江漂　张维忠

摘要：英国Edexcel考试局编制的A-level课程教科书，在全球范围内有较高的认可度。其中的数学教科书突出了函数、微积分、二项式、数列、平面几何坐标等代数领域或以代数方法研究几何问题的内容。其编写在应对以核心素养为导向的数学课程改革趋势方面，呈现出三个值得我国借鉴的鲜明特色：强化数学多元表征，深度融合信息技术，重视融入跨学科知识。

关键词：英国数学教材；核心素养；多元表征；信息技术；跨学科知识

在国际上，英国继续教育联盟（Further Education Unit）最早用“核心素养”指导课程设计。他们列出了核心素养包含的100多项关键能力，后来将其划分为10个领域：个人和职业发展，工业、社会和环境研究，交往，社会技能，计算，科学和技术，信息技术，创新发展，操作技能，问题解决。显然，英国继续教育联盟提出的核心素养不仅关注知识和技能方面，还注重实际操作能力，强调从适应未来社会的职业规范角度来制定核心素养体系。教科书作为实施课程最权威的材料，其编写集中体现了课程标准的理念，对教学质量有直接的影响。因此，对教科书编写的内容进行分析，可获得落实哪些核心素养以及如何落实核心素养等方面的启示。本文从核心素养的角度分析英国Edexcel数学教科书的编写特色，以期为我国数学课程改革提供些许新思路。

一、 Edexcel数学教科书的编写背景

英国自1988年颁布《教育改革法》以来，义务教育被划分为4个关键阶段：5—7岁、7—11歲、11—14岁、14—16岁。其中，前两个关键阶段是小学阶段，对应1—6年级；后两个关键阶段是中学第一阶段，对应7—11年级。此后的教育属于非义务教育。其中，16—18岁的教育为中学第二阶段，一般称为“第六学级”。

中学第二阶段（英国学制中没有“高中”这一概念，但是可视为等同于我国学制中的高中阶段）的课程被称为A-Level课程，是英国大学入学考试的全民课程，也是英国普通中等教育证书考试的高级水平课程。该课程的教学安排、学习要求及考试分别由英国四个主要的考试局——剑桥国际考试委员会（Cambridge International Examinations，简称CIE），牛津、剑桥和RSA考试局（Oxford Cambridge and RSA Examinations，简称OCR），英国资格评估与认证联合会（Assessment and Qualifications Alliance，简称AQA），以及英国爱德思国家职业学历与学术考试机构（Edexcel）设计并组织，极具权威性，考试成绩被全世界广泛认可。其中，Edexcel考试局由伦敦大学考试与评估委员会（ULEAC）以及英国商业与技术教育委员会（BTEC）在1996年合并成立，是英国最大的颁证机构。Edexcel考试局编制的A-level课程教科书，在全球范围内有较高的认可度。本文分析的就是其中的数学教科书，即Edexcel AS and A-level modular Mathematics（2008年出版）。

二、 Edexcel数学教科书的编写内容分布

Edexcel数学教科书共三册：core Mathematics 2、core Mathematics 3和core Mathematics 4（以下分别简称A-C2、A-C3、A-C4）。其目录详细，清晰呈现每一章所包含的内容。每一章均对本章的主要内容做简短的提炼，并提出本章的教学目标。

各分册每一章的内容（标题）及页数如下：

A-C2：代数与函数（Algebra and functions），17页；正弦与余弦定理（The sine and cosine rule），20页；指数与对数（Exponentials and logarithms），13页；平面几何坐标（Coordinate geometry in the （x，y） plane），22页；二项式（The binomial expansion），11页；弧度制（Radian measure and its applications），15页；数列（Geometric sequences and series），19页；三角函数的图像（Graphs of trigonometric functions），18页；微分（Differentiation），13页；三角恒等式与简单方程（Trigonometrical identities and simple equations），17页；积分（Integration），22页。

A-C3：代数分数（Algebraic fractions），11页；函数（Functions），20页；指数函数与对数函数（The exponential and log functions），15页；数值方法（Numerical methods），14页；函数图像（Transforming graphs of functions），21页；三角函数（Trigonometry），23页；三角函数恒等变换（Further trigonometric identities and their applications），17页；微分（Differentiation），21页。

A-C4：部分分式（Partial fractions），9页；平面几何坐标［Coordinate geometry in the （x，y） plane］，13页；二项式展开（The binomial expansion），13页；微分（Differentiation），15页；向量（Vectors），36页；积分（Integration），42页。

