肖雪莲，王芳贵，林诗雨

（1.四川师范大学 数学科学学院，四川 成都 610066；2.阿坝师范学院 数学学院，四川 汶川 623002）

1 预备知识

环R称为凝聚环，如果R的每个有限生成理想I是有限表现的.凝聚环最早见于1960 年Chase［1］的研究中，并得到一个关于凝聚环的经典Chase 定理，即环R为凝聚环当且仅当平坦R-模的直积是平坦模.Stenström［2］引入FP-内射模，对凝聚环做了进一步的刻画，做出了十分漂亮的结果.由此，众多学者对凝聚环产生了浓厚的兴趣，文献［3-4］对凝聚环的性质进行了更深入的研究，而且在推广凝聚环的方面也做了很多工作.文献［4］证明了环R为凝聚环当且仅当每个内射R-模的特征模是平坦模.自然地，针对凝聚环的推广，我们将凝聚环中理想的条件弱化为正则理想，提出正则凝聚环的概念.为刻画正则凝聚环，引入正则平坦模和正则余平坦模的概念，证明正则凝聚环刻画的Chase定理（定理3.2）.

Prüfer环的概念最初出现在文献［5-6］中.交换环R称为Prüfer环，是指每个有限生成正则理想是可逆理想；Prüfer环是一类典型的正则凝聚环.Griffin［6］利用乘法理想的研究方法给出了Prüfer 环多达15 条的等价刻画.由于Prüfer环的应用意义，文献［7］对Prüfer 环研究进行了系统总结.从这些结果来看，关于Prüfer 环的研究主要集中于理想刻画.为了给出Prüfer 环的模刻画，我们利用正则余平坦模与可除模的关系，给出Prüfer环的一些模理论刻画.

本文恒设R是有单位元的交换环.对R-模M，用E（M）表示M 的内射包络.如果M 是一个内射模的商模，即M≅E／X，其中E是内射模，则M称为h-可除模.用M+表示M 的特征模，即M+＝HomZ（M，／）.理想I 若含有非零因子，则称为正则理想.正合列ξ：0→A→B→C→0，M⊗Rξ表示

0 →M ⊗RA →M ⊗RB →M ⊗RC →0，

若M⊗Rξ仍是正合列，则称正合列ξ 是纯正合列.R-模B的子模A 称为纯子模，是指正合列0→A→B→B／A→0 是纯正合列.

2 正则余平坦模与正则平坦模

以下恒用S表示R的非零因子乘法封闭集.设M是R-模，令

T（M）＝｛x ∈M|存在s ∈S，使得sx ＝0｝，

则T（M）是M的子模.若T（M）＝0，则M称为无挠模，等价地，对任何s∈S，（M，R／（s））＝0.若T（M）＝M，则M 称为挠模.若对任何s∈S，都有sM ＝M，则M称为可除模，等价地，对任何s∈S，有（R／（s），D）＝0.文献［8］称R-模D 是正则内射模，是指对任何挠模M，有（M，D）＝0；文献［8］也证明了D 是正则内射模当且仅当对R 的任何正则理想I，有（R／I，D）＝0.

引理2.1设D 是无挠模，则E（D）也是无挠模.

证明设s∈S，x∈E（D），sx ＝0，若x≠0.由于E（D）是D 的本性扩张，故存在r∈R，使得rx≠0，且rx∈D.由rsx ＝0，且D为无挠模，得rx ＝0，矛盾.故E（D）是无挠模.

引理2.2设D是无挠的可除模，则D是正则性内射模.

证明参见文献［9］定理3.4.

设R是任何交换环，用T（R）表示R 的完全商环，即T（R）＝RS.于是T（R）中的元素可以表示为，其中，r∈R，s∈S.

命题2.3对任何环R，每个T（R）-模是正则内射R-模.

证明设M 是T（R）-模.对任何s∈S，则s 是T（R）的单位，从而有sM ＝M，即M是可除R-模.又若s∈S，x∈M，sx ＝0，由于s是T（R）的单位，故x ＝，即M还是无挠R-模.由引理2.2 可知，M是正则内射R-模.

定义2.4设E 是R-模.若对任何I∈，有（R／I，E）＝0，则E称为正则余平坦模.

注2.51）正则内射模显然是正则余平坦模.当R是整环时，正则内射模就是内射模，正则余平坦模就是余平坦模.由于当R 是凝聚环时，余平坦模是FP-内射模，当R是Noether环时，FP-内射模是内射模.故当R是凝聚整环但不是Noether环时，必有一个余平坦模不是内射模.这也说明了正则余平坦模未必是正则内射模.

2）余平坦模显然是正则余平坦模，但正则余平坦模未必是余平坦模.例如，设R 是Noether 环，T（R）＝R，但R不是半单环，此时余平坦模就是内射模.由于T（R）＝R，则R只有一个正则理想，即R自身.从而，每个R-模都是正则余平坦模.于是，存在一个R-模是正则余平坦模，但不是余平坦模.

