张 艳，张建平

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

框架与Riesz基的研究是小波分析理论研究的重要基础，站在空间元素表示这一层面，可以将框架看作是基组概念的延伸。Hilbert空间中的框架可以将空间H中的任意元素表示成∑cjφj的形式，但系数cj通常并不是唯一的，这是与正交基的区别之处，因此许多数学工作者根据实际应用，选择合适的系数对框架进行研究。框架、Riesz基与规范正交基之间既有密切联系又有本质区别。

文献[1]中给出Riesz基的等价条件：框架{φj|j∈J}是线性无关的；文献[2]中给出Riesz基与正交基之间的关系。本文主要是将Hilbert空间中Riesz基和Euclid空间中一组线性无关向量进行类比，将Riesz基进行规范正交化得到与之对应的规范正交基，这样就把一个下界为A上界为B的Riesz基转化为与之对应的规范正交基。另外讨论了Riesz基在标准正交基下的坐标以及同一Hilbert空间H中两组Riesz基之间的联系。

1 预备知识

本文中指标集J表示可数集或有限集，例如，自然数集N和整数集Z。

L2([a,b])表示[a,b]上的平方可积函数空间，其内积定义为

定义1[3-4]假设{φj|j∈J}是可分的Hilbert空间H中的一个函数序列，如果对于∀g∈H，存在常数A、B且0

则称{φj|j∈J}是Hilbert空间H中的一个框架，这里称A为框架的下界，B为框架的上界。特别的，如果A=B，则称框架{φj|∈J}为紧框架。

注：一般来讲，框架、紧框架都不是正交基，因为φj不是线性无关的。

框架与规范正交基有如下关系：

引理1[5]如果{φj|j∈J}是Hilbert空间H中的紧框架，框架界A=B=1且对所有的j∈J有||φj||=1，那么{φj|j∈J}构成一组规范正交基。

引理2[2]假设{φj|j∈J}是可分的Hilbert空间H中的一组向量，则下列命题等价：

(1){φj∈J}是Hilbert空间H中的Riesz基；

(2){φj|j∈J}是Hilbert空间H中的框架且{φj|j∈J}是线性无关的。

引理3[6]设S={en}是Hilbert空间H中的一个标准正交系，则以下条件等价：

(1)S是H的标准正交基；

由(2)可以看出{〈x,ek〉}相当于Rn的直角坐标系，成为x关于标准正交基{en}的正交坐标。

2 Riesz基规范正交化过程

定理1 如果函数族{φj(x)|j∈J}构成Hilbert空间H中下界为A上界为B的Riesz基，那么可以将{φj(x)|j∈J}进行规范正交化得到与之对应的一组规范正交基。

φ2(x)-〈φ2(x),e1(x)〉e1(x)≠0并且

〈φ2(x)-〈φ2(x),e1(x)〉e1(x),e1(x)〉=

〈φ2(x),e1(x)〉-〈φ2(x),e1(x)〉〈e1(x),e1(x)〉=0，

以此类推，假设en-1(x)已得，由于φn(x)与φ1(x)，…，φn-1(x)均线性无关，显然φn(x)与

e1(x),…,en-1(x)线性无关，故

因此令en(x)=

(1)

则有||en(x)||=1并且得en(x)⊥e1(x)，en(x)⊥e2(x)，…，en(x)⊥en-1(x)，即{e1(x)，…，en(x)}为Hilbert空间H中一组规范正交基。

平方可积函数空间是常见的Hilbert空间，下面用一个典型的实例验证方法的有效性。

例[7-8]若{1,x,x2，…，xn}是平方可积函数空间L2([-1,1])中下界为A上界B为的Riesz基，显然它不是标准正交基，故可用Schmidt正交化过程将其标准正交化为{en(x)}，使得{en(x)}作为L2([-1,1])中的一个规范正交基。

解记φ1(x)=1，φ2(x)=x，因为

所以φ1(x)⊥φ2(x)，因此可取

由(1)式得

一般地，可得

(2)

将En(x)代入(2)式，可以求得

从而可知{e1(x),e2(x),…，en(x)}是平方可积函数空间L2([-1，1])中的一组规范正交基。

3 与Riesz基有关的两个结论

由引理3，可得以下结论：

定理2 设{φ1(x),…,φn(x)}是Hilbert空间H中的一组Riesz基，{e1(x),…，en(x)}是H中的一组标准正交基，∀φj(x)，φk(x)∈{φ1(x)，…，φn(x)}，他们关于基{e1(x)，…,en(x)}的坐标分别是(〈φj(x),e1(x)〉，…，〈φj(x),en(x)〉),(〈φk(x),e1(x)〉，…，〈φk(x),en(x)〉)。那么φj(x)+φk(x)关于这个标准正交基的坐标为(〈φj(x)+φk(x),e1(x)〉，…，〈φj(x)+φk(x),en(x)〉)；设a∈F，

aφj(x)关于这个标准正交基的坐标为

(a〈φj(x),e1(x)〉，…，a〈φj(x),en(x)〉)。

证明设{φ1(x),φ2(x)，…,φn(x)}是Hilbert空间H中的一组Riesz基，∀φj(x)，φk(x)∈{φ1(x),…,φn(x)}，他们关于基{e1(x),…,en(x)}的坐标分别是

(〈φj(x),e1(x)〉,…,〈φj(x),en(x)〉)和

(〈φk(x),e1(x)〉，…，〈φk(x),en(x)〉)。

φj(x)+φk(x)=

如果a是数域F中的一个常数，那么

对于Hilbert空间H中的两组Riesz基来说，在同一标准正交基下的坐标一般是不相同的，下面给出这两组Riesz基之间的关系。

定理3 如果{φ1(x)，…，φn(x)}和{φ1(x)，…，φn(x)}分别是Hilbert空间H中的两组Riesz基，{e1(x),…,en(x)}是H中的一组标准正交基，那么这两组Riesz基可以相互转换。

证明设函数族{φ1(x),…，φn(x)}和{φ1(x),…，φn(x)}分别是Hilbert空间H中的两组Riesz基，{e1(x),…，en(x)}是H中的一组标准正交基，则可表示为

从而就得到同一空间H中两组Riesz基之间的关系：