●李宝

2016年5月，网易新闻[1]和搜狐教育[2]先后报道了国外一程序员参加微软招聘惨遭淘汰的经历， 引发了国内网友的极大关注。时至现在，共有2200多网民跟帖讨论。之所以会引起公众的关注，是因为微软出的面试题是一道数学题：

有一个直角三角形，斜边长10cm，从顶点到斜边作垂线，垂线长6cm，求直角三角形的面积（为了行文的方便，以下将此题称为“原题”）。

笔者曾就原题考查了一部分中学生、中学数学教师和在校的大学生，绝大多数人都和“程序员”的遭遇一样，被这道题“坑了”：直接用三角形的面积公式（底×高÷2）算得三角形的面积为30。他们为什么错了？ 因为这是一道“错”题。当然，许多人是“不知错” 而错答。下文首先从数学的角度证明原题是错题，然后从解题教学的角度给出原题的变式。

一、错题正解，一题多解

数学题可分为两种，即求解题（或解答题，包括计算题）和证明题。波利亚在其《怎样解题》一书中讨论了“求解题”和“证明题”的主要部分、目标及解的方法。求解题的主要部分是“未知量”“已知数据”和“条件”，目标是要找到某个对象，即该题的未知量。“证明题”的主要部分是“题设”以及要求证明或推翻的定理的“结论”，其目标是要确定地表明某个清楚陈述的论断是正确的还是错误的[3]。但无论是哪一种，数学题都包括两个部分：条件（已知）和待求解或待证明的结论。求解题中，一般只给出条件（一个或多个），结论需要通过解答（运算、推理等）探求。证明题中，条件（一个或多个）和结论同时给出，（命题）结论成立与否，需要利用条件用“证明”的方法加以说明。

要解题，需先“辨题”——辨别题型及题是否有解，明确解的方法和解的个数。而要说明一道题是错题或无解，一般有两种方法，一是举反例，二是推矛盾。原题是一道求解题，背景是“直角三角形”，联想与直角三角形有关的几何性质，可利用“几何直观”推矛盾。

解法1 以AB为直径作圆，在圆上取不同于A、B的点C，连接AC和BC，则顶点C到AB的最大距离为半径（见图1），即斜边长为10cm的直角三角形其斜边上的高的最大值为5cm，与题设的高为6cm矛盾，因此满足题设条件的直角三角形不存在。

图1

注 此解法用到了圆的一条性质：直径所对的圆周角为直角。同时，本解法可以直接用数学教学类软件如几何画板、超级画板、Geogebra等演示，比较直观。

在肯定了原题为错题的情况下，又可以综合利用几何知识推矛盾，实现一题多解。

解法2 若ABC为直角三角形，取斜边的中点E，连接CE。那么，CE=5。而CD是斜边上的高，则在直角三角形CDE中，有5=CE>CD=6，矛盾。或者，从点到直线的距离的定义可知，6=CD≤CE=5，矛盾。故满足条件的直角三角形不存在。

图2

注 此解法用到了直角三角形的两条性质：一是“直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半”；二是“直角三角形中，斜边最长”。而第二条性质是由点到直线的距离逻辑导出的。

解法3 若ABC为直角三角形，如图3，则由勾股定理和面积等积公式可得方程组：

图3

由（1）（2）得

因此满足条件的直角三角形不存在。

另解：由（1）（2）得（AC+BC）2=220，即有：

由（1）（4）可知，AC和BC是一元二次方程

注：此解法用到了勾股定理和等积公式，而在求解二元二次方程组的过程中， 用到了整体思想和一元二次方程根与系数的关系。通过比较可以发现，由（1）（2）变换得到（3）较为简单，但“另解”可训练学生的解题能力，并且是求解此类方程的通法。

解法4 若ABC为直角三角形，如图3，则根据三角形的相似或射影定理可得：

所以AD2－10AD+36=0， 因为Δ=（－10）2－4×1×36=-44<0，所以方程无解，即满足条件的直角三角形不存在。

注：此解法用到了三角形相似的知识（或直角三角形中的射影定理）和一元二次方程。

二、一题多变，小题大做

就解题教学而言，不仅要教会学生“辨题”，还要教会学生“变题”，举一反三，培养学生提出问题的能力。对于求解题，可通过改变（增加、减少、替换）条件变题。对于证明题，可通过“四种命题”的关系变题，也可以通过替换条件或结论变题。

