杨亚芳，梁茂林

(天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001)

广义严格α-对角占优矩阵在数学、物理、控制论及经济数学等许多领域有着重要的研究价值和实用价值。广义严格α-对角占优矩阵就是非奇异H-矩阵(记为A∈D)。如何在实际应用中简便的判别一个矩阵是否是非奇异H-矩阵，一直是人们关注的问题。近年来，国内外许多作者做了大量的工作，给出了一些研究成果[1-8]。本文应用不等式放缩原理和构造正对角矩的方法，得到广义严格α-对角占优矩阵的一种判别法，并用数值例子验证了结果的有效性。

1 预备知识

N1={i|0<|aii|=Ei},N2={i|0<|aii|

N3={i||aii|>Ei|,

Ki=

i∈N1；

Mi=

i∈N3。

定义1.1[1]设A∈DT(α)，

1)若A不可约，且至少存在一个i使得

2)若对|aii|≥Ei式中每一个等号成立的i都存在非零元素链aij1aj1j2…ajk-1jk≠0，满足

|ajkjk|≥αΛjk(A)+(1-α)Sjk(A)。

则称A为具有非零元素链的α-对角占优矩阵(A∈D0(α))。

引理1.2[2]设A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1]，则

A∈D当且仅当A∈D*(α)。

2 主要结果

定理2.1 设A=(aij)∈Cn×n，如果存在α∈(0,1]，使得I(A)=Ø，且∀i∈N2，

(1)

则A∈D*(α)。

Pi=

∀i∈N2。

(2)

注意到I1(A)=Ø及0

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

q|aii|=|bii|。

所以

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

从而

qEi=|bii|。

对于B=AD=(bij)，有

∀i∈N1,由I(A)=Ø得

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

(q-ε)(1-a)Si<

(1-a)Si)=(q-ε)Ei=(q-ε)|aii|=|bii|。

∀i∈N2，由q

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

(1-a)Si)=qEi=|bii|。

所以B∈D(α)，即A∈D*(α)。

定理2.2 设A=(aij)∈Cn×n且为不可约矩阵，

∀i∈N2，

(3)

记I2(A)={i|i∈N2,且使以上(3)式中严格不等号成立}。

若满足下列条件之一：

1)A为不可约矩阵且I2(A)≠Ø；

2)∀i∈(N1I1(A))∪(N2I2(A))∪(N3I3(A))，存在非零元素链aij1，aj1j2，…，ajk-1,p，使得

p∈I1(A)∪I2(A)∪I3(A)。

则A∈D*(α)。

(4)

构造正对角矩阵D=diag{d1,d2,…,dn}，其中

1)因为A是不可约矩阵，所以Si≠0。

i)若I(A)=Ø，则∀i∈N1,都∃t∈N2∪N3，使得ait≠0，由此得到0

此时一定有0

B=AD=(bij)有

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

|bii|。

(5)

∀i∈N2,由q≤Pi得

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

(6)

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

qEi=|bii|。

(7)

若N2I2(A)≠Ø，则由(6)式知必存在k∈N2使得|bkk|>αΛk(B)+(1-α)Sk(B)，而AD不改变A的不可约性。

ii)若I(A)≠Ø，则u=1。从而可以取q<

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

(1-a)Si)=qEi=q|aii|=|bii|。

(8)

∀i∈N2，由q≤Pi得

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

|bii|。

(9)

由于N2I2(A)≠Ø，所以(9)式中至少有一个严格不等号成立。

∀i∈N3，由q≥1和Si>0得到

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

(1-a)Si)=qEi=|bii|。

2)类似上述(1)证明，对B=AD有

|bii|≥αΛi(B)+(1-α)Si(B),∀i∈N，

且若i∈I1(A)∪I2(A)∪I3(A)时，

|bii|>αΛi(B)+(1-α)Si(B)。由条件

∀i∈(N1I1(A)∪(N2I2(A))∪(N3I3(A))，

存在非零元素链aij1,aj1j2，…ajk-1,p，使得

p∈I1(A)∪I2(A)∪I3(A)，知B∈D0(α)，

从而A∈D*(α)。

3 数值例子

例考虑矩阵

取α=0.95，则N1=Ø，N2={2,3}，N3={1，4，5}。计算得

0.414 1，

故由本文定理2.1可判定A为广义严格α-对角占优矩阵。但

故不能由文献[4]来判别。

经计算得文献[5]中的M2=2.92，M3=1.47，

故不能由文献[5]来判别。

故不能由文献[6]来判别。

故不能由文献[7]来判别。

故不能由文献[8]来判别。