进一步统计章数以及每一章包含的节数和页数，可以大致得出关于Edexcel数学教科书编写内容分布的结论：突出函数、微积分、二项式、数列、平面几何坐标等代数领域或以代数方法研究几何问题的内容。其中，函数的内容主要包括指数函数、对数函数和三角函数，并特别重视三角函数。由此可见，代数内容在Edexcel数学教科书中十分突出。这也符合当下“数字化时代”的特点：代数已经成为通向高等教育和更多机遇的大门，成功参与民主社会和科技市场离不开抽象代数思维。

三、 Edexcel数学教科书的编写特色

Edexcel数学教科书的编写，在应对以核心素养为导向的数学课程改革趋势方面，呈现出以下三个值得我国借鉴的鲜明特色。

（一） 强化数学多元表征

数学表征指用某种形式表达数学概念或关系的过程，也指可见的有形的产物，如图表、数轴、图形、具体对象或操作的排列、物理模型、数学表达式、公式和方程等。数学表征同时被认为是一种数学能力，即能创造、选择或应用各种数学表征来解决数学问题。2000年至2021年历届的PISA测试，均把数学表征作为重要的数学素养评价指标。随着许多国家将数学表征能力作为学生数学关键能力之一，其在我国的课程标准中也愈发得到重视。 比如，《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的数学学科核心素养中“数学抽象”“直观想象”“数学建模”等的描述均与数学表征密切相关。数学表征有助于学生理解数学概念、关系，或关联解决问题过程所使用的数学，也有助于学生组织思维，更加具体地认识数学概念、关系，进行反思。学生问题解决成功与否往往取决于能否灵活使用数学表征。数学表征的不断抽象是深度理解数学概念、关系的过程。提升学生的数学能力，需要适时提高教科书中概念表征的抽象程度。

Edexcel数学教科书彰显了数学表征的重要地位，体现了表征形式从具体到抽象的特点。其例题的每一步均标有详细的注释，对如何得出下一步作出细致的阐述。具体呈现方式如下页图1所示：左侧是解答过程，右侧是文字解释（解题思路）。同步呈现思维过程中两种不同的表征方式，即符号表征和文字表征，有助于学生理解例题蕴含的数学概念。而且例题所占的篇幅也较大。

Edexcel数学教科书充分发挥了表征对数学概念、关系的示范与解释功能，很少单一使用文字表征或符号表征的方式界定概念或关系，而是以多元表征的方式呈现概念或关系的多种意义，有助于学生更好地建构知识，达到了学生通过教科书就能独立自学相应知识的目的。

我国教科书的编写也需强化数学多元表征，适当地增加多元表征方式，凸显数学表征在数学知识学习和问题解决中的价值，提高学生的数学表征能力。

例如，人教A版高中数学必修第一册以文字和符号的表征形式对函数的概念进行定义和阐述：“事实上，除解析式、图像、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系。一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯 一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f（x），x∈A。”这对学生理解函数概念提出了较高的要求。由于函数概念是学生进入高中不久后接触的内容，加上高中函数概念十分抽象，会在一定程度上造成学生的畏难心理，并导致学生对函数概念理解得不透彻。对此，可以借鉴Edexcel教科书的多元表征方式，在原有的文字和符号表征的基础上，增加图形表征（如图2所示），助力学生理解函数概念，提升数学表征能力。

（二） 深度融合信息技术

信息技术对数学教学具有重要作用，一直备受数学教育研究和实践的关注。

在代数、几何以及统计与概率的教学中，运用信息技术，可以简化复杂而烦琐的运算过程，绘制复杂且动态的平面图形和立体图形，还可创设真实的情境，帮助学生经历问题提出、收集数据、表示数据、分析数据、解决问题等过程。将信息技术与数学课程深度融合既是时代的潮流，也是培育核心素养的内在要求。欧盟提出的八大核心素养中就包括了数学素养和基础的科技素养。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）则明确提出：“在实际问题解决中，创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情，开阔学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养。”

Edexcel数学教科书在合适的情境下使用相应的信息技术，帮助学生加深对数学知识的理解，体现了信息技术与数学课程深度融合的理念，使信息技术成为数学课程的重要组成部分，而不仅是一些点缀。此外，Edexcel数学教科书的显著特色是编有“直播文本软件”（Live Text software），以“解决方案银行”（Solution bank）和“考试咖啡厅”（Exam cafe）两个模块，给学生提供额外的学习资源。“直播文本软件”本质上是电子书，学生手动操作翻到所需的页面，就可以展开身临其境的数学探究。这充分发挥了信息技术的优势，有助于教科书中相应内容育人价值的实现。

而我国教科书中信息技术的融入，主要表现为在一些专门的栏目中介绍应用信息技术的益处。相关内容成为学生自行阅读的材料，会导致在实际教学中，信息技术不太容易与课程内容深度融合，不能充分培养学生的信息素养。对此，教科书编写者应该翔实地呈现具体数学内容与信息技术融合的关键步骤，为教科书使用者有意识地使用信息技术，模拟现实场景，体验探究过程，提出与解决数学问题，实现有意义的学习，做好指引。