原题是关于三角形中的线段的关系问题， 可通过改变条件变题（篇幅所限，以下各题只给出解答思路），实现一题多变、小题大做。

（一）保留“直角三角形”这个条件，弱化条件，将具体数字变为字母，做一般化处理

变式1 设直角三角形的斜边长为c， 斜边上的高为h。求三角形的面积。

注：若h≤c/2，面积可求。否则，面积不可求，因为满足条件的三角形不存在。

根据前文所述的解题过程和解题方法， 可在此题的基础上进一步变式，得到：

变式2 设直角三角形的斜边长为c， 斜边上的高为h。求直角边长。

注：若h≤c/2，利用前文的解法3或解法4，可求得AC和BC。否则，若h>c/2，满足条件的直角三角形不存在，因此无解。

变式3 设直角三角形的斜边长为c， 斜边上的高为h。求周长。

注：若h≤c/2，利用式（1）和（2）可求出AC+BC，从而周长可求。否则，若h>c/2，满足条件的直角三角形不存在，因此无解。

变式4 设直角三角形的斜边长为c， 斜边上的高为h。求作三角形。

注：分三种情况讨论，h>c/2、h=c/2或h

（二）弱化条件，将“直角三角形”变为“一般三角形”，做一般化处理

变式5 已知三角形的一边和这边上的高，求三角形的面积。

（三）弱化条件，将“直角三角形”变为“一般三角形”，并替换条件或问题

变式6 已知三角形的一边和一边上的高，求三角形的面积。

注：本题需讨论，若高是给定边上的高，同变式5；若高是给定边邻边上的高，而三角形是直角三角形，面积可求，否则三角形的面积不可求。

变式7 已知三角形的一边和这边上的高，求三角形的周长的取值范围。

注1：当高在三角形外时，周长不可求。

注2：当高在三角形内（含同三角形的边重合），设已知边长为c、高为h，则当三角形为直角三角形时，周长取得最大值当三角形为等腰三角形时，周长取得最小值本题可从代数和几何两个角度求解， 代数求解需用到均值不等式或两次平方且运算量较大，几何求解需用到变换，简单且直观。

注3：当三角形为等腰三角形时，可获得一个结论：在同底等高的三角形中，等腰三角形的周长最小。

想到三角形中不仅有高，还有中线和角平分线，又可以将题变为：

变式8 已知三角形的一边和这边上的中线，求三角形的面积。

注：此时的三角形不确定，通过设参可求得面积表达式，面积有最大值（当中线变成高时）。

变式9 已知三角形的一边和对角的平分线，求三角形的面积。

注：此时的三角形不确定，通过设参可求得面积表达式，面积有最大值（当角平分线变成高时）。

三、一题多思，教学双赢

原题乍一看很简单，似乎小学生都会做，是一道“小题”。而从前文的探讨中可以看到， 对原题的正解，综合运用了平面几何与代数的知识和方法，涉及一元二次方程、一元二次函数、三角形、相似、勾股定理、锐角三角函数、圆、周长、面积等，因此这是一道典型的“大题”。

对数学问题的求解，一般来说，应按如下步骤进行：①判断解的存在性，在有解的情况下还需探讨解的个数（不至于漏解）。②探索求解的方法，尽可能综合考虑代数法、几何法，做到一题多解。③求解，保证运算、推理准确无误。④回顾与检查，做到一题多思、一题多变。遗憾的是，长期的“掐两头、烧中段”式的教学及“题海”式训练，早已让一些教师和学生忘记了题的“解的存在性”，拿到题就做，找到答案就行。至于答案是否正确，由于没有“回顾”，致使对明显的错误视而不见。

回到文章开始的情境，为什么有那么多的人会掉进陷阱呢？对面试者“为啥我的答案错误”的问题，面试考官回答：“如果你稍微认真地想想，就会发现，这样的三角形是不存在的。”这样的回答暴露了出题者的初衷：他们真正的意图是考察面试者是否有冷静的头脑以及良好的分析问题的能力。因此，此题是出题者有意出的“错题”。

尽管中、高考考试一般不出错题（曾经有），但教学中我们应时不时地有意出错题。因为，在错题正解的过程中，能培养学生综合应用数学知识、方法、思想解决问题的能力，培养学生的“逻辑推理”“直观想象”和“数学运算”等学科核心素养；在错的阵痛中，能培养“中国学生发展核心素养”提出的“理性思维”“批判质疑”“勇于探究”“勤于反思”等核心素养。