命题2.6对R-模E，以下各条等价：

1）E是正则余平坦模；

是正合列；

证明与余平坦模的刻画是类似的，故从略.

命题2.7正则余平坦模是可除模.

证明设E 是正则余平坦模，a∈R 是非零因子.由定义有（R／（a），E）≅E／aE ＝0，故有aE ＝E，因此E是可除模.

注2.8可除模未必是正则余平坦模.文献［11-12］证明了整环R是Prüfer整环当且仅当可除模是余平坦模.因此，只要整环R 不是Prüfer整环，则一定有一个可除模不是余平坦模.因而，也说明了可除模未必是正则余平坦模.

命题2.9设｛Ei｝是一簇R-模，则是正则余平坦模当且仅当每个Ei是正则余平坦模；当且仅当是正则余平坦模.

证明设I∈.由同构关系ii

由文献［13］定理3.9.2，有自然同构

定义2.10设M是R-模.若对R 的任意正则理想I，有0→M⊗RI→M⊗RR 是正合列，等价地，（M，R／I）＝0，则M称为正则平坦模.

定理2.11设R、T是环，E是内射T-模，M是R-T双模，且是正则平坦R-模，则HomT（M，E）是正则内射R-模.

证明设I 是R 的正则理想，则0 →I→R→R／I→0 是R-正合列.因为M是正则平坦R-模，故

是T-正合列.由E是内射T-模，故

是T-正合列.由相伴同构定理知

是R-正合列.从而由文献［8］定 理5.3 知HomT（M，E）是正则内射R-模.

命题2.12对R-模M，以下各条等价：

1）M是正则平坦模；

5）对环R 的任何正则理想I，同态σI：I ⊗RM→IM是同构；

6）M+是正则内射R-模；

7）M+是正则余平坦R-模；

9）设ξ：0→A→B→M→0 是正合列，则对R 的任何正则理想I，R／I⊗Rξ是正合列；

10）存在正合列ξ：0→A→P→M→0，其中P为投射模，使得对R的任何正则理想I，有R／I⊗Rξ是正合列.

证明1）⇔2）⇔3）⇔4）⇔5）与平坦模的刻画是类似的，故从略.

1）⇒6）由定理2.11 知HomZ（M，／）＝M+是正则内射R-模.

6）⇒7）显然.

由相伴同构定理知σI和σR同构.由M+是正则余平坦模知i*是满同态，从而（1⊗i）*是满同态.故有正合列（M⊗RR）+→（M⊗RI）+→0，可得0→M⊗RI→M⊗RR正合.

1）⇒9）设I 为R 的任意正则理想，取正合列ξ：0→A→B→M→0，可得正合列

9）⇒10）显然.

10）⇒1）设I为R的任意正则理想.取正合列ξ：0→A→P→M→0，可得正合列

由条件R／I⊗Rξ 正合，知A⊗RR／I→P⊗RR／I 为单同态，故（M，R／I）＝0.

定理2.13设R 是环，则每个R-模为正则平坦模当且仅当T（R）＝R.

证明若T（R）＝R，则＝｛R｝，故每个R-模都是正则平坦模.

反之，设每个R-模为正则平坦模.设M 是R-模，a∈R 是正则元.由假设，M 是正则平坦模，故T（R／（a），M）≅Ma＝0，其中Ma＝｛x∈M|ax ＝0｝.于是M 为无挠模.特别地，R／（a）是无挠模.但R／（a）为挠模，因此，有R／（a）＝0，即（a）＝R，故a是R的单位，从而有T（R）＝R.

注2.14平坦模显然是正则平坦模.但正则平坦模未必是平坦模.例如设R是QF环，但不是半单环，则T（R）＝R，且诣零根不等于零，因此，R 不是von Neumann 正则环.由于T（R）＝R，则每个R-模都是正则平坦模.于是，存在一个R-模是正则平坦模，但不是平坦模.

命题2.15正则平坦模的纯子模是正则平坦模.

证明设M是正则平坦模，B 是M 的纯子模.则存在纯正合列0 →B →M→M／B →0，使得0 →（M／B）+→M+→B+→0 为分裂正合列，即M+≅（M／B）+⊕B+.由命题2.12 知，M+是正则余平坦模.由命题2.9 知，B+为正则余平坦模.又由命题2.12 知，B为正则平坦模.

命题2.16设｛Mi｝是一簇R-模，是正则平坦模当且仅当每个Mi是正则平坦模.

证明设I为R的任意正则理想，由文献［13］定理3.4.5 知，存在同构关系

3 正则凝聚环

回顾若环R的每个有限生成理想是有限表现的，则称R为凝聚环.下面将提出正则凝聚环的概念，并推广凝聚环的某些对应基本性质，使之对Prüfer环的模刻画发挥作用.

