性能，算例的热蒸汽价格为250 USD·(kW·a)-1，冷却水价格为25 USD·(kW·a)-1，换热器计算价格公式为(4000+500×A0.83)USD·a-1。算法的主要参数设置为：换热量游走步长ΔL=100 kW，Qmax=100 kW，λ为5000000 步，交叉概率θ=0.7，变异概率μ=0.1，并行线程数设置为48。

经优化，此算例下找到的最优换热网络结构TAC 值为1396613 USD·a-1,优化时间为7237 s，算例的结构如图10 所示，算例对比如表5 所示。该算例的最优TAC 仍是Zamora 等[28]通过公用工程重置所得，其结果为1388811 USD·a-1。Pavão等[20]也对算法进行了并行化处理，不过他们在7000 s 的优化时间内TAC 结果为1516582 USD·a-1，优化质量不高。孙涛等[34]使用了一种改进的RWCE 算法，其最优结果TAC 为1431665 USD·a-1，耗时23206 s。文献[27]的最优结果则是通过HGA-SIR 算法优化所得，TAC 为1407203 USD·a-1，但是耗时达50328 s，显然无论优化质量还是优化效率相比本文提出的并行混合算法都偏低。

图10 并行RWCE-GA算法优化算例3最优结果Fig.10 The optimal result of example 3 under the optimization of parallel RWCE-GA algorithm

表5 算例3文献结果对比Table 5 Comparison of case 3 with literatures

5 结 论

（1）为了提升RWCE 算法在优化换热网络时整型变量的优化能力以及弥补弱势个体无法更新的问题，提出将RWCE算法与GA算法混合并在NNMSS 模型上实现。该混合算法在一定迭代周期内使用GA 算法进行交叉、变异等操作更新后一半的劣势种群，来提升基础RWCE 算法的性能，并且由于前一半种群仍能独立进化,所以混合后的算法在提高搜索效率的同时兼顾原有算法优良的全局独立寻优能力。

（2）使用OpenMP 系统将本文所提出的混合算法进行并行化处理，测试了并行算法在H6C10 算例上的运行时间。结果表明并行后的混合算法能大幅提高求解效率，最高加速比在30个线程时可达到38.5，且加速比随着算例规模的增大而增大，使其能够在大规模种群时进行优化，克服了串行算法原本优化时间过长的缺点。

（3）三个规模不同的算例用于验证本文提出的并行RWCE-GA 算法，其中H4C5 算例和H6C10算例分别较文献最优解下降454 USD·a-1和6998 USD·a-1，H13C7 算例则在较短时间内超过大部分文献结果，说明本文的并行混合算法能处理不同规模下的换热网络优化问题，可有效提高优化的质量。

符 号 说 明

A——换热面积,m2

C——费用系数,USD·a-1

F——适应度函数值

FCp——热容流率,kW·℃-1

L——冷热流股连接情况的匹配信息

LMTD——对数平均温差,℃

ΔL——游走的步长,kW

n——个体编号

Pe——罚因子常数

Q——换热量,kW

Qmax——算法换热量最大生成值,kW

r1,r2,r3,r4——服从(0,1)分布的随机数

S,S′——分别为选择与接受差解阶段迭代前后的解向量

SPC,SPH——分别为冷热流股的分离比

T——温度,℃

ΔTmin——传热温差最小值,℃

ΔTleft,ΔTright——分别为换热单元左、右边的温差,℃

X,X′——分别为算法游走前后的连续型变量

Z,Z′——分别为换热单元是否存在，以及是否游走的整型变量

α1,α2,α3,α4——服从(0,1)分布的随机数

δ——接受差解概率

ε——罚因子系数

θ——交叉概率判定值

λ——GA算法实施周期

ξ——适应度函数常数

φ——判断是否需要游走的概率值

上角标

in——进口

out——出口

tg——目标温度

β——面积费用指数

下角标

A——换热面积

F,M,S——分别为父代、母代、子代

fix——固定投资

it——迭代步数

i,i1,i2——分别为热流股上流股、节点以及分流编号

j,j1,j2——分别为冷流股上流股、节点以及分流编号

k——节点连接匹配序号

n——个体号