例如，人教A版高中数学必修第二册直接给出球的表面积公式，再类比推导圆的面积公式的方法，采用“指向球心分割成若干个‘小椎体，近似看作棱锥求体积和，再考察极限逼近准确值”的方法，建立球的表面积和体积的关系，从而推出球的体积公式。那么，如何推出球的表面积公式（在不知道球的體积公式的情况下）？或者在不知道球的表面积公式的情况下，又如何推出球的体积公式？实际上，可以类比推导圆的周长公式的方法——割圆术，采用“水平等距或等角切割成若干层‘小圆片，近似看作圆台或圆柱求侧面积和，再考察极限逼近准确值”的方法，推出球的表面积公式，充分体现“分割、求和、逼近”的微积分思想。而采用这一方法推导球的表面积公式时，会遇到表示圆台或圆柱的侧面积，尤其是求和时一些技术上的障碍。这时，正好可以发挥信息技术的优势，利用一些数学软件强大的计算功能，帮助学生处理推导过程中具体而复杂的计算。此外，借助信息技术，还可以尝试更多分割的方法，将过程可视化，帮助学生自主探究。

（三） 重视融入跨学科知识

由于核心素养具有整体性、综合性、交融性等特征，就需要在学科课程中渗透跨学科知识，为培育学生核心素养构筑学习的“立交桥”。单一学科知识已经无法胜任复杂情境的问题解决，交叉学科、多学科、跨学科教育才能较好地突破这一困境，解决知识碎片化的问题，促进学生创造性思维的发展，满足当今社会对创新型人才的需求。然而，跨学科知识不是将几门学科知识简单地拼凑起来，而是将多学科知识创造性地整合。数学学科是一门与其他学科有广泛联系的基础学科，许多数学思想和数学模型可以运用到其他学科中，体现数学的应用价值。英国最新公布的国家数学课程标准，在突出核心素养导向的基础上，强调将数学知识运用到科学或者其他学科中，注重跨学科知识的融入。新课标明确提出：积极开展跨学科的主题式学习和项目式学习等综合性教学活动。

Edexcel数学教科书很好地体现了数学与其他学科的联系，不仅体现了数学与物理学科的融合，还将数学模型运用到生物、经济、科技、工程等领域，发挥数学作为基础学科，与多学科知识融合的作用。比如，A-C3分册在介绍第一章《代数分数》的内容时，引入了物理中的电阻知识，指出该章内容的学习有助于学生对物理学科电学知识的了解。再如，A-C4分册的第一章《部分分式》将数学模型运用到生物、经济领域，第六章《向量》将数学知识运用到科技、工程领域。

此外，Edexcel数学教科书还立足社会对人才培养的需求，将数学知识与情境相结合，发挥数学的应用价值。其中，情境可分为个人、职业、社会和科学四种类型。通过相应的情境实现对抽象知识的描述，引发学生思考。比如，A-C2分册第五章在引入“二项式”概念时，创设了虫子爬行长方格的情境，通过生动形象的场景激发学生学习新知识的积极性，激励学生从现实世界中提取关键的数学信息，培养学生的数学建模素养。

我国数学教科书也引入了其他学科，如物理、生物学等学科的知识，且主要体现在与学生生活经验的结合，或对生活情境的融入。借鉴Edexcel数学教科书融入跨学科知识的做法，我国数学教科书还需要不断探索融入跨学科知识的资源与方式，在突出学科本位的基础上加强跨学科知识融合，让教科书使用者能够有意识地调动多学科知识解决问题，发挥跨学科知识对学生创造性思维培养的价值。

例如，人教A版高中数学必修第二册“球的体积和表面积”部分的例3是：

如图3，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m。如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）

这样的情境引入，使问题解决本质上仍然考查几何体的表面积知识。如果适当融入浮标的设计原理，则可将物理知识和数学知识高度融合；如果以表现性任务的形式设计，探讨在体积相同的情况下，浮标越接近什么形状，功能越好，则更有助于培养学生解决问题的能力。

再如，高中数学统计与概率内容在培养高中生数据分析素養方面扮演着重要的角色。我国教科书在编写这一部分内容时，可以借鉴PISA2018的理念和框架，融入经济学相关知识，培养学生的数学应用意识和财经素养。

（江漂，浙江师范大学教育学院。主要研究方向：数学课程与教学论。

张维忠，浙江师范大学教育学院，教授，博士生导师。主要研究方向：数学课程与教学论。）