定义3.1环R称为正则凝聚环，是指任意I∈，I是有限表现的.

凝聚环显然是正则凝聚环.

定理3.2（正则凝聚环的Chase 定理）对环R，以下各条等价：

1）R是正则凝聚环；

2）（正则）平坦模的直积是正则平坦模；

3）R的任意直积是正则平坦模.

证明1）⇒2）设｛Mi|i∈Γ｝是一簇平坦模或正则平坦模，设I∈，则I 为有限表现.f、g 是对应的自然同态，则有下面的交换图.

由文献［13］定理2.6.10 知，垂直的箭头是同构.又由Mi是平坦模或正则平坦模知，底行是正合列，故f是单同态，即Mi为正则平坦模.

2）⇒3）显然.

因为R／I 是有限表现模，由文献［13］定理2.6.10知，g、h同构，由五项引理知f同构.

由文献［13］定理2.6.10 知，I 为有限表现模，故R是正则凝聚环.

推论3.3若R是正则凝聚环，则Mi是正则平坦模当且仅当每个Mi是正则平坦模.

证明设Mi是正则平坦模，由定理3.2 即得Mi是正则平坦模.

命题3.4若R是正则凝聚环，则R-模M是正则余平坦模当且仅当M+是正则平坦模.

证明设M为R-模，I∈，由条件R 是正则凝聚环，知I是有限表现的.故有如下交换图.

由文献［13］定理2.6.13 知，f、g 同构.由命题2.6 知，底行正合当且仅当HomR（R，M）→HomR（I，M）→0 正合，当且仅当M 是正则余平坦模.因此，由交换图可知，M是正则余平坦模当且仅当M+是正则平坦模.

定理3.5对环R，以下各条等价：

1）R是正则凝聚环；

2）R-模M 是正则余平坦模当且仅当M++是正则余平坦模；

3）R-模M 是正则平坦模当且仅当M++是正则平坦模；

4）内射模的正向极限是正则余平坦模；

5）对任意正则余平坦R-模M，及内射R-模N，同态模HomR（M，N）是正则平坦模；

6）对任意内射R-模N，同态模HomR（R+，N）是正则平坦模.

证明1）⇒2）由命题3.4 知，M 是正则余平坦模当且仅当M+是正则平坦模.又由命题2.12知，则M+是正则平坦模当且仅当M++是正则余平坦模.

2）⇒3）M是正则平坦模，则M+是正则余平坦模.由条件知，M+++是正则余平坦模.由命题2.12知，M+++是正则余平坦模当且仅当M++是正则平坦模.

1）⇒4）设环R是正则凝聚环，Γ是定向集，Mi（i∈Γ）是内射模的正向系.对任意I∈，I 为有限表现的，由文献［18］知

由文献［13］定理3.9.4 知，f、g同构，由五项引理知h同构.由文献［16］知，I 为有限表现，故R 是正则凝聚环.

1）⇒5）对任意正则余平坦R-模M，及内射R-模N，既然／是内射上生成子，则存在正合列0 →N →（／）.因为N 为内射模，则存在某一R-模B，使得（／）≅N ⊕B.故有

则HomR（M，N）是M+的直和加项.由条件知R是正则凝聚环，故由命题3.4 及定理3.2 知，M+是正则平坦模.又由命题2.16 知，HomR（M，N）是正则平坦模.

5）⇒6）由R+是内射模，即证.

6）⇒1）由

引理3.6［19］1）设M是R-模，则M是平坦模当且仅当M+是FP-内射模；

2）设B 是R-模，B+是平坦模，则B 是FP-内射模.

定理3.7设环R 是正则凝聚环，以下各条等价：

1）任意正则平坦R-模是平坦模；

2）任意正则余平坦R-模是FP-内射模；

3）任意正则余平坦模且为纯内射R-模是内射模.

证明1）⇒2）设B 为正则余平坦R-模，则B+为正则平坦模，由条件得，B+为平坦模，由引理3.6 知，B是FP-内射模.

2）⇒3）显然.

3）⇒1）设M 为正则平坦R-模，由命题2.12知，纯内射R-模M+为正则余平坦模.故由条件可知M+为内射模，因此，M为平坦模.

设I是R的有限生成正则理想，但并不意味着每个生成元都是非零因子.为了给出下面的Prüfer环的刻画，需要对可除模作更一般的刻画.设N 是R-模，称｛Nα|α≤π｝是N的子模的连续升链，是指N有子模升链

其中π和每个α都是序数，指标集是连续序数的集合，且当α是极限序数时，Nα＝∪β＜αNβ.

引理3.8设N是挠模，则N有子模的连续升链（1），使得对每个序数α，Nα+1／Nα是循环挠模.

