●刘国新

一、引言

计算椭圆的周长，需要用第二类椭圆积分或者展开成无穷级数计算，计算量比较大，而且椭圆积分不能表示为初等函数，因此椭圆的周长不可能有准确的计算公式。有学者进行了椭圆周长计算公式推导的尝试。

花向东[3]提出的公式

这个需要开根号，虽然计算较为简单，但是精确度并不是太高。

贾青慧[4]提出了一种精确度较高一点的公式：

但对于中学生计算椭圆周长来说计算量较大。陈晓彦、刘植[1]介绍并推导了椭圆周长的三个经典公式及相应误差估计，误差虽然较小，但计算方式不适合中学椭圆周长的推导。

本文结合现有公式和MATLAB 软件给出了计算椭圆周长的一种近似计算公式，计算量较小，而且比中学常用的椭圆周长计算公式精确度更高， 十分适合用于中学的椭圆周长计算。

在平面上，令两个定点F1、F2为焦点，线段F1F2=2c，c 为半焦距，焦距的中点O 为焦心。令线段F1、F2两侧对称的M（N）为特殊的动点（能纵向横向移动，起点终点都在同一直线上）， 线段MN=2a，a 为半长轴（动点与焦心间的最大距离为半长轴a，最小距离为短半轴b）。令离心率

半焦距长c 与半长轴长a 的比值越小，椭圆周长越大，形状越近似于圆，反之，周长越小，形状越扁平。

二、用椭圆的代数量近似计算椭圆的周长

（一）以F1、F2 为定点，焦距2c 为定值，半焦距c为常数，M（N）为动点，半长轴长a 为变量

用不同的动点、选择不同的e，画出长度不同的椭圆曲线，如图1。

图1 圆、椭圆c 为常数的组合图

令椭圆周长为LC，有＞LC≥4c。

（二）M（N）仍为动点，线段MN=2a 为定值，半长轴a 为常数

移动F1、F2的点位，使半焦距c 为变量，由c=a·e，c 与e为正比关系，e 越小，c 越小，F1、F2越接近焦心。当趋近于零，F1、F2无限接近焦心，椭圆趋近于圆。周长最大值为LM=2πa。当e 趋近于1，F1、F2无限接近于M、N，椭圆曲线最短，理论值为LM≥4a。

用不同的焦距，选择不同的e，画出长度不同、起点终点相同的曲线，如图2。

图2 圆、椭圆a 为常数的组合图

令La为椭圆周长，有2πa≥La≥4a。

两类表述中，椭圆短半轴b 均为变量。

两相比较，a 为常数时曲线在有限空间内变化，最大值2πa 为定值。c 为常数时，曲线变化空间无限，最大值为不确定因素，不便处置。所以用半长轴a 为常数继续进行研讨。

三、近似椭圆周长

推证：La与e、c、a、π 的函数关系式

因为椭圆有焦点、动点、半焦距、半长轴几个因素，各种因素成对出现，又与圆关系密切（两者都离不开无理数π，与双曲线抛物线不同），所以椭圆周长应由两部分组成：

第一部分是2πa，表示以半长轴a 为半径的大圆的周长，即为周长的最大值。

第二部分是表示以半焦距c 为半径的可变的小圆的周长，但不是周长的最小值。但两部分不能相加，不能乘除，因为有最大值和量纲（单位）的制约。

所以：La=2πa-2πa·e …… ①

当e 趋近于1，La趋近于0，与前面结论Lm≥4a明显矛盾。因2πa 为常数，只能调整可变的第二部分。暂用c1替换，和L1=Lm=4a 代替La进入①。

有4a=2πa-c1，得c1=2a（π-2）

注：“2a（π-2）”为e 趋近于1 时，半长轴a 为常数、半焦距c 为半径的小圆周长，即e=1 时的小圆周长。

令各节点的小圆周长为2a（π-2）ex

所以：La=2πa-2a（π-2）ex

=2{π-（π-2）ex}a …… ②

此式表明，半长轴为常数的椭圆周长只与ex有关。

四、对比、排除深入研讨ex

为确保e 趋近于1，Lm≥4a，恒定的特殊条件，ex不能有e 加（减）x，e 乘（除）x 和e 的自然数。

因e 越小，La就越大，曲线长度越大，椭圆趋近于圆，必有又因La的变化量远大于e 的变化量，ex的变化率越小越好。

根据椭圆的几何特征和ex的综合作用，ex=此式成立的唯一条件是x=2。再因e2可远小于e。

将ex的假想值代入公式用计算数据进行类比，最终优选出

代入②得到周长

注：（1）③④为椭圆周长的两个公式。两个公式对任意一条曲线皆适用，关键是e 的确认，若e=1/3，当c=10，必有a=30，又若a=40，必有c=13.3…（如组合图1 所示）

（2）“2-e”为公式的微调部分，若用“2.1-1.1e”、“2.2-1.2e”…椭圆周长则微小增大。又若“1.9-0.9e”、“1.8-0.8e”…椭圆周长则微微减小。

（3）公式还适用以长轴为界的半椭圆长度的计算。

五、近似计算椭圆周长结果的比较

为了检验本文所推导的公式的精确度，将之与以下公式进行比较：

表1 精确度比较

公式1 为中学数学计算椭圆周长最常用的方法，公式2 为计算椭圆周长计算量较小、较为常用的方法之一，公式3 为椭圆周长的级数展开计算方法，精确度是目前最高的，可以近似为椭圆周长真值。

下面进行公式1、公式2、公式4 与公式3 之间的误差分析。

由误差表2 可以看出，中学数学最常用的公式随着e 的增大误差随之增大；公式2 在e 值较小时比较逼近近似真值，但随着e 值增大，误差变得越来越大。本文所推导的公式4 是三个近似公式里误差最小的，由此可见，本文所推导公式符合椭圆周长的计算本质，并且本文所推导公式计算量较小，适合于中学数学的椭圆周长计算。

表2 误差比较