证明令N0＝0.若N ＝0，取π＝0.设N≠0，取x∈N，x≠0，则令N1＝Rx.对给定的序数α，设β ＜α时，满足要求的Nβ已经作出.若有Nβ＝N，则做法停止.否则，当α 不是极限序数时，取x∈N -Nα-1，并令Nα＝Nα-1+Rx.于是Nα／Nα-1是循环挠模.当α是极限序数时，令Nα＝∪β＜αNβ.如此下去，即得所证.

命题3.9对R-模D，以下各条等价：

1）D是可除模；

4）对任何循环挠模N，D⊗RN ＝0；

5）对任何挠模N，D⊗RN ＝0.

证明1）⇒2）对任何I∈，则I 中存在一个非零因子s.由于D 是可除模，故有sD ＝D，从而有ID ＝D.故D是-可除模.

2）⇔3）这是显然的.

3）⇒4）由于N 是循环模，故可设N ＝R／I，其中I是R 的理想.由于N 是循环挠模，故存在正则元素a∈I.于是有正合列

从而得到D⊗RN ＝0.

4）⇒5）由引理3.8，N 有连续升链（1）.由于N1与N2／N1是循环挠模，故由正合列

得到D⊗RN2＝0.用超限归纳法可证对任何序数α≤π，都有D⊗RNα＝0.特别地，有

设A是T（R）中的R-子模，定义

则A-1是T（R）中的R-子模.若有AA-1＝R，则称A是可逆模.R 的理想若是可逆模，则称之为可逆理想.

引理3.10［9］设A 是T（R）中的R-子模.则有：

1）若A是可逆的，则A是有限生成的；

2）若A包含T（R）中的一个单位，则A是投射模当且仅当A是可逆的；

3）有限生成的正则平坦理想是投射模.

证明1）和2）的证明参见文献［9］引理5.3.

3）由文献［20］引理18.1 即得.

命题3.11Prüfer环是正则凝聚环.

证明设I是R 的有限生成正则理想，则I 是可逆的.由引理3.10 的2）知，I为投射模，从而I为有限表现的.故R是正则凝聚环.

定理3.12对环R，以下各条等价：

1）R是Prüfer环；

2）可除模是正则余平坦模；

3）正则余平坦模的商模是正则余平坦模；

4）正则内射模的商模是正则余平坦模；

5）h-可除模是正则余平坦模；

6）R的正则理想是平坦模；

7）设M 是有限生成自由模F 的有限生成子模，且F／M是挠模，则M是投射模.

证明1）⇒2）设D是可除模，I ＝（a1，a2，…，ak）是R的有限生成正则理想，f：I→D是同态.由于R是Prüfer 环，故II-1＝R.于是有x1，x2，…，xn∈I-1，使得.由命题3.9 知，D是-可除模，从而有ID ＝D，故存在yij∈D，使得

由于xi∈I-1，aj∈I，故对任何i，j，有xiaj∈R.于是

对任何b∈I，有

令g：R→D，使得g（r）＝ry，r∈R.则对任何b∈I，有g（b）＝bg（1）＝by ＝f（b）.由命题2.6，D 是正则余平坦模.

2）⇒3）由命题2.7，正则余平坦模是可除模.又可除模的商模还是可除模，从而正则余平坦模的商模是正则余平坦模.

3）⇒4）由正则内射模是正则余平坦模即知.4）⇒5）内射模显然是正则内射模，由h-可除模的定义知h-可除模为正则余平坦模.

5）⇒1）设I是R的有限生成正则理想，X为任意R-模.嵌入X 到内射模E，则有正合列0→X→E→E／X→0.于是E／X是h-可除模.于是有

故I是投射模.由引理3.10 知I 是可逆的，因此，R是Prüfer环.

1）⇒6）设A 是R 的正则理想，则存在非零因子a∈A.显然有A 的包含a 的有限生成子理想的集合是定向集，且A ＝∪B，其中B 取遍A 的包含a的有限生成子理想.由假设，每个B是投射模，从而有A是平坦模.

6）⇒1）由引理3.10 的3）即得.

1）⇒7）记F ＝Rn，对n用归纳法证明之.

n ＝1 时，则M是R的理想.由于R／M是挠模，故M是R 的有限生成正则理想.由于R 是Prüfer环，故M是投射模.

今设n ＞1，令F1＝Rn-1，N ＝M ∩F1.于是F／F1≅R，且有下面的两行是正合列的交换图.

其中，Y ＝F／M是挠模，h是左边交换方图的诱导同态.由文献［21］引理1，h 是单同态.由蛇形引理，0→M／N→R→cok（h）→0 是正合列.由于cok（h）＝Y／h（X）是挠模，故M／N 是投射模，从而有M 是投射模.

7）⇒1）由引理3.10 即得.